Введение в математическое программирование

Рассмотрим задачу нелинейного программирования: минимизировать f(x) при $g_i(x) = - \eta^T_i x + b_i \le 0, i = 1,\ldots,m$ . Известно, что существует множество неотрицательных скаляров {λ_i} ≥ 0, для которых справедливо соотношение Δf(x^)=Σλ_iη_i(x) = -Σλ_iΔg_i(x^), i є I. Тогда для входящего вектора справедливо условие:

(Отметьте один правильный вариант ответа.)

Варианты ответа

Δf(x^*)(x – x^*) ≥ 0 для всех x є S (Верный ответ)

Δf(x^*)(x – x^*) = 0 для всех x є S

Δf(x^*)(x – x^*) > 0 для всех x є S

Похожие вопросы

Рассмотрим задачу нелинейного программирования: минимизировать f(x) при $g_i(x) = - \eta^T_i x + b_i \le 0, i = 1,\ldots,m$ . Для входящего вектора справедливы следующие условия: $\Delta g^T_i(x – x^*) \le 0$ или $\Delta f(x^*)(x – x^*) \ge 0$ для всех x є S. Тогда множество неотрицательных скаляров {λ_i} ≥ 0, для которых справедливо соотношение:

Рассмотрим задачу нелинейного программирования: минимизировать f(x) при $g_i(x) = - \eta^T_i x + b_i \le 0, i = 1,\ldots,m$ . Для входящего вектора справедливы следующие условия: $\Delta g^T_i(x – x^*) \le 0$ или $\Delta f(x^*)(x – x^*) \ge 0$ для всех x є S.Тогда скаляры {λ_i}, для которых справедливо соотношение Δf(x^*)=Σλ_iη_i(x) = -Σλ_iΔg_i(x^*), i є I, являются:

Пусть задача нелинейного программирования задана следующим образом: минимизировать f(x) при условиях g_i(x) ≤ 0, i = 1,...,m. Известно, что существует некоторый вектор Δ^* ≥ 0, такой, что L(x^*,Δ) ≤ L(x^*,Δ^*) ≤ L(x,Δ^*) и $\Delta^{*T}g(x^*) = \sum \lambda^*_i g_i(x^*) = 0$ . Функции g_i(x) удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Тогда:

Пусть f(x) и все g_i(x) выпуклы и все функции g_i(x) удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Задача нелинейного программирования задана следующим образом: минимизировать f(x) при условиях g_i(x) ≤ 0, i = 1,...,m. Пусть существует некоторый вектор Δ^* ≥ 0, такой, что L(x^*,Δ) ≤ L(x^*,Δ^*) ≤ L(x,Δ^*) и $\Delta^{*T}g(x^*) = \sum \lambda^*_i g_i(x^*) = 0$ . Тогда вектор Δ^*:

Пусть задача нелинейного программирования задана в виде: минимизировать f(x₁,...,x_n) при условиях

h₁(x₁,...,x_n) = 0;h₂(x₁,...,x_n) = 0;...............h_m(x₁,...,x_n) = 0.

Допустим, что существует такая точка x*, в которой достигается относительный экстремум данной задачи.Известно, что существуют m чисел λ₁,...,λ_n, не все из которых равны нулю одновременно, и при которых Δf(x*) + Σλ_iΔh_i(x) = 0, i = 1,...,m. Тогда:

Пусть задана задача нелинейного программирования: минимизировать f(x₁,...,x_n) при условиях

h₁(x₁,...,x_n) = 0;h₂(x₁,...,x_n) = 0;...............h_m(x₁,...,x_n) = 0.

Допустим, что существует такая точка x*, в которой достигается относительный экстремум данной задачи. Если ранг матрицы I = [δh_j(x)/δx_j], i = 1,...,m; j = 1,...,n в точке x* равен m, то существуют m чисел λ₁,...,λ_n, не все из которых равны нулю одновременно, и при которых:

Пусть f(x) и все g_i(x) выпуклы и все функции g_i(x) удовлетворяют условию регулярности Слейтера. Вектор x^* решением задачи нелинейного программирования: минимизировать f(x) при условиях g_i(x) ≤ 0, i = 1,...,m тогда и только тогда, когда существует такой вектор Δ^* ≥ 0, для которого выполняются условия:

Пусть задана задача нелинейного программирования: минимизировать f(x₁,...,x_n) при условиях

h₁(x₁,...,x_n) = 0;h₂(x₁,...,x_n) = 0;...............h_m(x₁,...,x_n) = 0.

Пусть в некоторой точке x* ранг матрицы I = [δh_j(x)/δx_j], i = 1,...,m; j = 1,...,nравен m, и существуют m чисел λ₁,...,λ_n, не все из которых равны нулю одновременно, и при которых Δf(x*) + Σλ_iΔh_i(x) = 0, i = 1,...,m. Тогда в точке x*:

Пусть для некоторой выпуклой вверх(вогнутой) функции f, определенной на множестве R справедливо условие: для любых x₁, x₂ є R и 0 ≤ k ≤ 1 f[kx₁+(1–k)x₂] ≤ kf(x₁)+(1–k)f(x₂). Тогда множество R является:

Пусть двойственная задача линейного программирования имеет вид: минимизировать $L'_{\partial e}(y) = \sum b_{\mu} y_{\mu}, \mu = 1,\ldots,m$ при условиях $A^T_j y \ge c_j, \sum a_{\mu} y_{mu} \ge c_j, \mu = 1,\ldots,m, j=1,\ldots,n$ и при этом n ≥ m и ранг матрицы A равен m. Тогда задача, записанная в канонической форме, имеет вид: