Линейная алгебра

Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что для нормального оператора в унитарном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов?

(Отметьте один правильный вариант ответа.)

Варианты ответа

инвариантное подпространство для нормального оператора инвариантно и для сопряженного и ограничение нормального оператора на инвариантном подпространстве нормально. Поэтому, пространство можно разбивать в прямую ортогональную сумму инвариантных подпространств до тех пор, пока не придем к одномерным подпространствам.(Верный ответ)

пусть $Ax_{1}=\lambda _{1}x_{1},\ Ax_{2}=\lambda _{2}x_{2}.$ . Тогда $(Ax_{1},x_{2})=\lambda _{1}(x_{1},x_{2})$ и $(Ax_{1},x_{2})=(x_{1},A^{\ast }x_{2})=(x_{1},\lambda _{2}x_{2})=%\lambda _{2}(x_{1},x_{2})$ . Следовательно, $(\lambda _{1}-\lambda _{2})(x_{1},x_{2})=0$ .

для любой нормальной матрицы А существует унитарная матрица С такая, что $C^{-1}AC$ диагональна. Именно, в качестве С можно взять матрицу преобразования от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов.

Похожие вопросы

Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что ортогональность собственных векторов нормального оператора в унитарном пространстве, принадлежит различным собственным значениям?

Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что, евклидово пространство, в котором определен нормальный оператор А,раскладывается в прямую ортогональную сумму инвариантных одномерных и двумерных неприводимых подпространств?

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Для любого вектора $\upsilon \in V$ существует единственная ортогональная проекция на подпространство W"?

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Если P-проектор, I-P - тоже проектор, причем Ker (I-P)=Im P и Im (I-P")=Ker P"?

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Матрица проектора P в некотором базисе имеет вид $diag(1,\ ...,\ 1,\ 0,\ ...,\ 0)$ "?

Пусть $e_{1},...,e_{n}$ - ортонормированный базис евклидова пространства. Какое выражение будет для скалярного произведения прозвольных векторов x и y через их координаты в базисе $e_{1}+e_{2},e_{2},e_{3},...,e_{n}$ ?

Если в линейном пространстве определен базис, то

Какие подпространства, из перечисленных ниже, являются инвариантными подпространствами для оператора дифференцирования в пространстве $R\left[ x\right] _{n}$ ?

Какие подпространства, из перечисленных ниже, не являются инвариантными подпространствами для оператора дифференцирования в пространстве $R\left[ x\right] _{n}$ ?