Линейная алгебра

Как будет выглядеть невырожденное линейное преобразование, которое приводит квадратичные формы $F=x_{1}^{2}+5x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}G=x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}-10x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}$ к каноническому виду?

(Отметьте один правильный вариант ответа.)

Варианты ответа

форма F отрицательно определена. Преобразование неизвестных $z_{1}=\frac{1}{3}x_{1}-\frac{4}{3}x_{2}+x_{3},\ \ z_{2}=\frac{2}{3}x_{1}-%\frac{5}{3}x_{2}-2x_{3},\ \ z_{3}=\frac{2}{3}x_{1}-\frac{2}{3}x_{2}-3x_{3}$ приводят форму F к нормальному виду, а форму G - к каноническому виду $(-5)z_{1}^{2}-2z_{2}^{2}+z_{3}^{2}$

форма F положительно определена. Преобразование неизвестных $z_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}+\frac{2}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}%x_{3},\ \ z_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}x_{1}+\frac{2}{\sqrt{6}}x_{2}-\frac{2}{%\sqrt{6}}x_{3},\ \ z_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{1}-\sqrt{2}x_{3}$$ приводит форму F к нормальному виду, а форму G - к каноническому виду $5z_{1}^{2}+2z_{2}^{2}$

матрицы форм F и G перестановочны . Ортогональное преобразование неизвестных

$y_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{3}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}%x_{2},\ \ y_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}x_{3},\ \ y_{3}=%\frac{1}{\sqrt{6}}x_{1}+\frac{3}{\sqrt{6}}x_{2}+\frac{1}{\sqrt{6}}x_{3}$

приводит форму к каноническуому виду $3y_{1}^{2}-2y_{2}^{2}+6y_{3}^{2}$ , а форму G - к каноническому виду $(-6)y_{1}^{2}+6y_{2}^{2}$ (Верный ответ)

Похожие вопросы

Как будет выглядеть невырожденное линейное преобразование, которое приводит квадратичные формы $F=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}G=2x$_{1}^{2}+8x_{2}^{2}+3x_{3}^{2}+8x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}$ к каноническому виду?

Как будет выглядеть невырожденное линейное преобразование, которое приводит квадратичные формы

$F=-x_{1}^{2}-5x_{2}^{2}-14x_{3}^{2}+4x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{3}-8x_{2}x_{3}G=-x_{1}^{2}-14x_{2}^{2}-4x_{3}^{2}+8x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}$

к каноническому виду?

Какое будет ортогональное преобразование неизвестных для квадратичной формы $-3x_{2}^{2}+4x_{1}x_{2}+10x_{1}x_{3}-4x_{2}x_{3}$ , приводящую эту форму к каноническому виду?

Какое будет ортогональное преобразование неизвестных для квадратичной формы $2x_{1}^{2}+5x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}-4x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}$ , приводящую эту форму к каноническому виду?

Какое будет ортогональное преобразование неизвестных для квадратичной формы $-x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-5x_{3}^{2}+6x_{1}x_{3}+4x_{2}x_{3}$ , приводящую эту форму к каноническому виду?

Как будет выглядеть кососимметрическая билинейная функция $x_{1}y_{2}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}+2x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-2x_{3}y_{2}$ , если привести ее к каноническому виду?

Линейное преобразование $\varphi$ в базисе $e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ имеет матрицу

$\left( \begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3%\end{array}%\right)$

. Как будет выглядеть матрица этого же преобразования в базисе: $e_{1},e_{3},e_{2},e_{4}$ ?

Линейное преобразование $\varphi$ в базисе $e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}$ имеет матрицу

$\left( \begin{array}{ccc}15 & -11 & 5 \\ 20 & -15 & 8 \\ 8 & -7 & 6%\end{array}%\right)$

Как будет выглядеть матрица в базисе $f_{1}=2e_{1}+3e_{2}+e_{3},\ \ f_{2}=3e_{1}+4e_{2}+e_{3},\ \f_{3}=e_{1}+2e_{2}+2e_{3}$ ?

Линейное преобразование $\varphi$ в базисе $a_{1}=(8,-6,7),\\ a_{2}=(-16,7,-13),\\ a_{3}=(9,-3,7)$ имеет матрицу

$\left( \begin{array}{ccc}1 & -18 & 15 \\ -1 & -22 & 15 \\ 1 & -25 & 22%\end{array}%\right)$

Как будет выглядеть матрица в базисе $b_{1}=(1,-2,1),\ \ b_{2}=(3,-1,2),\ \ b_{3}=(2,1,2)$ ?

Пусть

- линейное преобразование пространства

. Линейное подпространство $R_{1}$ называется инвариантным относительно

, если:

Линейная алгебра

Как будет выглядеть невырожденное линейное преобразование, которое приводит квадратичные формы к каноническому виду?