Линейная алгебра

Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что, евклидово пространство, в котором определен нормальный оператор А,раскладывается в прямую ортогональную сумму инвариантных одномерных и двумерных неприводимых подпространств?

(Отметьте один правильный вариант ответа.)

Варианты ответа

инвариантное подпространство для нормального оператора инвариантно и для сопряженного и ограничение нормального оператора на инвариантном подпространстве нормально. Поэтому, пространство можно разбивать в прямую ортогональную сумму инвариантных подпространств до тех пор, пока не придем к одномерным подпространствам.(Верный ответ)

для любой нормальной матрицы А существует унитарная матрица С такая, что $C^{-1}AC$ диагональна. Именно, в качестве С можно взять матрицу преобразования от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов.

пусть $Ax_{1}=\lambda _{1}x_{1},\ Ax_{2}=\lambda _{2}x_{2}.$ . Тогда $(Ax_{1},x_{2})=\lambda _{1}(x_{1},x_{2})$ и $(Ax_{1},x_{2})=(x_{1},A^{\ast }x_{2})=(x_{1},\lambda _{2}x_{2})=%\lambda _{2}(x_{1},x_{2})$ . Следовательно, $(\lambda _{1}-\lambda _{2})(x_{1},x_{2})=0$ .

Похожие вопросы

Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что для нормального оператора в унитарном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов?

Какое доказательство, из ниже переичсленных, доказывает, что ортогональность собственных векторов нормального оператора в унитарном пространстве, принадлежит различным собственным значениям?

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Если P-проектор, I-P - тоже проектор, причем Ker (I-P)=Im P и Im (I-P")=Ker P"?

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Матрица проектора P в некотором базисе имеет вид $diag(1,\ ...,\ 1,\ 0,\ ...,\ 0)$ "?

Какое доказательство, из ниже перечисленных, доказывает теорему:"Для любого вектора $\upsilon \in V$ существует единственная ортогональная проекция на подпространство W"?

Если $A(x)=\lambda x,\ \lambda \neq 0$ , то $A^{-1}(x)=x/\lambda$ . Приведенное выше доказательство, доказывает, что:

Если $A(x)=\lambda x,\ \lambda \neq 0$ , то $A^{-1}(x)=x/\lambda.$ Приведенное выше доказательство, доказывает, что:

Из равенства $f(ax+b)=\lambda f(x)$ следует, что $\lambda =a^{k}$ , где k - степень f(x)

. Приведенное выше доказательство, доказывает, что:

Доказательство, какого следствия приведено ниже: вектор $\upsilon -\sum\limits_{i=1}^{k}(\upsilon ,e_{1})e_{i}$ ортогонален всему пространству V.

Доказательство, какого следствия приведено ниже: Если $\alpha _{i}$ - угол между вектором $e_{i}$ и подпространством W, то $d_{i}=d/\cos \alpha$ ?