Линейная алгебра

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Если P-проектор, I-P - тоже проектор, причем Ker (I-P)=Im P и Im (I-P")=Ker P"?

(Отметьте один правильный вариант ответа.)

Варианты ответа

если $p^{2}=p$ , то $(I-P)^{2}=I-2P+P^{2}=I-P$ . Ker P

состоит из векторов $\upsilon -P\upsilon$ , т.е. $KerP=\func{Im}(I-P)$ . Аналогично $Ker\ (I-P)=\func{Im}\ P$ .(Верный ответ)

Выберем в пространстве W ортонормированный базис $e_{1},\ ...,\ e_{k}$ . Рассмотрим вектор $W=\lambda _{1}e_{1}+...+\lambda _{k}e_{k}$ . Условие $\upsilon -\omega \perp e_{i}$ означает, что $0=(\lambda _{1}e_{1}+...+\lambda _{k}e_{k}-\upsilon ,\ e_{i})=\lambda_{i}-(\upsilon ,e_{i})$ , т.е. $\lambda _{i}=(\upsilon ,\ e_{i})$ . Выбрав такие числа $\lambda _{i}$ , получим требуемый вектор $\omega =\sum\limits_{i=1}^{k}(\upsilon ,e_{i})e_{i}$ .

любой вектор $\upsilon \in V$ можно представить в виде $\upsilon =P\upsilon +(\upsilon -P\upsilon )$ , где $P\upsilon \in \func{Im}\ P$ и $\upsilon -P\upsilon \in Ker\ P$ . Кроме того, если $x\in \func{Im}\ P\cap \ Ker\ P$ , то x=0

. В самом деле, тогда x=Py

, поэтому $0=Px=P^{2}y=Py=x$ . Следовательно, $V=Im\ P\oplus \ Ker\ P$ . Выберем в качестве базиса V объединение базисов Im P и Ker P. Вэтом базисе матрица оператора P имеет требуемый вид.

Похожие вопросы

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Матрица проектора P в некотором базисе имеет вид $diag(1,\ ...,\ 1,\ 0,\ ...,\ 0)$ "?

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Для любого вектора $\upsilon \in V$ существует единственная ортогональная проекция на подпространство W"?

Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что для нормального оператора в унитарном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов?

Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что ортогональность собственных векторов нормального оператора в унитарном пространстве, принадлежит различным собственным значениям?

Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что, евклидово пространство, в котором определен нормальный оператор А,раскладывается в прямую ортогональную сумму инвариантных одномерных и двумерных неприводимых подпространств?

Если $A(x)=\lambda x,\ \lambda \neq 0$ , то $A^{-1}(x)=x/\lambda$ . Приведенное выше доказательство, доказывает, что:

Если $A(x)=\lambda x,\ \lambda \neq 0$ , то $A^{-1}(x)=x/\lambda.$ Приведенное выше доказательство, доказывает, что:

Из равенства $f(ax+b)=\lambda f(x)$ следует, что $\lambda =a^{k}$ , где k - степень f(x)

. Приведенное выше доказательство, доказывает, что:

Доказательство, какого следствия приведено ниже: вектор $\upsilon -\sum\limits_{i=1}^{k}(\upsilon ,e_{1})e_{i}$ ортогонален всему пространству V.

Доказательство, какого следствия приведено ниже: Если $\alpha _{i}$ - угол между вектором $e_{i}$ и подпространством W, то $d_{i}=d/\cos \alpha$ ?