Если в оптимальное решение задачи линейного программирования входит не более чем m ненулевых компонент вектора x, все переменные x_i ≥ 0 и все ограничения записаны в форме неравенств, то задача линейного программирования содержит:

Если задача линейного программирования содержит n переменных и m ограничений, не считая ограничений неотрицательности переменных x_i ≥ 0, и в оптимальное решение входит не более чем m ненулевых компонент вектора x, то выполняется условие:

Если задача линейного программирования содержит n переменных и m ограничений, записанных в форме неравенств (n > m), не считая ограничений неотрицательности переменных x_i ≥ 0, то в оптимальное решение входит:

Если прямая задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях Σa_ijx_j≤b_i, i=1,...,m₁<m; Σa_ijx_j=b_i, i=m₁+1,m₁+2,...,m; x_j≥0; j=1,...,n₁<n. Тогда двойственная ей задача имеет вид: минимизировать Σb_iy_i. Условия ограничения двойственной задачи имеют вид:

Пусть задача линейного программирования задана в канонической форме: максимизировать L(x) = Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях ΣA_jx_j = b, j=1,...,n, x_j ≥ 0. Предположим, что n ≥ m и ранг матрицы A равен m. Тогда двойственная задача имеет вид:

Пусть ограничения задачи линейного программирования записаны в виде: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n+A_n+1x_n+1+...+A_n+mx_n+m=A₀, где А₁,...,А_m – множество линейно независимых векторов. Согласно симплекс – метода, базисное решение определяется уравнением:

Задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n. В векторной форме ограничения задачи имеют вид:

Задача линейного программирования сформулирована в матричной форме: максимизировать c^Tx при ограничениях Аx≤b; x≥0;. Тогда ограничения имеют вид:

Пусть задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σс_ix_i, i=1,...,n при условиях

        a11x1 + a12x2+...+a1nxn ≤ b1        a21x1 + a22x2+...+a2nxn ≤ b2                   (1)        .........................        am1x1 + am2x2+...+amnxn ≤ bn, x1≥0,x1≥0,...,xn≥0.        

Тогда множество R(x) является допустимым множеством решений данной задачи, если оно удовлетворяет условиям:

Пусть задана задача нелинейного программирования: минимизировать f(x₁,...,x_n) при условиях

h1(x1,...,xn) = 0;h2(x1,...,xn) = 0;...............hm(x1,...,xn) = 0. 

Допустим, что существует такая точка x*, в которой достигается относительный экстремум данной задачи. Если ранг матрицы I = [δh_j(x)/δx_j], i = 1,...,m; j = 1,...,n в точке x* равен m, то существуют m чисел λ₁,...,λ_n, не все из которых равны нулю одновременно, и при которых:

Пусть задача нелинейного программирования задана в виде: минимизировать f(x₁,...,x_n) при условиях

h1(x1,...,xn) = 0;h2(x1,...,xn) = 0;...............hm(x1,...,xn) = 0. 

Допустим, что существует такая точка x*, в которой достигается относительный экстремум данной задачи.Известно, что существуют m чисел λ₁,...,λ_n, не все из которых равны нулю одновременно, и при которых Δf(x*) + Σλ_iΔh_i(x) = 0, i = 1,...,m. Тогда: