Прямая и двойственная задачи имеют оптимальные решения тогда и только тогда, когда:

Если прямая и двойственная задачи имеют допустимые решения, и при этом двойственная задача имеет оптимальное решение, то:

Если прямая и двойственная задачи имеют допустимые решения, то:

Если прямая задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях Σa_ijx_j≤b_i, i=1,...,m₁<m; Σa_ijx_j=b_i, i=m₁+1,m₁+2,...,m; x_j≥0; j=1,...,n₁<n. Тогда двойственная ей задача имеет вид: минимизировать Σb_iy_i. Условия ограничения двойственной задачи имеют вид:

Допустимый вектор x₀ оптимальный тогда и только тогда, когда в двойственной задаче имеется такое допустимое решение y₀, что:

Пусть f(x) и все g_i(x) выпуклы и все функции g_i(x) удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Вектор x^* решением задачи нелинейного программирования: минимизировать f(x) при условиях g_i(x) ≤ 0, i = 1,...,m тогда и только тогда, когда существует такой вектор Δ^* ≥ 0, для которого выполняются условия:

Если прямая задача линейного программирования имеет вид: максимизировать Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях Σa_ijx_j≤b_i, i=1,...,m₁<m; Σa_ijx_j=b_i, i=m₁+1,m₁+2,...,m; x_j≥0; j=1,...,n₁<n. Тогда двойственная ей задача имеет вид:

Двойственная задача линейного программирования имеет вид: минимизировать Σb_iy_i, i=1,...,m при условиях Σа_ijy_i≥c_j, j=1,...,n₁≤n; Σа_ijy_i=c_j, j=n₁+1, n₁+2,...,n. Тогда прямая задача имеет вид:

n–мерный вектор x, для которого x_i=x_i0 при i є Iδ, и x_j=0 при i ∉ Iδ является псевдопланом тогда и только тогда, когда:

Задача линейного программирования сформулирована в каноническом виде:максимизировать . Тогда условия ограничения имеют вид:

Пусть задача линейного программирования задана в канонической форме: максимизировать L(x) = Σc_jx_j, j=1,...,n при условиях ΣA_jx_j = b, j=1,...,n, x_j ≥ 0. Предположим, что n ≥ m и ранг матрицы A равен m. Тогда двойственная задача имеет вид: