Линейная алгебра

Доказательство, какой теоремы приведено ниже: Пусть $d=\upsilon -w$ и $b=w-w_{1}\in W$ . По определению $a\perp b$ , поэтому
$\left\Vert a\perp b\right\Vert ^{2}=(a+b,a+b)=\left\Vert a\right\Vert^{2}+\left\Vert b\right\Vert ^{2}$

(Отметьте один правильный вариант ответа.)

Варианты ответа

если $\varpi$ - ортогональная проекция вектора $\upsilon$ на подпространство W и $\varpi _{1}\in W$ , то

$\left\Vert v-w_{1}\right\Vert ^{2}=\left\Vert v-w\right\Vert^{2}+\left\Vert w-w_{1}\right\Vert ^{2}$

(Верный ответ)

если $e_{1},...,e_{n}$ - ортонормированный базис пространства V и $\upsilon \in V$ , то $\upsilon =\sum\limits_{i=1}^{k}(\upsilon ,e_{i})e_{i}$

если w и $w^{\perp }$ - ортогональные проекции вектора $\upsilon$ на подпространства W и $W^{\perp }$ , то $\upsilon =w+w\perp$

Похожие вопросы

Пусть линейный оператор в пространстве $R^{3}$ имеет в базисе $\left( \left( 8,\ -6,\ 7\right) ,\ \left( -16,\ 7,\ -13\right) ,\ \left(9,\ -3,\ 7\right) \right)$ матрицу

$\left( \begin{array}{ccc}1 & -18 & 15 \\ -1 & -22 & 20 \\ 1 & -25 & 22%\end{array}%\right)$

Какая будет его матрица в базисе $\left( \left( 1,\ -2,\ 1\right) ,\ \left( 3,\ -1,\ 2\right) ,\ \left( 2,\1,\ 2\right) \right)$ ?

Пусть линейный оператор в пространстве

в базисе $\left( e_{1},\ ...,\ e_{4}\right)$ имеет матрицу

$\left( \begin{array}{cccc}0 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 4 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 0 & 3 \\ 6 & 1 & -1 & 7%\end{array}%\right)$

Какая будет матрица этого оператора в базисе $\left( e_{2},\ e_{1},\ e_{3},\ e_{4}\right)$ ?

Пусть линейный оператор в пространстве $R\left[ x\right] _{2}$ имеет в базисе $(1,\ x,\ x^{2})$ матрицу

$\left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0%\end{array}%\right)$

Какая будет его матрица в базисе $\left( 3x^{2}+2x+1,\ x^{2}+3x+2,\ 2x^{2}+x+3\right)$ ?

Определите, какие подпространства в $R\left[ x\right] _{n}$ и $C\left[ x\right] _{n}$ , инвариантные относительно оператора $A\left( f\right) =x\frac{df}{dx}$ :

Определите, какие подпространства в $R\left[ x\right] _{n}$ и $C\left[ x\right] _{n}$ , инвариантные относительно оператора $A(f)=\frac{1}{x}\ \int\limits_{0}^{x}\ f(t)dt$ :

Доказательство, какого следствия приведено ниже: Если $\alpha _{i}$ - угол между вектором $e_{i}$ и подпространством W, то $d_{i}=d/\cos \alpha$ ?

В пространстве многочленов $M^{2}$ задано скалярное произведение $(f,g)=a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}, гдеf(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}, \ \ g(t)=b_{0}+b_{1}+b_{2}t^{2}$ . Как будет выглядеть матрица оператора дифференцирования А и сопряженного оператора $A^{\ast }$ в базисе

$\left( 1,t,\frac{3}{2}t^{2}-\frac{1}{2}\right)$

Линейное преобразование $\varphi$ в базисе $e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ имеет матрицу

$\left( \begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3%\end{array}%\right)$

. Как будет выглядеть матрица этого же преобразования в базисе: $e_{1},e_{3},e_{2},e_{4}$ ?

Линейное преобразование $\varphi$ в базисе $a_{1}=(8,-6,7),\\ a_{2}=(-16,7,-13),\\ a_{3}=(9,-3,7)$ имеет матрицу

$\left( \begin{array}{ccc}1 & -18 & 15 \\ -1 & -22 & 15 \\ 1 & -25 & 22%\end{array}%\right)$

Как будет выглядеть матрица в базисе $b_{1}=(1,-2,1),\ \ b_{2}=(3,-1,2),\ \ b_{3}=(2,1,2)$ ?

Линейное преобразование $\varphi$ в базисе $e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ имеет матрицу

$\left( \begin{array}{ccc}15 & -11 & 5 \\ 20 & -15 & 8 \\ 8 & -7 & 6%\end{array}%\right)$

Как будет выглядеть матрица в базисе $f_{1}=2e_{1}+3e_{2}+e_{3},\ \ f_{2}=3e_{1}+4e_{2}+e_{3},\ \f_{3}=e_{1}+2e_{2}+2e_{3}$ ?

Линейная алгебра

Доказательство, какой теоремы приведено ниже: Пусть и . По определению , поэтому

Доказательство, какой теоремы приведено ниже: Пусть $d=\upsilon -w$ и $b=w-w_{1}\in W$ . По определению $a\perp b$ , поэтому
$\left\Vert a\perp b\right\Vert ^{2}=(a+b,a+b)=\left\Vert a\right\Vert^{2}+\left\Vert b\right\Vert ^{2}$