Программирование

<<- Назад к вопросам

Для приближения функции, заданной на отрезке [a, b],применяется сплайн-интерполяция. Для этого отрезок разбиваетсяна n частей точкамиx₀, x₁, x₂, ..., x_n,в которых заданы значения функцииy₀, y₁, y₂, ..., y_n,На каждом из этих маленьких отрезков[x_i, x_i+1] функция приближаетсямногочленом степени d, который на концах отрезка принимаетзаданные значения. Пусть, помимо значений функции в узлах интерполяцииy_i,заданы также и значения ее производнойy'_i в узлах; производная каждого интерполяционногомногочлена также должна принимать заданные значенияна концах отрезка [x_i, x_i+1].Чему должна быть равнастепень d интерполяционных многочленов, из которыхсоставляется искомый сплайн?

(Отметьте один правильный вариант ответа.)

Варианты ответа

Степень d = 1.

Степень d = 2.

Степень d = 3. (Верный ответ)

Степень d = 4.

Похожие вопросы

Пусть неизвестная функция определена на отрезке [a, b],причем на концах отрезка заданы ее значенияy₀=f(a),y₁=f(b),а также значения ее производнойy'₀=f'(a),y'₁=f'(b).Нужно приблизить функцию многочленом так, чтобы на концах отрезкаего значения, а также значения его производной совпадали созначениями и производной функции. Какой должна бытьстепень такого многочлена? (Укажите минимальнуюстепень, достаточную для решения этой задачи.)

Пусть неизвестная функция определена на отрезке [a, b],причем на концах отрезка заданы ее значенияy₀=f(a),y₁=f(b),а также значения ее производнойy'₀=f'(a),y'₁=f'(b).Всегда ли существует многочлен степени 2 такой, чтона концах отрезка его значения и значения его производнойсовпадают со значениями и производной функции?

Пусть функцияf(x) = p*x² + q*x + r(многочлен степени 2) задана на отрезке [a, b].Пусть отрезок [a, b] разделен на 4 равных части;обозначим концы этих отрезков черезx₀, x₁,x₂, x₃, x₄:

    h = (b-a)/4, x_i = a+i*h, i = 0,1,2,3,4.

Обозначим

    y_i = f(x_i).

Чему равен интеграл функции f(x)по отрезку [a, b]? Отметьте все правильные ответы.

Пусть функцияf(x) = p*x² + q*x + r(многочлен степени 2), заданная на отрезке [a, b],принимает значенияy₀, y₁, y₂в точках a, (a+b)/2, b(на концах и в середине отрезка). Чему равен интеграл от этойфункции по отрезку [a, b]?

Интерполяционный многочлен в форме Ньютона, построенныйпо узламx₀, x₁, ..., x_n ипринимающий в этих узлах значенияy₀, y₁, ..., y_n,представляется формулой

p_n(x) = a₀ + a₁(x-x₀) + a₁(x-x₀)(x-x₁) + ... + a_n(x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n-1)

Пусть коэффициентыa₀, a₁, ..., a_nмногочлена p_n(x)уже вычислены. Мы добавляем новый узел x_n+1,значение в котором должно быть равно y_n+1,и строим новый многочлен Ньютона p_n+1(x)на единицу большей степени по узламx₀, x₁, ..., x_n, x_n+1и значениямy₀, y₁, ..., y_n, y_n+1.Сколько действий нужно выполнить, чтобы вычислить всекоэффициенты нового многочлена?

Пусть f(x) - гладкая функция,заданная на отрезке [a, b], производная которойпо абсолютной величине не превышает некоторой константы.Для приближенного вычисления интеграла от этой функции мыприменяем формулу прямоугольников, разбивая отрезок[a, b] на n равных частей.Какова точность вычисления интеграла в зависимости от n?

Пусть f(x) - гладкая функция,заданная на отрезке [a, b], вторая производная которойпо абсолютной величине не превышает некоторой константы.Для приближенного вычисления интеграла от этой функции мыприменяем формулу трапеций, разбивая отрезок[a, b] на n равных частей.Какова точность вычисления интеграла в зависимости от n?

Пусть f(x) - гладкая функция,заданная на отрезке [a, b], третья производная которойпо абсолютной величине не превышает некоторой константы.Для приближенного вычисления интеграла от этой функции мыприменяем формулу Симпсона (парабол), разбивая отрезок[a, b] на 2*n равных частей.Какова точность вычисления интеграла в зависимости от n?

Пусть 2 многочлена p(x) и q(x)степени 4 принимают в четырех попарно различных узлахx₀, x₁,x₂, x₃ одни и те жезначенияy₀, y₁,y₂, y₃. Следует ли изэтого, что многочлены p(x) и q(x)равны?

Функция arctg(x) (ее также обозначают arctg или atan)представляется рядом Тейлора:

    arctg(x) = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ...

Этот ряд сходится лишь для значений x, по модулю не превосходящихединицы, а эффективно вычислять его можно лишь для x, по модулюсущественно меньших единицы - например, |x|<0.5.Чтобы свести задачу вычисления функции arctg(x) ксуммированию ряда для малых значений x,можно воспользоваться формулой

    arctg(x) = 2*arctg(y), где y = x/(1 + sqrt(1 + x*x)),

заменив вычисление ряда для x вычислением для y.Например, arctg(1)=2*arctg(1/(1+sqrt(2))). При этом нам придетсявоспользоваться функцией sqrt, вычисляющей квадратный корень. Какоемаксимальное число раз ее придется вызвать, чтобы свести вычисление arctg(x) для произвольного x к суммированию ряда для x в интервале |x|<0.5?