Функция f(x) является выпуклой на выпуклой области X, если для всех x₁, x₂ ∈ X выполняется соотношение:

Если для всех x₁, x₂ ∈ X выполняется соотношение f[θx₂+(1–θ)x₁]≤θf(x₂)+(1–θ)f(x₁) при 0 < θ < 1, то функция f(x) на выпуклой области X является:

Пусть R – выпуклое множество точек n – мерного пространства. Функция f, определенная на R, называется выпуклой верх, если для любой пары точек x₁, x₂ є R и произвольного 0 ≤ k ≤ 1 справедливо:

Пусть для некоторой выпуклой вверх(вогнутой) функции f, определенной на множестве R справедливо условие: для любых x₁, x₂ є R и 0 ≤ k ≤ 1 f[kx₁+(1–k)x₂] ≤ kf(x₁)+(1–k)f(x₂). Тогда множество R является:

Если некоторая точка x₀ функции является стационарной, а сама функция в окрестности точки x₀ является строго выпуклой, то в точке x₀:

Дана функция F(x). Известно, что x' доставляет некоторый экстремум функции F(x) на интервале [a; b] с заданной точностью ξ. При этом F₁ и F₂ – значения функции F(x) в окрестности ±ξ вычисленной точки x=(a+b)/2. Если F₁ < F₂, т.е. b = x, то:

Пусть f(x) – строго квазивыпуклая функция. Рассмотрим задачу минимизации f(x) при условии, что x є R, где R – непустое выпуклое множество в Е⁽ⁿ⁾. Если некоторая точка x' является точкой глобального минимума рассматриваемой задачи, то x' одновременно является:

Функция f(x) является строго квазивыпуклой, если для всех действительных x₁, x₂ таких, что f(x₁) ≠ f(x₂) и λ є (0;1) выполняется неравенство:

Пусть f(x₁,...,x_n) дифференцируема в некоторой допустимой области R. Если для данной функции выполняется условие ∂f(x₀)/∂x_j = 0, j=1,...,n, то в некоторой внутренней точке области R функция:

Если для всех действительных x₁, x₂, таких, что f(x₁) ≠ f(x₂) и λ є (0;1) выполняется неравенство f(λx₁ + (1–λ)x₁) < max{f(x₁),f(x₂)}, то функция f(x) является:

Дана функция F(x). Пусть x' доставляет минимум функции F(x) на интервале [a; b] с заданной точностью ξ. Известно, что F₁ и F₂ – значения функции F(x) в окрестности ±ξ вычисленной точки x=(a+b)/2. При поиске минимума был отброшен отрезок [x; b], т.е. b = x. Это значит, что: