Введение в математическое программирование

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. Известно, что производная F'(x) в окрестности x' меняет знак с положительного на отрицательный, т.е. F'(x) является убывающей функцией, и F''(x) < 0. Следовательно, в точке x' функция F(x):

Если среди базисных компонентов псевдоплана x нет отрицательных, то псевдоплан x={x_i0} является:

Какие ограничения удовлетворяются в комбинированных методах в процессе оптимизации?

Одно из свойств метода наискорейшего спуска гласит о том, что если направление градиента является направлением наискорейшего возрастания функции, то противоположное направление:

Если функции f₁(x), f₂(x),...,f_p(x) выпуклы (вогнуты) на множестве R_i и выполняется условие k_i ≥ 0, i = 1,2,...,p, то функция g(x) = Σk_if_i(x), i=1,...,p:

С помощью каких операций перемещается симплекс в методе Спендли, Хекста и Химсворта?

Можно ли при наличии ограничения использовать критерии оптимальности безусловной оптимизации?

Пусть известен некоторый сопряженный базис $\{ A_i \}_{i \in I \delta}$ , которому соответствует псевдоплан x, базисные компоненты которого x_i = x_i0≥0 для всех i є Iδ. При этом $A_j = \sum A_i x_{ij}; A_0 = \sum A_i x_i, i \in I \delta$ Тогда:

Двойственный симплекс – метод, в отличии от прямого, не требует:

Если x₀ и y₀ – оптимальные решения пары двойственных задач, и кроме того, c^Tx₀=b^Ty₀, то:

Если в двойственной задаче допустимый вектор x₀ является оптимальным и при этом выполняется условие c^Tx₀=b^Ty₀, то:

Чему будет равна функция Розенброка f(x₁,x₂), если известно что х₁=1, а х₂=2?

К какой группе относиться метод штрафных функций?

Для решения каких задач чаще используется "метод сеток"?

Согласно методу Ньютона, точка экстремума равна:

Пусть функция f(x) определена на непустом и выпуклом множестве R. Функция f(x) квазивыпукла, если для любых x₁, x₂ є R и λ є [0;1] выполняется неравенство:

Пусть ограничения задачи линейного программирования записаны в виде: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n+A_n+1x_n+1+...+A_n+mx_n+m=A₀, где А₁,...,А_m – множество линейно независимых векторов. Согласно симплекс – метода, базисное решение $x^_1, x^_2, \ldots, x^*_m$ определяется уравнением:

Что является недостатком метода Коши?

Пусть требуется изготовить 120 деталей. Их можно изготовить двумя технологическими способами: 1 способ: х₁+х₁², 2 способ: 2х₂+2х₂². Затраты связаны функциональной зависимостью. Сколько изделий может быть изготовлено каждым способом?

Пусть задана задача нелинейного программирования: минимизировать f(x₁,...,x_n) при условиях

h₁(x₁,...,x_n) = 0;h₂(x₁,...,x_n) = 0;...............h_m(x₁,...,x_n) = 0.

Допустим, что существует такая точка x*, в которой достигается относительный экстремум данной задачи. Если ранг матрицы I = [δh_j(x)/δx_j], i = 1,...,m; j = 1,...,n в точке x* равен m, то существуют m чисел λ₁,...,λ_n, не все из которых равны нулю одновременно, и при которых:

Присоединенная функция построена в виде так называемого барьера: $G(\overline{X})=\sum_{i=1}^m \frac{1}{(b_i-g_i(\overline{X}))(g_i(\overline{X})-a_i)}$ . При этом ограничения в задаче имеют вид:

Пусть f(x) и все g_i(x) выпуклы и все функции g_i(x) удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Вектор x^* решением задачи нелинейного программирования: минимизировать f(x) при условиях g_i(x) ≤ 0, i = 1,...,m тогда и только тогда, когда существует такой вектор Δ^* ≥ 0, для которого выполняются условия:

Функция f(x) достигает локального максимума в точке $x^0 = (x^0_1, x^0_2 ,\ldots, x^0_n)$ , если для всех точек x, лежащих в малой окрестности точки $[x^0_1, x^0_2 ,\ldots, x^0_n ]$ имеет место неравенство:

Пусть функция f(x) является строго квазивыпуклой и выполняется неравенство f(λx₁ + (1–λ)x₁) < max{f(x₁),f(x₂)}. При этом для всех действительных x₁, x₂ выполняется условие:

Если задача линейного программирования содержит n переменных и m ограничений, записанных в форме неравенств (n > m), не считая ограничений неотрицательности переменных x_i ≥ 0, то в оптимальное решение входит:

Задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n≤b; Данная форма записи является:

Размерность дна оврага определяется числом малых собственных значений матрицы

Пусть некоторому сопряженному базису $\{ A_i \}_{i \in I \delta}$ соответствует псевдоплан x. Очевидно, A_j=ΣA_ix_ij; A₀=ΣA_ix_i, i є Iδ. Известно, что среди базисных компонентов x_i имеются отрицательные, причем для некоторого i: x_i < 0, а все x_ij ≥ 0, j=1,...,n. Это значит, что:

Рассмотрим задачу нелинейного программирования: минимизировать f(x) при $g_i(x) = - \eta^T_i x + b_i \le 0, i = 1,\ldots,m$ . Для входящего вектора справедливы следующие условия: $\Delta g^T_i(x – x^) \le 0$ или $\Delta f(x^)(x – x^*) \ge 0$ для всех x є S. Тогда множество неотрицательных скаляров {λ_i} ≥ 0, для которых справедливо соотношение:

Если для некоторой функции f(x) в некоторой окрестности точки $x^0 = (x^0_1,\ldots, x^0_n)$ знаки определителей чередуются, т.е. справедливо условие $f_{11}(x_0) < 0; \quad\begin{vmatrix}f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) \\f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0)\end{vmatrix}> 0 ; \quad\begin{vmatrix}f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) & f_{13}(x_0) \\f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0) & f_{23}(x_0) \\f_{31}(x_0) & f_{32}(x_0) & f_{33}(x_0) \end{vmatrix}< 0$ , то дифференцируемая функция f(x):

Запись задачи линейного программирования в виде
$\begin{aligned}& a_1 x - b_i \ge 0, \; i \in I_1 \\& a_i x - b_i = 0, \; i \in I_2 \\& x_j \ge 0, \; j \in J_1\end{aligned}$
представляет собой:

Выберите из представленного ряда записей задач линейного программирования запись задачи в канонической форме:

Запись задачи линейного программирования в виде
$\begin{aligned}& \omega = cx \rightarrow \min \\& Ax \ge b \\& x \ge 0\end{aligned}$

Задачу линейного программирования можно сформулировать:

Задачу линейного программирования в канонической форме можно сформулировать:

Пусть задача линейного программирования сформулирована следующим образом: максимизировать c^Tx при ограничениях Аx≤b; x≥0;. Данная форма записи является:

Задачу линейного программирования в векторной форме можно сформулировать следующим образом:

Пусть задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях

        a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n ≤ b₁        a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n ≤ b₂                   (1)        .........................        a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n ≤ b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0.

Тогда множество R(x) является допустимым множеством решений данной задачи, если оно удовлетворяет условиям:

Уравнение $A_1x^_1 + A_2x^_2 +\ldots + A_n x^_n + A_{n+1} x^_{n+1} +\ldots + A_{n+m}x^_{n+m} = A_0$ определяет базисное решение $x^_1, x^_2, \ldots, x^_m$ согласно симплекс – методу, если ограничения задачи линейного программирования имеют вид:

Пусть уравнение $A_1x^_1 + A_2x^_2 +\ldots + A_n x^_n + A_{n+1} x^_{n+1} +\ldots + A_{n+m}x^_{n+m} = A_0$ определяет базисное решение $x^_1, x^_2, \ldots, x^_m$ , которое является допустимым, т.е. $x^_1 \ge 0, x^_2 \ge 0, \ldots, x^*_m \ge 0$ . При этом справедливо равенство: A₁x_1r+A₂x_2r+...+A_mx_mr = A_r. Это значит, что:

Обозначим решение уравнения A₁x₁+A₂x₂+...+A_mx_m+A_rx_r = А₀как $\{ x'1, x'2, \ldots, x'_m, x'_r \}$ . Связь нового решения $x'_1, x'_2, \ldots, x'_m, x'_r$ со старым базисным решением $x^_1, x^_2, \ldots, x^_m$ выражается соотношениями $x'_1 = x^_1 - x_r x_{1r}; x'_2 = x^_2 - x_r x_{2r}; \ldots ; x'_m = x^_m - x_r x_{mr}, x_r$ . Тогда уравнение, определяющее старое базисное решение $x^_1, x^_2, \ldots, x^*_m$ , имеет вид:

Пусть уравнение A₁x₁+A₂x₂+...+A_mx_m+A_rx_r = А₀имеет решение $x'_1 = x^_1 - x_r x_{1r}; x'_2 = x^_2 - x_r x_{2r}; \ldots ; x'_m = x^*_m - x_r x_{mr}, x_r$ . Данное решение:

Пусть новое решение уравнения A₁x₁+A₂x₂+...+A_mx_m+A_rx_r = А₀ имеет вид $x'_1 = x^_1 - x_r x_{1r}; x'_2 = x^_2 - x_r x_{2r}; \ldots ; x'_m = x^*_m - x_r x_{mr}, x_r$ , и при этом является допустимым. Выведем одну переменную x_i из базисного решения, а соответствующий вектор из базиса. Тогда новое базисное решение имеет вид:

Если для табличного симплекс – метода оценки для всех небазисных переменных равны Δ_j=a_0j=-c_j, а соответствующее значение целевой функции a₀₀ = Σc_ix_i = 0, i є I;, то в качестве начального базиса выбран базис:

Если существует такой небазисный вектор, для которого оценка отрицательна, и целевая функция задачи в области допустимых решений неограниченна, то все элементы этого столбца:

Если в оптимальное решение задачи линейного программирования входит не более чем m ненулевых компонент вектора x, все переменные x_i ≥ 0 и все ограничения записаны в форме неравенств, то задача линейного программирования содержит:

Выберите верное утверждение: если Ax₀≤b и A^Ty₀≥c, то:

Если x₀ и y₀ – допустимые решения прямой и двойственной задач, и кроме того, c^Tx₀=b^Ty₀, то:

Если в оптимальном решении некоторой задачи i–е ограничение выполняется как строгое неравенство и оптимальное значение соответствующей двойственной переменной равно нулю, то данная задача является:

Если в оптимальном решении двойственной задачи ограничение j выполняется как строгое неравенство, то оптимальное решение соответствующей переменной прямой задачи:

Прямая и двойственная задачи имеют оптимальные решения тогда и только тогда, когда:

Если в двойственной задаче имеется такое допустимое решение y₀, чтоc^Tx₀=b^Ty₀, то допустимый вектор x₀:

Если прямая задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях Σa_ijx_j≤b_i, i=1,...,m₁<m; Σa_ijx_j=b_i, i=m₁+1,m₁+2,...,m; x_j≥0; j=1,...,n₁<n. Тогда двойственная ей задача имеет вид:

Если x и y – допустимые решения прямой и двойственной задач и при этом они являются оптимальными решениями этих задач, то справедливо соотношение:

В отличии от прямого симплекс – метода, двойственный симплекс – метод:

Если x' и y' – оптимальные решения пары двойственных задач и при этом выполняется равенство Σc_jx'_j+Σc_j(x'_j–x'_j+n2) = Σb_iy'_i + Σb_i(y'_i–y'_i+m2), то x' и y':

Пусть двойственная задача линейного программирования имеет вид: минимизировать $L'_{\partial e}(y) = \sum b_{\mu} y_{\mu}, \mu = 1,\ldots,m$ при условиях $A^T_j y \ge c_j, \sum a_{\mu} y_{mu} \ge c_j, \mu = 1,\ldots,m, j=1,\ldots,n$ и при этом n ≥ m и ранг матрицы A равен m. Тогда задача, записанная в канонической форме, имеет вид:

Пусть некоторое базисное решение y системы линейных уравнений вида $A^T_i y = c_i, \quad i \in I \delta$ , удовлетворяет ограничениям $A^T_j y \ge c_j, \sum a_{\mu}y_{\mu} \ge c_j, \; \mu = 1,\ldots,m, \; j = 1,\ldots,n$ Тогда вектора матрицы ограничений прямой задачи $\{ A_i \}_{i \in I \delta}$ , составляющие сопряженный базис, являются:

Пусть n – мерный вектор x является псевдопланом, для которого выполняются условия: Δj ≥ 0, j=1,...,n;. Тогда справедливы равенства:

Псевдоплан x={x_i0}, среди базисных компонентов которого нет отрицательных, является оптимальным решением:

Пусть известен некоторый сопряженный базис $\{ A_i \}_{i \in I \delta}$ , которому соответствует псевдоплан x. При этом псевдоплан x является оптимальным решением и $A_j = \sum A_i x_{ij}; A_0 = \sum A_i x_i, i \in I \delta$ Тогда для базисных компонентов справедливо условие:

Пусть задан некоторый сопряженный базис $\{ A_i \}_{i \in I \delta}$ Ему соответствует псевдоплан x. При этом A_j=ΣA_ix_ij; A₀=ΣA_ix_i, i є Iδ. Известно, что задача неразрешима. Это значит, что базисные компоненты удовлетворяют условиям:

Функция f(x) достигает локального максимума в точке $x^0 = (x^0_1, x^0_2 ,\ldots, x^0_n)$ и при этом имеет место равенство $f(x^0_1, x^0_2 ,\ldots, x^0_n) \ge; f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ . Это справедливо:

Множество точек S₁(x₁,...,x_n) функции f(x), удовлетворяющих условию ∂f(x)/∂x_j = 0, j=1,...,n называется:

Пусть f(x₁,...,x_n) дифференцируема в некоторой допустимой области R. Если в некоторой внутренней точке $(x^0_1, x^0_2, \ldots, x^0_n)$ области R функция достигает относительного максимума, то:

Если для всех точек x є R некоторой функции f(x) справедливо неравенство f(x⁰) ≥ f(x), то в точке x⁰ функция f(x):

Пусть R – выпуклое множество точек n – мерного пространства. Функция f, определенная на R, называется выпуклой верх, если для любой пары точек x₁, x₂ є R и произвольного 0 ≤ k ≤ 1 справедливо:

Дифференцируемая функция f(x) строго вогнутая в некоторой окрестности точки $x^0 = (x^0_1,\ldots, x^0_n)$ , если выполняются следующие условия:

Если некоторая точка x₀ функции является стационарной, а сама функция в окрестности точки x₀ является строго выпуклой, то в точке x₀:

Пусть на некотором множестве R_i функция g(x) = Σk_if_i(x), i=1,...,p выпукла (вогнута) и выполняется условие k_i ≥ 0, i = 1,2,...,p. Тогда на множестве R_i функции f₁(x), f₂(x),...,f_p(x):

Если для всех действительных x₁, x₂, таких, что f(x₁) ≠ f(x₂) и λ є (0;1) выполняется неравенство f(λx₁ + (1–λ)x₁) < max{f(x₁),f(x₂)}, то функция f(x) является:

Пусть функция f(x) на некотором множестве R является квазивыпуклой, т.е. для любых x₁, x₂ є R и λ є [0;1] выполняется неравенство f(λx₁ + (1–λ)x₁) ≤ max{f(x₁),f(x₂)}.Тогда множество R является:

Пусть f(x) – строго квазивыпуклая функция. Рассмотрим задачу минимизации f(x) при условии, что x є R, где R – непустое выпуклое множество в Е⁽ⁿ⁾. Пусть x' – точка локального минимума рассматриваемой задачи. Тогда x' является:

Пусть задана задача нелинейного программирования: минимизировать f(x₁,...,x_n) при условиях

h₁(x₁,...,x_n) = 0;h₂(x₁,...,x_n) = 0;...............h_m(x₁,...,x_n) = 0.

Пусть в некоторой точке x* ранг матрицы I = [δh_j(x)/δx_j], i = 1,...,m; j = 1,...,nравен m, и существуют m чисел λ₁,...,λ_n, не все из которых равны нулю одновременно, и при которых Δf(x*) + Σλ_iΔh_i(x) = 0, i = 1,...,m. Тогда в точке x*:

Пусть функции g_i(x), i=1,...,m имеют непрерывные частные производные на некотором открытом множестве Rⁿ, содержащем точку x^. Если для функции f(x) ограничения g_i(x) ≤ 0, i=1,...,m удовлетворяют условию регулярности в виде линейной независимости векторов Δg_i(x^), и существуют такие неотрицательные множители Лагранжа λ₁,...,λ_m, что Δf(x^) + Σλ_iΔg_i(x^) = 0;Σλ_ig_i(x^*) = 0, λ_i ≥ 0, i = 1,...,m является:

Пара векторов x^, Δ^ для которых выполняется условие: для всех Δ ≥ 0, x є Rⁿ L(x^, Δ) ≤ L(x^, Δ^) ≤ L(x, Δ^), называется:

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. Известно, что производная F'(x) в окрестности x' меняет знак с отрицательного на положительный, т.е. F'(x) является возрастающей функцией, и F''(x) > 0. Следовательно, в точке x' функция F(x):

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), следовательно, ее первая производная монотонна. Если в точке x' функция F(x) имеет максимум, то производная F'(x) в окрестности x' меняет знак с положительного на отрицательный, т.е. F'(x) является убывающей функцией, значит:

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), что соответствует монотонности ее первой производной. Если в некоторой точке градиент функции F(x) равен нулю, то функция F(x) в этой точке:

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. Для нахождения экстремума функции F(x) методом Ньютона начальные приближения x выбирают в такой точке интервала [a; b], где знаки функции f(x) и ее кривизны f''(x):

Предположим, что имеется интервал неопределенности (x₁; x₃) и известно значение f(x₂) внутри этого интервала. Положим x₂–x₁=L и x₃–x₂=R, причем L > R. Если x₄ находится в интервале (x₁; x₂) и f(x₄) < f(x₂), то новым интервалом неопределенности будет:

Пусть имеется начальный интервал (a; b). Согласно метода Фибоначчи интервал неопределенности имеет длину L_n = L₁/F_n + ξ(F_n–2/F_n). Это справедливо, если:

Дана функция F(x). Известно, что x' доставляет некоторый экстремум функции F(x) на интервале [a; b] с заданной точностью ξ. При этом F₁ и F₂ – значения функции F(x) в окрестности ±ξ вычисленной точки x=(a+b)/2. Если F₁ < F₂, т.е. b = x, то:

В каком из методов происходит сравнение значений функции в (n + 1) вершинах симплекса и перемещении симплекса в направлении оптимальной точки с помощью итерационной процедуры?

Чему будет равняться функция в точке образа, если базисная точка b₁ = 1, а b₂ = 7?

Известно что x₀ = 3, x_r = 4, x_h = 2. Чему будет равен коэффициент отражения α?

Какие значения рекомендуют брать Нелдер и Мид для коэффициентов отражения (α), сжатия (β) и растяжения (γ)?

Под каким углом происходит изменение траектории нахождения оптимальной точки в методе покоординатного спуска?

Чему будет равняться коэффициент растяжения γ, если известно, что x₀ = 3, x_e = 5, x_r = 2?

Чему будет равно общее число сетки, если область G является двумерным кубом, каждую сторону которого при построении сетки мы делим на 10 частей?

Чему будет равна функция Розенброка f(x₁,x₂), если известно что х₁=1, а х₂=3?

Метод, при котором происходит движение к минимуму в направлении наиболее быстрого убывания функции, определяемого антиградиентом, носит название:

Известно, что если направление градиента является направлением наискорейшего возрастания функции, то противоположное направление является направлением наискорейшего убывания функции. Это свойство присуще:

От чего поможет избавиться проведение поиска несколько раз, начиная его с разных точек?

Направление градиента является направлением?

Метод Розенброка используется при минимизации овражных функционалов, если овраг

После чего останавливаются расчеты при многоэкстремальными?

Если для всех x₁, x₂ ∈ X выполняется соотношение f[θx₂+(1–θ)x₁]≤θf(x₂)+(1–θ)f(x₁) при 0 < θ < 1, то функция f(x) на выпуклой области X является:

Кривая у = f(х) называется вогнутой в промежутке a<x<b, если она лежит

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(x-2)²→min, без ограничения?

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(x-3)²→min, с ограничением х≥9?

Задана целевая функция Z=20x₁+10x₂ → max и ряд ограничений 10х₁+2х₂≤200, 2х₁+4х₂≤110, 2х₁+3х₂≤140, х₁,х₂≥0. Найти решение задачи.

Если вторая производная функции у = f(х) в данном промежутке отрицательна, то кривая...?

Комплексный метод является?

Пусть $a_i < g_i (\overline{X}) < b_i, \; i=overline{1,m}$ . Тогда присоединенная функция $G(\overline{X})=\sum_{i=1}^m \frac{1}{(b_i-g_i(\overline{X}))(g_i(\overline{X})-a_i)}$ построена в виде:

В случае, если Z = f(x)+P(x), минимум Z будет находиться?

Метод последовательной безусловной оптимизации относиться к...?

При использовании методов внутренней точки текущая точка постоянно находится внутри допустимой области с помощью штрафной функции, которая в этом случае называется?

Методы, использующие штрафные функции, определяются?

Какой метод позволяет найти решение без значительного ухудшения обусловленности задачи?

Как выглядит функция метода штрафных функций?

Какой будет линия профиля при С = 3?

Пусть функции g_i(x), i=1,...,m имеют непрерывные частные производные на некотором открытом множестве Rⁿ, содержащем точку x^. Если x^ является точкой минимума функции f(x) при ограничениях g_i(x) ≤ 0, i=1,...,m, удовлетворяющих условию регулярности в виде линейной независимости векторов Δg_i(x^*), то существуют такие неотрицательные множители Лагранжа λ₁,...,λ_m, что справедливы соотношения:

Дана функция F(x). Пусть x' доставляет минимум функции F(x) на интервале [a; b] с заданной точностью ξ. Известно, что F₁ и F₂ – значения функции F(x) в окрестности ±ξ вычисленной точки x=(a+b)/2. При поиске минимума был отброшен отрезок [x; b], т.е. b = x. Это значит, что:

Если линии уровня функции вытянуты в одном направлении и сплющены в другом, то речь идет о ...

n–мерный вектор x, для которого x_i=x_i0 при i є Iδ, и x_j=0 при i ∉ Iδ является псевдопланом тогда и только тогда, когда:

Какой будет линия профиля при С = 2?

Если x и y – допустимые решения прямой и двойственной задач и если при этом Σc_jx_j = Σb_iy_i, j=1,...,n; i=1,...,m, то:

При использовании методов внутренней точки текущая точка постоянно находится

Множеством стационарных точек функции f(x) называется множество точек S₁(x₁,...,x_n):

Если x' и y' – допустимые решения пары двойственных задач и при этом они являются оптимальными решениями этих задач, то выполняется условие:

Уравнение $A_1x^_1 + A_2x^_2 +\ldots + A_n x^_n + A_{n+1} x^_{n+1} +\ldots + A_{n+m}x^_{n+m} = A_0$ определяет базисное решение $x^_1, x^_2, \ldots, x^_m$ . Новое решение $x'_1, x'_2, \ldots, x'_m, x'_r$ связано со старым базисным решением $x^_1, x^_2, \ldots, x^_m$ соотношениями: $x'_1 = x^_1 - x_r x_{1r}; x'_2 = x^_2 - x_r x_{2r}; \ldots ; x'_m = x^_m - x_r x_{mr}, x_r$ Тогда уравнение имеет вид:

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. Если функция F(x) имеет локальный минимум (максимум) в точке x', то в этой точке градиент функции F(x) равен нулю, т.е.:

Если прямая задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях Σa_ijx_j≤b_i, i=1,...,m₁<m; Σa_ijx_j=b_i, i=m₁+1,m₁+2,...,m; x_j≥0; j=1,...,n₁<n. Тогда двойственная ей задача имеет вид: минимизировать Σb_iy_i. Условия ограничения двойственной задачи имеют вид:

Что в записанном выражении является штрафной функцией: Z = f(x)+P(x)?

Стандартная форма задачи линейного программирования имеет вид:

Метод Коши наиболее эффективный когда линии уровня представляют собой?

Известно что x₀ = 6, x_r = 2, x_h = 4. Чему будет равен коэффициент отражения α?

Если x и y - оптимальные решения прямой и двойственной задач, и при этом выполняется условие Σc_jx_j = Σb_iy_i, j=1,...,n; i=1,...,m, то x и y являются:

Чему будет равна функция Розенброка f(x₁,x₂), если известно что х₁=2, а х₂=3?

Пусть для некоторой системы, состоящей из m линейно - независимых векторов матрицы ограничений прямой задачи $\{ A_i \}_{i \in I \delta}$ , базисное решение y соответствующей системы линейных уравнений вида $A^T_i y = c_i, \quad i \in I \delta$ , удовлетворяет ограничениям $A^T_j y \ge c_j, \sum a_{\mu}y_{\mu} \ge c_j, \; \mu = 1,\ldots,m, \; j = 1,\ldots,n$ Тогда данная система носит название:

Если существует такой небазисный вектор, для которого оценка отрицательна, а все элементы этого столбца неположительны, то целевая функция задачи в области допустимых решений:

Пусть ограничения в задаче имеют вид чистых неравенств: $a_i < g_i(\overline{X})<b_i , \; i=\overline{1,m}$ . Тогда согласно метода Кэррола присоединенная функция имеет вид:

Пусть в некоторой задаче минимизации функции f(x), где x є R и R – непустое выпуклое множество в Е⁽ⁿ⁾, точка x' является одновременно точкой и локального, и глобального минимумов. Тогда функция f(x):

Чему будет равно общее число сетки, если область W является трехмерным кубом, каждую сторону которого при построении сетки мы делим на 5 частей?

Кривая у = f(х) называется выпуклой в промежутке a<x<b, если она лежит ...

Пусть для некоторой выпуклой вверх(вогнутой) функции f, определенной на множестве R справедливо условие: для любых x₁, x₂ є R и 0 ≤ k ≤ 1 f[kx₁+(1–k)x₂] ≤ kf(x₁)+(1–k)f(x₂). Тогда множество R является:

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. Согласно метода Ньютона, начальные приближения x выбирают в такой точке интервала [a; b], где выполняется условие f(x)·f''(x) > 0, т.е. наблюдается совпадение знаков:

Решение методом Ньютона достигается за один шаг, если?

Предположим, что имеется интервал неопределенности (x₁; x₃) и известно значение f(x₂) внутри этого интервала. Положим x₂–x₁ = L и x₃–x₂ = R. Если x₄ находится в интервале (x₁; x₂) и новым интервалом неопределенности будет (x₁; x₂) длиной x₂–x₁ = L, то в этом случае:

Допустимый вектор x₀ оптимальный тогда и только тогда, когда в двойственной задаче имеется такое допустимое решение y₀, что:

При использовании комплексного метода, если целевая функция f(x) выпукла и функции g_i(x) тоже выпуклы, то задача будет иметь?

Запись задачи линейного программирования в виде
$\begin{aligned}& \omega = cx \rightarrow \min \\& Ax = b \\& x \ge 0\end{aligned}$
представляет собой:

Выберите из представленного ряда записей задач линейного программирования запись задачи в стандартной форме:

Если задача линейного программирования сформулирована следующим образом: максимизировать $\sum с_i x_i, \; i=1,\ldots,n$ , то условия имеют вид:

Пусть задача сформулирована в виде:максимизировать $\sum c_i x_i, \; i=1,\ldots,n$ при условиях
$\begin{aligned}& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .\end{aligned}$
Данная форма записи является:

В матричной форме задача линейного программирования записывается следующим образом:

Пусть уравнение $A_1x^_1 + A_2x^_2 +\ldots + A_n x^_n + A_{n+1} x^_{n+1} +\ldots + A_{n+m}x^_{n+m} = A_0$ определяет базисное решение $x^_1, x^_2, \ldots, x^_m$ . Предположим, что это решение допустимо, т.е. $x^_1 \ge 0, x^_2 \ge 0, \ldots, x^*_m \ge 0$ . Если А_r не входит в базис, то:

Пусть уравнение $A_1 x^_1 + A_2x^_2 +\ldots + A_n x^_n + A_{n+1} x^_{n+1} +\ldots + A_{n+m}x^_{n+m} = A_0$ определяет базисное решение $x^_1, x^_2, \ldots, x^_m$ .Новое решение $x'_1, x'_2, \ldots, x'_m, x'_r$ базисное решение связано со старым базисным решением $x^_1, x^_2, \ldots, x^_m$ соотношениями: $x'_1 = x^_1 - x_r x_{1r}; x'_2 = x^_2 - x_r x_{2r}; \ldots ; x'_m = x^_m - x_r x_{mr}, x_r$ . Данное решение будет допустимым, если:

Пусть новое решение уравнения A₁x₁+A₂x₂+...+A_mx_m+A_rx_r = А₀ имеет вид $x'_1 = x^_1 - x_r x_{1r}; x'_2 = x^_2 - x_r x_{2r}; \ldots ; x'_m = x^_m - x_r x_{mr}, x_r$ , и при этом выполняется соотношение $x_{r \max} = \min \{ x^_i / x_{ir} \}$ , т.е. данное решение является допустимым. Чтобы данное решение являлось базисным, необходимо:

Если задача линейного программирования содержит n переменных и m ограничений, не считая ограничений неотрицательности переменных x_i ≥ 0, и в оптимальное решение входит не более чем m ненулевых компонент вектора x, то выполняется условие:

Пусть дана прямая задача: максимизировать Σc_jx_j, j=1,...,n при ограничениях Σa_ijx_j≤b, i=1,...,m, x_j≥0, j=1,...,n. Если в оптимальном решении данной задачи i–е ограничение выполняется как неравенство, то оптимальное значение соответствующей двойственной переменной:

Если прямая и двойственная задачи имеют допустимые решения, и при этом двойственная задача имеет оптимальное решение, то:

Если x' и y' – допустимые решения пары двойственных задач и при этом выполняется равенство Σc_jx'_j+Σc_j(x'_j–x'_j+n2) = Σb_iy'_i + Σb_i(y'_i–y'_i+m2), то x' и y':

Сопряженным базисом называется такая система из m линейно - независимых векторов матрицы ограничений прямой задачи $\{ A_i \}_{i \in I \delta}$ , для которой базисное решение y соответствующей системы линейных уравнений вида $A^T_i y = c_i, \quad i \in I \delta$ , удовлетворяет ограничениям:

Псевдоплан x={x_i0} является оптимальным решением прямой задачи, если среди его базисных компонентов:

Пусть некоторому сопряженному базису $\{ A_i \}_{i \in I \delta}$ соответствует псевдоплан x. Среди базисных компонентов x_i имеются отрицательные, причем для некоторого i: x_i < 0, а все x_ij ≥ 0, j=1,...,n. Это значит, что задача неразрешима. Следовательно, справедливы соотношения:

Если для всех точек x, лежащих в малой окрестности точки $[x^0_1, x^0_2 ,\ldots, x^0_n ]$ имеет место неравенство $f(x^0_1, x^0_2 ,\ldots, x^0_n) \ge; f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ , то:

Если функция f(x₁,...,x_n) в некоторой внутренней точке $(x^0_1, x^0_2, \ldots, x^0_n)$ допустимой области R функция достигает относительного максимума и при этом справедливо равенство ∂f(x₀)/∂x_j = 0, j=1,...,n, то:

Если для всех точек x є R некоторой функции f(x) справедливо неравенство f(x⁰) ≥ f(x), то функция f(x):

Пусть R – выпуклое множество точек n – мерного пространства. Функция f, определенная на R, удовлетворяет условиям: для любых x₁, x₂ є R и 0 ≤ k ≤ 1 f[kx₁+(1–k)x₂] ≤ kf(x₁)+(1–k)f(x₂). Тогда функция f называется:

Если для некоторой строго вогнутой функции f(x) в некоторой окрестности точки $x^0 = (x^0_1,\ldots, x^0_n)$ знаки определителей чередуются, т.е. справедливо условие $f_{11}(x_0) < 0; \quad\begin{vmatrix}f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) \\f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0)\end{vmatrix}> 0 ; \quad\begin{vmatrix}f_{11}(x_0) & f_{12}(x_0) & f_{13}(x_0) \\f_{21}(x_0) & f_{22}(x_0) & f_{23}(x_0) \\f_{31}(x_0) & f_{32}(x_0) & f_{33}(x_0) \end{vmatrix}< 0$ , то функция f(x):

Если функции f₁(x), f₂(x),...,f_p(x) выпуклы (вогнуты) на множестве R_i, то функция g(x) = Σk_if_i(x), i=1,...,p также выпукла (вогнута) при условии:

Пусть задача нелинейного программирования задана в виде: минимизировать f(x₁,...,x_n) при условиях

h₁(x₁,...,x_n) = 0;h₂(x₁,...,x_n) = 0;...............h_m(x₁,...,x_n) = 0.

Допустим, что существует такая точка x*, в которой достигается относительный экстремум данной задачи.Известно, что существуют m чисел λ₁,...,λ_n, не все из которых равны нулю одновременно, и при которых Δf(x*) + Σλ_iΔh_i(x) = 0, i = 1,...,m. Тогда:

Пусть некоторое открытое множество Rⁿ содержит точку x^. Известно, что x^ является точкой минимума функции f(x) при ограничениях g_i(x) ≤ 0, i=1,...,m, удовлетворяющих условию регулярности в виде линейной независимости векторов Δg_i(x^), и существуют такие неотрицательные множители Лагранжа λ₁,...,λ_m, что Δf(x^) + Σλ_iΔg_i(x^) = 0;Σλ_ig_i(x^) = 0, λ_i ≥ 0, i = 1,...,m. Тогда функции g_i(x), i = 1,...,m:

Пара векторов x^, Δ^ называется седловой точкой функции Лагранжа L(x,Δ), если при всех Δ ≥ 0, x є Rⁿ выполняется условие:

Пусть f(x) и все g_i(x) выпуклы и все функции g_i(x) удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Задача нелинейного программирования задана следующим образом: минимизировать f(x) при условиях g_i(x) ≤ 0, i = 1,...,m. Пусть существует некоторый вектор Δ^* ≥ 0, такой, что L(x^,Δ) ≤ L(x^,Δ^) ≤ L(x,Δ^) и $\Delta^{T}g(x^) = \sum \lambda^_i g_i(x^) = 0$ . Тогда вектор Δ^*:

При помощи какого из нижеприведенных соотношений осуществляется нахождение экстремума функции F(x) методом Ньютона:

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. Согласно метода Ньютона, начальные приближения x выбирают в такой точке интервала [a; b], где знаки функции f(x) и ее кривизны f''(x) совпадают, т.е. выполняется условие:

Чему будет равняться функция в точке образа, если базисная точка b₁ = 4, а b₂ = 8?

Известно что x₀ = 5, x_r = 8, x_h = 6. Чему будет равен коэффициент отражения α?

Если при проверке сходимости а < σ, то это означает?

Чему будет равняться коэффициент растяжения γ, если известно, что x₀ = 4, x_e = 1, x_r = 3?

Чему будет равно общее число сетки, если область W является трехмерным кубом, каждую сторону которого при построении сетки мы делим на 5 частей?

Метод градиентного спуска предполагает движение:

Функция f(x) является выпуклой на выпуклой области X, если для всех x₁, x₂ ∈ X выполняется соотношение:

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(x-4)²→min, без ограничения?

Задана целевая функция Z=25x₁+20x₂ → max и ряд ограничений 8х₁+3х₂≤400, 3х₁+2х₂≤80, 5х₁+7х₂≤200, х₁,х₂≥0. Найти решение задачи.

Как называются промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз?

Параметрические методы подразделяются на...?

Метод штрафных функций генерирует последовательность недопустимых решений, которая приближается к оптимальному решению?

Какие существуют типы штрафов?

Как называется множество точек, с координатами [x1,x2] для которых целевая функция F(X) имеет постоянное значение?

Если в оптимальном решении некоторой задачи ограничение j выполняется как строгое неравенство и при этом оптимальное значение переменной прямой задачи равно нулю, то данная задача является:

Если прямая и двойственная задачи имеют допустимые решения, то:

Чему будет равняться коэффициент растяжения γ, если известно, что x₀ = 5, x_e = 3, x_r = 6?

Пусть имеется начальный интервал (a; b), который имеет длину L = b – a. Согласно метода Фибоначчи:

Выберите из представленного ряда записей задач линейного программирования запись задачи в общей форме:

Дана функция F(x). Пусть x' доставляет минимум функции F(x) на интервале [a; b] с заданной точностью ξ. Известно, что F₁ и F₂ - значения функции F(x) в окрестности ±ξ вычисленной точки x=(a+b)/2. Если F₁ < F₂, то:

Найти решение задачи f(x)=(x₁-2)⁴+(x₁+2x₂)² → min, x⁽⁰⁾=(0,3)^T методом Коши.

Пусть функция вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. Если в точке x' функция F(x) имеет минимум, и F'(x) является возрастающей функцией, то F'(x) в окрестности x':

Множество точек S₁(x₁,...,x_n) функции f(x) называется множеством стационарных точек, если они удовлетворяют условию:

Пусть f(x) – строго квазивыпуклая функция. Рассмотрим задачу минимизации f(x) при условии, что x є R, где R – непустое выпуклое множество в Е⁽ⁿ⁾. Если некоторая точка x' является точкой глобального минимума рассматриваемой задачи, то x' одновременно является:

Функция f(x) достигает глобального (абсолютного) максимума в точке x⁰, если для всех точек x є R справедливо:

Если вторая производная функции у = f(х) в данном промежутке положительна, то кривая...?

Пусть известен некоторый сопряженный базис $\{ A_i \}_{i \in I \delta}$ , которому соответствует псевдоплан x. Базисные компоненты псевдоплана удовлетворяют условиям x_i = x_i0≥0 для всех i є Iδ. При этом псевдоплан x является оптимальным решением. Тогда справедливы соотношения:

Рассмотрим задачу нелинейного программирования: минимизировать f(x) при $g_i(x) = - \eta^T_i x + b_i \le 0, i = 1,\ldots,m$ . Для входящего вектора справедливы следующие условия: $\Delta g^T_i(x – x^) \le 0$ или $\Delta f(x^)(x – x^) \ge 0$ для всех x є S.Тогда скаляры {λ_i}, для которых справедливо соотношение Δf(x^)=Σλ_iη_i(x) = -Σλ_iΔg_i(x^*), i є I, являются:

Пусть задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях

        a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n ≤ b₁        a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n ≤ b₂                   (1)        .........................        a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n ≤ b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0.

Тогда допустимым множеством решений задачи называется:

Пусть уравнение $A_1x^_1 + A_2x^_2 +\ldots + A_n x^_n + A_{n+1} x^_{n+1} +\ldots + A_{n+m}x^_{n+m} = A_0$ определяет базисное решение $x^_1, x^_2, \ldots, x^_m$ . При этом A_r не входит в базис, т.е. справедливо равенство: A₁x_1r+A₂x_2r+...+A_mx_mr = A_r. Тогда базисное решение имеет вид:

Пусть уравнение $A_1 x^_1 + A_2x^_2 +\ldots + A_n x^_n + A_{n+1} x^_{n+1} +\ldots + A_{n+m}x^_{n+m} = A_0$ определяет базисное решение $x^_1, x^_2, \ldots, x^_m$ . Обозначим решение уравнения A₁x₁+A₂x₂+...+A_mx_m+A_rx_r = А₀ как $\{ x'1, x'2, \ldots, x'_m, x'_r \}$ . Тогда связь нового решения $x'_1, x'_2, \ldots, x'_m, x'_r$ со старым базисным решением $x^_1, x^_2, \ldots, x^*_m$ выражается следующими соотношениями:

Для табличного симплекс – метода в качестве начального базиса выбран базис из свободных переменных, для которых c_i = 0. Соответствующее значение целевой функции определяется соотношением a₀₀ = Σc_ix_i = 0, i є I. Тогда оценки для всех небазисных переменных равны:

Если x₀ и y₀ – допустимые решения прямой и двойственной задач, т.е. Ax₀≤b и A^Ty₀≥c, то:

Если симплекс – метод не требует нахождения начального базисного решения (опорного плана), то он является:

Пусть задача линейного программирования задана в канонической форме: максимизировать L(x) = Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях ΣA_jx_j = b, j=1,...,n, x_j ≥ 0. Предположим, что n ≥ m и ранг матрицы A равен m. Тогда двойственная задача имеет вид:

Пусть f(x₁,...,x_n) дифференцируема в некоторой допустимой области R. Если для данной функции выполняется условие ∂f(x₀)/∂x_j = 0, j=1,...,n, то в некоторой внутренней точке $(x^0_1, x^0_2, \ldots, x^0_n)$ области R функция:

Для того, чтобы в точке x₀ достигался внутренний относительный минимум, достаточно, чтобы эта точка была стационарной, а сама функция в окрестности точки x₀ была:

Если для пары векторов x^, Δ^, которая носит название седловой точки функции Лагранжа L(x,Δ), выполняется условие L(x^,Δ) ≤ L(x^,Δ^) ≤ L(x,Δ^), то оно справедливо:

Уравнение нахождения точки экстремума $x_{i+1} = x_i - \frac{F'(x_i)}{F''(x_i)}$ характерно для:

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), что соответствует монотонности ее первой производной. Если в точке экстремума x' функция F(x) имеет минимум, то производная F'(x) в окрестности x' меняет знак с отрицательного на положительный, т.е. F'(x) является возрастающей функцией, значит:

Пусть имеется начальный интервал (a; b), который имеет длину L = b – a. Согласно метода Фибоначчи интервал неопределенности имеет длину L_n = L₁/F_n + ξ(F_n–2/F_n). Это значит, что:

В каком методе поиск состоит из последовательности шагов исследующего поиска вокруг базисной точки, за которой в случае успеха следует поиск по образцу.

Если при проверке сходимости а < σ, то это означает?

К чему сводит ме¬тод покоординатного спуска задачу поиска наименьшего значения функции нескольких переменных

Какие функции принято считать многоэкстремальными?

Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла также называют

Какое из приведенных ниже соотношений характеризует выпуклую функцию f(x) на выпуклой области X:

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(x-4)²→min, с ограничением х≥4?

Пусть требуется изготовить 180 деталей. Их можно изготовить двумя технологическими способами: 1 способ: 4х₁+х₁², 2 способ: 8х₂+х₂². Затраты связаны функциональной зависимостью. Сколько изделий может быть изготовлено каждым способом?

Методы внешней точки генерируют последовательность точек, которые...?

Основная идея метода штрафной функции состоит в...?

Какой будет линия профиля при С = 0?

Если задача сформулирована в виде: максимизировать $\sum с_i x_i, \; i=1,\ldots,n$ при условиях
$\begin{aligned}& a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \le b_1 \\& a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \le b_2 \\& \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\& a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \le b_n, \; x_1 \ge 0, x_2 \ge 0, \ldots, x_n \ge 0 .\end{aligned}$
то это задача:

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(x-2)²→min, с ограничением х≥4?

Задача линейного программирования в канонической форме имеет вид: максимизировать L(x) = Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях ΣA_jx_j = b, j=1,...,n, x_j ≥ 0. Двойственная задача к ней задача записана так: минимизировать $L'_{\partial e}(y) = \sum b_{\mu} y_{\mu}, \mu = 1,\ldots,m$ при условиях $A^T_j y \ge c_j, \sum a_{\mu} y_{mu} \ge c_j, \mu = 1,\ldots,m, j=1,\ldots,n$ Тогда выполняется условие:

Если направление, противоположное направлению градиента, характеризуется наискорейшим убыванием функции, то направление градиента:

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), что соответствует монотонности ее первой производной. Известно, что если функция F(x) имеет локальный минимум (максимум) в точке x', то в этой точке градиент функции F(x):

Если оптимальное значение переменной прямой задачи равно нулю, то в оптимальном решении двойственной задачи ограничение j выполняется как:

Каноническая форма задачи линейного программирования имеет вид:

Задача линейного программирования сформулирована в матричной форме: максимизировать c^Tx при ограничениях Аx≤b; x≥0;. Тогда ограничения имеют вид:

Множество R(x) всех векторов x, которые удовлетворяют условиям:

	a₁₁x₁ + a₁₂x₂+...+a_1nx_n ≤ b₁	a₂₁x₁ + a₂₂x₂+...+a_2nx_n ≤ b₂	.........................	a_m1x₁ + a_m2x₂+...+a_mnx_n ≤ b_n, x₁≥0,x₁≥0,...,x_n≥0,

является:

Новое базисное решение уравнения A₁x₁+A₂x₂+...+A_mx_m+A_rx_r = А₀ имеет вид $x'_1 = x^_1 - x_r x_{1r}; x'_2 = x^_2 - x_r x_{2r}; \ldots ; x'_m = x^_m - x_r x_{mr}, x_r$ . При этом имеет место соотношение: $x_{r \max} = \min \{ x^_i / x_{ir} \}$ . Тогда новое решение:

n – мерный вектор x, для которого x_i=x_i0 при i є Iδ, и x_j=0 при i ∉ Iδ, и при этом выполняются условия: Δj ≥ 0, j=1,...,n;, называется:

Пусть в некоторой точке x₀ достигается внутренний относительный минимум, и сама функция при этом в окрестности точки x₀ строго выпукла. Тогда точка x₀:

Чему будет равняться функция в точке образа, если базисная точка b₁ = 2, а b₂ = 5?

В чем состоит основная идея метода градиентного спуска?

Как называются функции с двумя и более локальными минимумами?

Пусть требуется изготовить 90 деталей. Их можно изготовить двумя технологическими способами: 1 способ: х₁+3х₁², 2 способ: 2х₂+х₂². Затраты связаны функциональной зависимостью. Сколько изделий может быть изготовлено каждым способом?

Что из ниже перечисленного является ограничением в виде равенства?

Если штраф создает барьер из больших значений Р вдоль границы допустимой области, эти методы называются...?

Квазиньютоновские методы обладают чертами метода Ньютона, но используют только ...?

С чем связана сходимость метода штрафных функций?

Если значения целевой функции прямой задачи никогда не превышают значений целевой функции двойственной задачи, т.е. c^Tx₀≤b^Ty₀, то допустимые решения прямой и двойственной задач имеют вид:

Задача линейного программирования сформулирована в каноническом виде:максимизировать $\sum c_i x_i, \; i=1,\ldots,n$ . Тогда условия ограничения имеют вид:

Решение уравнения A₁x₁+A₂x₂+...+A_mx_m+A_rx_r = А₀ имеет вид $x'_1 = x^_1 - x_r x_{1r}; x'_2 = x^_2 - x_r x_{2r}; \ldots ; x'_m = x^_m - x_r x_{mr}, x_r$ , и при этом выполняется соотношение $x_{r \max} = \min \{ x^_i / x_{ir} \}$ . Выведем одну переменную x_i из базисного решения, а соответствующий вектор из базиса. Новое решение имеет вид $x^_1 - x_{r \max} x_{1r}; x^_2 - x_{r \max} x_{2r}; \ldots; x_{r \max}$ . Данное решение:

Пусть дана прямая задача: максимизировать Σc_jx_j, j=1,...,n при ограничениях Σa_ijx_j≤b, i=1,...,m, x_j≥0, j=1,...,n. Если оптимальное значение соответствующей двойственной переменной равно нулю, то в оптимальном решении данной задачи i–е ограничение выполняется:

Двойственная задача линейного программирования имеет вид: минимизировать Σb_iy_i, i=1,...,m при условиях Σа_ijy_i≥c_j, j=1,...,n₁≤n; Σа_ijy_i=c_j, j=n₁+1, n₁+2,...,n. Тогда прямая задача имеет вид:

Пусть функция f(x) определена на непустом и выпуклом множестве R. При этом для функции f(x) выполняется условие: для любых x₁, x₂ є R и λ є [0;1] f(λx₁ + (1–λ)x₁) ≤ max{f(x₁),f(x₂)}. Тогда функция f(x):

Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. Если в точке x' функция F(x) имеет максимум, и F'(x) является убывающей функцией, то F'(x) в окрестности x':

Чему будет равен условный минимум x, при заданной функции f(x)=(3-x)²→min, без ограничения?

Задана целевая функция Z=30x₁+40x₂ → max и ряд ограничений 12х₁+4х₂≤300, 4х₁+4х₂≤120, 3х₁+12х₂≤252, х₁,х₂≥0. Найти решение задачи.

Функция f(x) является строго квазивыпуклой, если для всех действительных x₁, x₂ таких, что f(x₁) ≠ f(x₂) и λ є (0;1) выполняется неравенство:

Если для табличного симплекс – метода в качестве начального базиса выбирают базис из свободных переменных, для которых ci = 0, и оценки для всех небазисных переменных равны Δ_j=a_0j=-c_j, то соответствующее значение целевой функции определяется соотношением:

Общая форма задачи линейного программирования имеет вид:

Задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n. В векторной форме ограничения задачи имеют вид:

Если x₀ и y₀ допустимые решения прямой и двойственной задач и при этом x₀ и y₀ – оптимальные решения пары двойственных задач, то справедливо соотношение:

Предположим, что имеется интервал неопределенности (x₁; x₃) и известно значение f(x₂) внутри этого интервала. Положим x₂–x₁ = L и x₃–x₂ = R, L > R. Если x₄ находится в интервале (x₁; x₂) и новым интервалом неопределенности будет (x₁; x₂) длиной x₂–x₁ = L, то:

Согласно симплекс – метода, верное базисное решение $x^_1, x^_2, \ldots, x^*_m$ при ограничениях задачи линейного программирования A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n+A_n+1x_n+1+...+A_n+mx_n+m=A₀ имеет вид:

Пусть задача нелинейного программирования задана следующим образом: минимизировать f(x) при условиях g_i(x) ≤ 0, i = 1,...,m. Известно, что существует некоторый вектор Δ^* ≥ 0, такой, что L(x^,Δ) ≤ L(x^,Δ^) ≤ L(x,Δ^) и $\Delta^{T}g(x^) = \sum \lambda^_i g_i(x^) = 0$ . Функции g_i(x) удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Тогда:

Если существует такой небазисный вектор, для которого все элементы столбца неположительны, а целевая функция задачи в области допустимых решений неограниченна, то для такого вектора оценка:

Рассмотрим задачу нелинейного программирования: минимизировать f(x) при $g_i(x) = - \eta^T_i x + b_i \le 0, i = 1,\ldots,m$ . Известно, что существует множество неотрицательных скаляров {λ_i} ≥ 0, для которых справедливо соотношение Δf(x^)=Σλ_iη_i(x) = -Σλ_iΔg_i(x^), i є I. Тогда для входящего вектора справедливо условие:

Согласно какому методу после вычисления в начальной точке градиента функции делают в направлении антиградиента не маленький шаг, а движутся до тех пор, пока функция убывает?

Введение в математическое программирование - ответы

Если среди базисных компонентов псевдоплана x нет отрицательных, то псевдоплан x={xi0} является:

Какие ограничения удовлетворяются в комбинированных методах в процессе оптимизации?

Если функции f1(x), f2(x),...,fp(x) выпуклы (вогнуты) на множестве Ri и выполняется условие ki ≥ 0, i = 1,2,...,p, то функция g(x) = Σkifi(x), i=1,...,p:

С помощью каких операций перемещается симплекс в методе Спендли, Хекста и Химсворта?

Можно ли при наличии ограничения использовать критерии оптимальности безусловной оптимизации?

Пусть известен некоторый сопряженный базис , которому соответствует псевдоплан x, базисные компоненты которого xi = xi0≥0 для всех i є Iδ. При этом Тогда:

Двойственный симплекс – метод, в отличии от прямого, не требует:

Если x0 и y0 – оптимальные решения пары двойственных задач, и кроме того, cTx0=bTy0, то:

Если в двойственной задаче допустимый вектор x0 является оптимальным и при этом выполняется условие cTx0=bTy0, то:

Чему будет равна функция Розенброка f(x1,x2), если известно что х1=1, а х2=2?

К какой группе относиться метод штрафных функций?

Для решения каких задач чаще используется "метод сеток"?

Согласно методу Ньютона, точка экстремума равна:

Пусть функция f(x) определена на непустом и выпуклом множестве R. Функция f(x) квазивыпукла, если для любых x1, x2 є R и λ є [0;1] выполняется неравенство:

Что является недостатком метода Коши?

Присоединенная функция построена в виде так называемого барьера:. При этом ограничения в задаче имеют вид:

Функция f(x) достигает локального максимума в точке , если для всех точек x, лежащих в малой окрестности точки имеет место неравенство:

Пусть функция f(x) является строго квазивыпуклой и выполняется неравенство f(λx1 + (1–λ)x1) < max{f(x1),f(x2)}. При этом для всех действительных x1, x2 выполняется условие:

Задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σсixi, i=1,...,n при условиях A1x1+A2x2+...+Anxn≤b; Данная форма записи является: