Если функции f1(x), f2(x),...,fp(x) выпуклы (вогнуты) на множестве Ri, то функция g(x) = Σkifi(x), i=1,...,p также выпукла (вогнута) при условии:
Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. Согласно метода Ньютона, начальные приближения x выбирают в такой точке интервала [a; b], где знаки функции f(x) и ее кривизны f''(x) совпадают, т.е. выполняется условие:
Пусть
f(x) и все
gi(x) выпуклы и все функции
gi(x) удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Задача нелинейного программирования задана следующим образом: минимизировать
f(x) при условиях
gi(x) ≤ 0, i = 1,...,m. Пусть существует некоторый вектор
Δ* ≥ 0, такой, что
L(x*,Δ) ≤ L(x*,Δ*) ≤ L(x,Δ*) и
. Тогда вектор
Δ*:
Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), и ее первая производная монотонна. Для нахождения экстремума функции F(x) методом Ньютона начальные приближения x выбирают в такой точке интервала [a; b], где знаки функции f(x) и ее кривизны f''(x):
Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), что соответствует монотонности ее первой производной. Если в точке экстремума x' функция F(x) имеет минимум, то производная F'(x) в окрестности x' меняет знак с отрицательного на положительный, т.е. F'(x) является возрастающей функцией, значит:
Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. Если в точке x' функция F(x) имеет максимум, и F'(x) является убывающей функцией, то F'(x) в окрестности x':
Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), следовательно, ее первая производная монотонна. Если в точке x' функция F(x) имеет максимум, то производная F'(x) в окрестности x' меняет знак с положительного на отрицательный, т.е. F'(x) является убывающей функцией, значит:
Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), т.е. ее первая производная монотонна. Если функция F(x) имеет локальный минимум (максимум) в точке x', то в этой точке градиент функции F(x) равен нулю, т.е.:
Пусть функция F(x) вогнута (выпукла), что соответствует монотонности ее первой производной. Известно, что если функция F(x) имеет локальный минимум (максимум) в точке x', то в этой точке градиент функции F(x):
Дана функция F(x). Известно, что x' доставляет некоторый экстремум функции F(x) на интервале [a; b] с заданной точностью ξ. При этом F1 и F2 – значения функции F(x) в окрестности ±ξ вычисленной точки x=(a+b)/2. Если F1 < F2, т.е. b = x, то: