Основы математической статистики

По выборке $X_1,\ldots,X_n \:\sim \:N(m, \theta^2)$ с известным математическим ожиданием построены доверительные интервалы уровня надежности $1-\alpha$ для параметра $\theta^2$ .Обозначим $\chi_{\beta,n}^2$ - квантиль уровня $\beta$ распределения хи-квадрат с степенями свободы. Какой из представленных интервалов является центральным доверительным интервалом параметра $\theta^2$ ?

(Отметьте один правильный вариант ответа.)

Варианты ответа

$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-m)^2}{\chi_{1-2\alpha/3;n}^2};\:\:\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-m)^2}{\chi_{\alpha/3;n}^2}$

$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-m)^2}{\chi_{1-3\alpha/4;n}^2};\:\:\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-m)^2}{\chi_{\alpha/4;n}^2}$

$\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-m)^2}{\chi_{1-\alpha/2;n}^2};\:\:\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-m)^2}{\chi_{\alpha/2;n}^2}$ (Верный ответ)

Похожие вопросы

По выборке $X_1,\ldots,X_n \:\sim \:N(\theta_1, \theta_2^2)$ построены доверительные интервалы уровня надежности $1-\alpha$ для параметра $\theta_1$ .Обозначим S^2

- выборочную дисперсию, а $t_{\beta;n}$ -квантиль уровня $\beta$ распределения Стьюдента с

степенями свободы. Какой из представленных интервалов является центральным доверительным интервалом параметра $\theta_1$ ?

По выборке $X_1,\ldots,X_n \:\sim \:N(\theta_1, \sigma^2)$ с известной дисперсией $\sigma^2$ построены доверительные интервалы уровня надежности $1-\alpha$ для параметра $\theta_1$ . Обозначим $z_{\beta}$ - квантиль стандартного гауссовского распределения уровня $\beta$ . Какой из представленных интервалов является центральным доверительным интервалом параметра $\theta_1$ ?

По выборке $X_1,\ldots,X_{100}$ из распределения $F(x,\theta)$ требуется проверить гипотезу о том, что неизвестный параметр $\theta$ равен 5 против альтернативы о том, что значение параметра $\theta$ больше 5. Для проверки этой гипотезы применяется некоторый состоятельный критерий. Уровень значимости этого критерия равен 0.05. Чему равна функция мощности этого критерия в точке 5?

По выборке $X_1,\ldots,X_{100}$ из распределения $F(x,\theta)$ требуется проверить гипотезу о том, что неизвестный параметр $\theta$ равен 5 против альтернативы о том, что значение параметра $\theta$ больше 5. Для проверки этой гипотезы применяется некоторый состоятельный критерий. Уровень значимости этого критерия равен 0.05. Функция мощности этого критерия в точке 6 можетпринимать значение:

Пусть выборка $X_1,\ldots,X_n \:\sim \:F(t)$ , а выборка $Y_1,\ldots,Y_k \:\sim \:F(t+\theta)$ . Для проверки гипотезы $H_0\:\::\theta=0$ применяют критерий Вилкоксона и критерий Стьюдента. Известно, что распределение F(t)

- непрерывное распределение с нулевой медианой. Чему равна нижняя граница e(W,t)

АОЭ (асимптотической относительной эффективности) по Питмену критерия Вилкоксона по отношению к критерию Стьюдента?

Пусть $Z=X/\sqrt{Y/3}$ , где случайная величина

имеет стандартное нормальное распределение N(0,1)

, а случайная величина

имеет распределение хи-квадрат с тремя степенями свободы ( $\chi^2(3)$ ). Известно, что

независимы. Какое распределение имеет случайная величина

Пусть $Z=X/\sqrt{Y/2}$ , где случайная величина

имеет стандартное нормальное распределение N(0,1)

, а случайная величина

имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы ( $\chi^2(2)$ ). Известно, что

независимы. Какое распределение имеет случайная величина

Пусть $Z=X/\sqrt{Y}$ , где случайная величина

имеет стандартное нормальное распределение N(0,1)

, а случайная величина

имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы ( $\chi^2(1)$ ). Известно, что

независимы. Какое распределение имеет случайная величина

-это распределение Тьюки ("загрязненное" нормальное распределение) с параметром "загрязнения" равным 0.05. АОЭ (асимптотическая относительная эффективность) по Питмену критерия Вилкоксона по отношению к критерию Стьюдента при описанных условиях будет:

Рассматриваются две независимые гауссовские выборки $X_1,\ldots,X_n \:\sim \:N(m_1, \sigma^2)$ и $Y_1,\ldots,Y_k \:\sim \:N(m_2, \sigma^2)$ . Параметры m_1,m_2

и $\sigma^2$ неизвестны. Обозначим $S^2=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2 + \sum_{j=1}^k (Y_j - \overline{Y})^2}{n+k-2}$ . Какое распределение имеет статистика $\frac{\overline{X}-\overline{Y}-(m_1-m_2)}{S \cdot \sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{k}}}$ ?