Линейная алгебра

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Для любого вектора $\upsilon \in V$ существует единственная ортогональная проекция на подпространство W"?

(Отметьте один правильный вариант ответа.)

Варианты ответа

любой вектор $\upsilon \in V$ можно представить в виде $\upsilon =P\upsilon +(\upsilon -P\upsilon )$ , где $P\upsilon \in \func{Im}\ P$ и $\upsilon -P\upsilon \in Ker\ P$ . Кроме того, если $x\in \func{Im}\ P\cap \ Ker\ P$ , то x=0

. В самом деле, тогда x=Py

, поэтому $0=Px=P^{2}y=Py=x$ . Следовательно, $V=Im\ P\oplus \ Ker\ P$ . Выберем в качестве базиса V объединение базисов Im P и Ker P. Вэтом базисе матрица оператора P имеет требуемый вид.

если $p^{2}=p$ , то $(I-P)^{2}=I-2P+P^{2}=I-P$ . Ker P

состоит из векторов $\upsilon -P\upsilon$ , т.е. $KerP=\func{Im}(I-P)$ . Аналогично $Ker\ (I-P)=\func{Im}\ P$ .

Выберем в пространстве W ортонормированный базис $e_{1},\ ...,\ e_{k}$ . Рассмотрим вектор $W=\lambda _{1}e_{1}+...+\lambda _{k}e_{k}$ . Условие $\upsilon -\omega \perp e_{i}$ означает, что $0=(\lambda _{1}e_{1}+...+\lambda _{k}e_{k}-\upsilon ,\ e_{i})=\lambda_{i}-(\upsilon ,e_{i})$ , т.е. $\lambda _{i}=(\upsilon ,\ e_{i})$ . Выбрав такие числа $\lambda _{i}$ , получим требуемый вектор $\omega =\sum\limits_{i=1}^{k}(\upsilon ,e_{i})e_{i}$ .(Верный ответ)

Похожие вопросы

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Матрица проектора P в некотором базисе имеет вид $diag(1,\ ...,\ 1,\ 0,\ ...,\ 0)$ "?

Какая будет ортогональная проекция и перпендикуляр, опущенный из вектора x на подпространство L, при условиях, что x=(2,-5,3,4)

, L натянутую на векторы $y_{1}=(1,3,3,5)y_{2}=(1,3,-5,-3)y_{3}=(1,-5,3,-3)$

Какая будет ортогональная проекция и перпендикуляр, опущенный из вектора x на подпространство L, при условиях, что x=(14,-3,-6,-7)

, L натянутую на векторы

$y_{1}=(-3,0,7,6)\\y_{2}=(1,4,3,2)\\y_{3}=(2,2,-2,-2)$

Какая будет ортогональная проекция и перпендикуляр, опущенный из вектора x на подпространство L, при условиях, что x=(-3,0,-5,9)

, L - задано системой уравнений:

$3\alpha _{1}+2\alpha _{2}+\alpha _{3}-2\alpha _{4}=0\\5\alpha _{1}+4\alpha _{2}+3\alpha _{3}+2\alpha _{4}=0\\\alpha _{1}+2\alpha _{2}+3\alpha _{3}+10\alpha _{4}=0$

Доказательство, какого следствия приведено ниже: вектор $\upsilon -\sum\limits_{i=1}^{k}(\upsilon ,e_{1})e_{i}$ ортогонален всему пространству V.

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Если P-проектор, I-P - тоже проектор, причем Ker (I-P)=Im P и Im (I-P")=Ker P"?

Из равенства $f(ax+b)=\lambda f(x)$ следует, что $\lambda =a^{k}$ , где k - степень f(x)

. Приведенное выше доказательство, доказывает, что:

Доказательство, какой теоремы приведено ниже: Пусть $d=\upsilon -w$ и $b=w-w_{1}\in W$ . По определению $a\perp b$ , поэтому

$\left\Vert a\perp b\right\Vert ^{2}=(a+b,a+b)=\left\Vert a\right\Vert^{2}+\left\Vert b\right\Vert ^{2}$

Если $A(x)=\lambda x,\ \lambda \neq 0$ , то $A^{-1}(x)=x/\lambda.$ Приведенное выше доказательство, доказывает, что:

Если $A(x)=\lambda x,\ \lambda \neq 0$ , то $A^{-1}(x)=x/\lambda$ . Приведенное выше доказательство, доказывает, что:

Линейная алгебра

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Для любого вектора существует единственная ортогональная проекция на подпространство W"?