Введение в геометрическое программирование - ответы

Количество вопросов - 181

Для задачи ГП без ограничений запишите условие нормальности для двойственной задачи $\bf{g(x) = 50 x_{1}^{5} + 25 x_{2}^{7}x_{3}^{-3} + 62 x_{1}^{10}x_{2}^{-1}x_{3}^{-2}:}$

Коэффициенты позинома удовлетворяют условиям:

Для задачи ГП без ограничений запишите условия ортогональности для двойственной задачи $\bf{g(x) = 20 x_{1}^{2}x_{2}^{3}x_{3} + 10 x_{1}^{-1}x_{2}^{-3} +31 x_{2}^{4}x_{3}^{-5}:}$

Укажите число переменных в двойственной задаче $\bf{g(x) = x_{1}^{-3}x_{2}^{-1} + 4 x_{1}^{2}x_{3}^{-1} +2 x_{1}x_{2}^{2}x_{3} \rightarrow \min_{x_1, x_2, x_3 > 0}\limits :}$

Наименьшее значение регулярного позинома равно

Вычислите минимальное значение позинома $\bf{g(x,y,z) = 40 x^{-1}y^{-1}z^{-1} + 40 yz + 20 xz + 10 xy.}$

В задаче ГП определяется

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{\frac{[0.25 x_{1}^{3} + 6 x_{1}^{-4}x_{2}^{-2}]^{2.5}}{[4 x_{1}x_{2}^{3} - (2 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}+ 5 x_{1}^{-1})]^{4}} \rightarrow \min}$ при ограничениях{ $\bf{1. 8 x_{1}^{-1}\leq 1,}$ }{ $\bf{1. 5 x_{2}^{-1}\leq 1, x_j>0,\j=1, 2}$ }

Уменьшите количество переменных в позиноме на две, выполнив последовательно 2 замены переменных(используйте теорему 3) $\bf {g(x) = x_{1}^{2}x_{2}x_{3}x_{4}^{-1} + x_{1}^{4}x_{2}x_{3}^{4}x_{4}^{-4} +x_{2}x_{3}^{-2}x_{4}^{2}}$

Вычислите верхнюю оценку минимума позинома $\bf\overline{G}$ $\bf{g(x) = x_{1}^{2}x_{2}^{-1} + 3 x_{1}^{-2}x_{2}^{-3} +x_{1}x_{2}^{2}}$ :

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = 0.5 x_{1}^{3}x_{2}^{2} \rightarrow \max}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =3 x_{1}^{-3}x_{2}^{2} + 1.5 x_{1}^{2}x_{2}^{-1}\leq 1,\ x_j>0,\j=1, 2}$

Укажите замену, которая уменьшает количество переменных в позиноме $\bf {g(x) = x_{1}^{-4}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1} +x_{1}^{2}x_{2}x_{3}^{3}}$

Решите следующую задачу, используя формулу, полученную в примере 16 $\bf{g(x, y, z) = x+2y+3 z+ \frac{4}{xy^{2}z^{3}} \rightarrow \min_{x, y, z >0}\limits.}$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = x_{1}^{-1}x_{2}^{-1} + x_{1}^{2}x_{2}^{2} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =4 x_{1}^{-2}x_{2}^{3} + x_{1}^{2}x_{2}^{-5}\leq x_{1}^{-1}x_{2},\ x_j>0,\j=1, 2}$

Укажите компоненты позинома и проверьте, является ли позином регулярным $\bf{g(x,y,z) = 2 x^{-2}yz^{0.5} + 4 x^{4}y^{-0.5}+0.5 y^{-1}z^{-0.7}}$

Запишите условия ортогональности для задачи $\bf{g_{0}(x) = x_{1}x_{2} + x_{1}^{-1}x_{2}^{-1} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = x_{1}^{-2}x_{2}^{-1} + x_{2}^{-1}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-1}x_{2} + x_{2}^{-1} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2.$

Запишите двойственную функцию для позинома $\bf{g(x) = 50 x_{1}^{5} + 25 x_{2}^{7}x_{3}^{-3} +62 x_{1}^{10}x_{2}^{-1}x_{3}^{-2}:}$

Запишите двойственную функцию к задаче $\bf{g_{0}(x) = 4 x_{1}^{-1}x_{2}x_{3} + x_{1}x_{3}^{-1} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) =x_{1}x_{3}^{-3} + x_{2}^{-2}x_{3}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-2}x_{2}x_{3}^{4} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = 5 x_{1}^{-2}x_{2} + x_{1}x_{2}^{-2} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =x_{1}^{4}x_{2}^{-1}\geq 3,\ x_j>0,\j=1, 2}$

Если столбец $\bf{A_j}$ матрицы экспонент позинома $\bf A$ является линейной комбинацией других столбцов, то

Укажите замену, которая понижает количество переменных в позиноме, и вид позинома после этой замены $\bf{g(x) = x_{1}^{2}x_{2}x_{3}^{-1} +x_{1}^{2}x_{2}x_{3}^{3}:}$

Запишите условие нормальности для задачи $\bf{g_{0}(x) = 5 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3} + 6 x_{2}x_{3}^{-2} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) =4 x_{1}^{-1}x_{3} + x_{1}x_{2}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{2}x_{3}^{-2} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Ограничения задачи ГП в канонической форме имеют вид:

Верхней оценкой для минимума позинома является

Вычислите минимальное значение регулярного позинома $\bf{g(x) = 6 x^{2} + 5 x^{-3} + 3 x}$ :

Укажите замену, которая уменьшает количество переменных в позиноме $\bf {g(x) = x_{1}x_{2}x_{3} +x_{1}^{-2}x_{2}^{-2}x_{3}^{-4}}$

Задача ГП совместна, если:

Вычислите степень трудности для позинома (DOD) $\bf{g(x) = x_{1}^{5}x_{2}^{-2} + 4 x_{2}^{3} +x_{1}^{2} + 3.5 x_{1}^{-4}x_{2}^{4}:}$

Неравенство Коши устанавливает, что среднееарифметическое $\bf n$ неотрицательных чисел

Укажите матрицу экспонент позинома $\bf{g (x) = 3 x^2 + 2 x^3+x^4+5}$ :

Геометрическое программирование - раздел математического программирования, в котором изучаются

Веса в обобщенном неравенстве Коши должны удовлетворять условию

Позиномом является

Пусть функции $\bf g(x)$ и $\bf f(x)$ - позиномы, тогда

Укажите вектор коэффициентов позинома $\bf{g (x) = 3 x^2 + 2 x^3+x^4+5}$ :

Укажите матрицу экспонент позинома $\bf{g (x) = 5 x^{-2} + 0.5 x^2 + 4 x}$ :

Укажите вектор коэффициентов позинома $\bf{g (x) = 7 x_{1}^{2}x_{2}^{-3}x_{3}^{0.5}x_{4} +2.5 x_{1}^{-3}x_{3}^{-2} + 4 x_{2}^{8}x_{4}^{2} +x_{2}^{-4}x_{3}^{-0.5}x_{4}^{5}}$ :

Укажите матрицу экспонент позинома $\bf{g (x) = x_{1}^{5}x_{3}x_{4}^{-1} + 25 x_{2}^{3}x_{3} +9 x_{1}^{-2}x_{4} + x_{1}^{2}x_{2}^{0.5}x_{3}^{-4.5}x_{4}}$ :

По вектору коэффициентов и матрице экспонент определитесоответствующий позином $\bf{c = (0.3, 0.2, 0.1),\ a = (3, 2, 1)^{T}.}$ :

По вектору коэффициентов и матрице экспонент определитесоответствующий позином $\bf{c = (3, 2, 1),}$ $\bf{a=\left\|\begin{array}{rrr}2& 4& 0\\0& 0.5& 0.5\\3& 0& 0\\ \end{array}\right\|}$ :

Определите размерность задачи ГП без ограничений $\bf {\min_{x>0}\limits g(x) = x_{1}^{-4}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1} +x_{1}^{2}x_{2}x_{3}^{4}}$

Определите размерность задачи ГП без ограничений $\bf {\min_{x>0}\limits g(x) = x_{1}^{-2}x_{2}x_{3}^{2} +x_{1}^{-1}x_{2}^{-1}+x_{1}^{2}x_{2}^{-3}x_{3}^{0.75}+x_{1}^{-0.5}x_{2}^{-3}x_{3}^{-1}}$

Укажите замену, которая понижает количество переменных в позиноме, и вид позинома после этой замены $\bf{g(x) = x_{1}x_{2}^{-3}x_{3}^{-6} +x_{1}^{-2}x_{2}^{3}x_{3}^{6}:}$

Укажите замену, которая уменьшает количество переменных в позиноме $\bf {g(x) = x_{1}^{-2}x_{2}x_{3}^{-2} + x_{1}x_{2}^{-5}x_{3}}$

Решите следующую задачу, используя формулу, полученную в примере 16 $\bf{g(x, y, z) = x+6 y+z + \frac{1}{x y^6 z} \rightarrow \min_{x, y, z >0}\limits.}$

Решите следующую задачу, используя формулу, полученную в примере 16 $\bf{g(x, y, z) = 2 x+4 y+5 z + \frac{3}{x^2 y^4 z^5} \rightarrow \min_{x, y, z >0}\limits.}$

Позином является регулярным, если выполняются условия:

Позином является регулярным тогда и только тогда, когда

Нижней оценкой для минимума позинома является

Вычислите минимальное значение регулярного позинома $\bf{g(x) = 5 x^{2} + 2 x^{-6} + 2 x}$ :

Вычислите верхнюю оценку минимума позинома $\bf\overline{G}$ $\bf{g(x) = x_{1}^{-3}x_{2}^{2} + x_{1}^{-2}x_{2}^{-1} +x_{1}}$ :

Укажите компоненты позинома и проверьте, является ли позином регулярным $\bf{g(x,y,z) = 4 x^{-2}yz^{0.25} + 2 x^{4}y^{0.5}+ 5 y^{-1}z^{-0.2}}$

Условие нормальности в двойственной задаче имеет вид:

Переменные в двойственной задаче удовлетворяютусловию:

Для задачи ГП без ограничений запишите условия ортогональности для двойственной задачи $\bf{g(x) = 4 x_{1}x_{2}^{7}x_{3} + 9 x_{1}^{-3}x_{2} +x_{2}^{-1}x_{3}^{-1}:}$

Для задачи ГП без ограничений запишите условие нормальности для двойственной задачи $\bf{g(x) = 13 x_{1}^{-1}x_{3}^{2} + 11 x_{2}^{3}x_{3}^{-4} + 7 x_{1}^{5}x_{2}^{0.5}x_{3}^{-1}:}$

Укажите число переменных в двойственной задаче $\bf{g(x) = 1.2 x_{1}^{-1}x_{2}^{2} + x_{1}^{2} +2 x_{2}^{-2}+ 4 x_{1}^{-3}x_{2}^{-1} \rightarrow \min_{x_1, x_2> 0}\limits :}$

Вычислите минимальное значение позинома $\bf{g(x,y) = 8x + 4x^{-2}y^{-3} + 3y^{4}.}$

Вычислите степень трудности задачи ГП $\bf{g_{0}(x) = 2 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3} + 3 x_{1}x_{2}^{2} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = x_{1}x_{2}^{-1} + x_{2}x_{3}^{-1}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) =x_{1}^{-1}x_{2} + x_{3}^{-4}\leq 1},\ x_j>0,\ j=1, 2, 3.$

Запишите индексное множество $\bf I$ для задачи ГП $\bf{g_{0}(x) = 40 x_{1}^{-1}x_{2}^{-1}x_{3}^{-1} + 40 x_{2} x_{3} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) = 0. 5 x_{1}x_{3} + 0. 25 x_{1}x_{2}\leq 1,\ x_j>0,\j=1, 2, 3.}$

Запишите матрицу экспонент $\bf A$ для задачи ГП $\bf{g_{0}(x) = 40 x_{1}^{-1}x_{2}^{-1}x_{3}^{-1} + 40 x_{2} x_{3} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) = 0. 5 x_{1}x_{3} + 0. 25 x_{1}x_{2}\leq 1,\ x_j>0,\ j=1, 2, 3.}$

Запишите условия ортогональности для задачи $\bf{g_{0}(x) = 4 x_{1}^{-1}x_{2}x_{3} + x_{1}x_{3}^{-1} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) =x_{1}x_{3}^{-3} + x_{2}^{-2}x_{3}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-2}x_{2}x_{3}^{4} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Запишите условие нормальности для задачи $\bf{g_{0}(x) = x_{1}x_{2} + x_{1}^{-1}x_{2}^{-1} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = x_{1}^{-2}x_{2}^{-1} + x_{2}^{-1}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-1}x_{2} + x_{2}^{-1} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2.$

Укажите замену переменных, которая преобразует прямую задачу ГП в задачу выпуклого программирования:

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = x_{1}^{-1}x_{2}^{-2} + x_{1}^{0.5}x_{2}^{0.5} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =3 x_{1}^{4}x_{2}^{-1} + 2 x_{1}^{-2}x_{2}^{2}\leq 10,\ x_j>0,\j=1, 2}$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = 0.5 x_{1}^{-2}x_{2}^{3} + 2 x_{1}^{2}x_{2}^{-3} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =0.5 x_{1}^{-1.8}x_{2}^{-1} + x_{1}^{2}x_{2}^{2.5}\leq 0.5 x_{1}x_{2},\ x_j>0,\j=1, 2}$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = 0.2 x_{1}^{-3}x_{2} \rightarrow \max}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =x_{1}^{4}x_{2}^{-3} +2 x_{1}^{-2}x_{2}^{3}\leq 1,\ x_j>0,\j=1, 2}$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = x_{1}^{-2}x_{2}^{3}+ x_{1}x_{2}^{-2} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =0.5 x_{1}^{-1}x_{2}^{4} \geq 4.5,\ x_j>0,\j=1, 2}$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{\frac{[4 x_{1}x_{2} + 0. 5 x_{1}]^{4}}{[3 x_{1}^{3}x_{2}^{2} - (x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}+ 5 x_{1}^{-1})]^{3}} \rightarrow \min}$ при ограничениях{ $\bf{1. 4 x_{1}^{-1}\leq 1,}$ }{ $\bf{2 x_{2}^{-1}\leq 1, x_j>0,\j=1, 2}$ }

Геометрическим обратным мономом для позинома называется моном вида:

Вычислите степень трудности для позинома (DOD) $\bf{g(x) = 2 x_{1}^{-3}x_{2} + 3 x_{1}^{4}x_{2}^{-0.5} + 5.5 x_{1}:}$

Укажите замену, которая понижает количество переменных в позиноме, и вид позинома после этой замены $\bf{g(x) = x_{1}^{-0.5}x_{2}x_{3}^{3} +x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{-3}:}$

Переменные позинома удовлетворяют условиям:

Двойственные переменные показывают, каков вклад вминимальное значение позинома

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{\frac{[2 x_{1}^{-4} + 3 x_{1}^{3}x_{2}^{-2}+x_{2}^{7}]^{3}}{[2 x_{1}x_{2}^{6} - (0.5 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}+ 2 x_{1}^{-1})]^{1.5}} \rightarrow \min}$ при ограничениях{ $\bf{x_{1}^{-1}\leq 1,}$ }{ $\bf{1.2 x_{2}^{-1}\leq 1, x_j>0,\j=1, 2}$ }

Регулярный позином всегда достигает наименьшего значения

Вычислите верхнюю оценку минимума позинома $\bf\overline{G}$ $\bf{g(x) = 3x_{1}^{-2}x_{2}^{-4} + x_{1}^{2} + x_{2}^{3}}$ :

Вычислите минимальное значение регулярного позинома $\bf{g(x) = 3 x^{-1} + 3 x^{2} + x^{-3}}$ :

Запишите индексное множество $\bf I$ для задачи ГП $\bf{g_{0}(x) = 5 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3} + 6 x_{2}x_{3}^{-2} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = 4 x_{1}^{-1}x_{3} + x_{1}x_{2}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{2}x_{3}^{-2} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Для задачи ГП без ограничений запишите условия ортогональности для двойственной задачи $\bf{g(x) = 50 x_{1}^{5} + 25 x_{2}^{7}x_{3}^{-3} +62 x_{1}^{10}x_{2}^{-1}x_{3}^{-2}:}$

Запишите двойственную функцию к задаче $\bf{g_{0}(x) = x_{1}x_{2}^{-2}x_{3} + x_{1}x_{2}^{2} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = x_{1}x_{2}^{-1} + x_{2}x_{3}^{-1}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-1}x_{2} + x_{3}^{-4} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = 4 x_{1}^{-4}x_{2}^{-3} \rightarrow \max}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =x_{1}x_{2}^{-1} + 0.2 x_{1}^{-1}x_{2}\leq 1,\ x_j>0,\j=1, 2}$

Укажите число переменных в двойственной задаче $\bf{g(x) = 3 x_{1}^{-1}x_{2}^{2}x_{3}^{3}x_{4} + x_{1}^{2}x_{3}^{-1}x_{4}^{-2} +2 x_{2}^{2}x_{3}x_{4}^{-1} \rightarrow \min_{x_1, x_2, x_3, x_4 > 0}\limits :}$

Сигном отличается от позинома тем, что:

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = x_{1}^{-1}x_{2}+ 3 x_{1}^{3}x_{2}^{-1} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =2 x_{1}^{-2}x_{2}^{3} + x_{1}^{2}x_{2}^{-2}\leq x_{1}^{-1}x_{2}^{-1},\ x_j>0,\j=1, 2}$

Запишите условие нормальности для задачи $\bf{g_{0}(x) = 2 x_{1}^{-1}x_{2} + 3 x_{2}^{-1}x_{3} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) =x_{1}x_{3}^{-1} + x_{1}x_{2}^{2}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = 0. 5 x_{2}^{3}x_{3} + x_{1}^{-3} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Запишите двойственную функцию к задаче $\bf{g_{0}(x) = 2 x_{1}^{-1}x_{2} + 3 x_{2}^{-1}x_{3} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) =x_{1}x_{3}^{-1} + x_{1}x_{2}^{2}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = 0. 5 x_{2}^{3}x_{3} + x_{1}^{-3} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Запишите матрицу экспонент $\bf A$ для задачи ГП $\bf{g_{0}(x) = x_{1}x_{2}^{-2}x_{3} + x_{1}x_{2}^{2} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = x_{1}x_{2}^{-1} + x_{2}x_{3}^{-1}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-1}x_{2} + x_{3}^{-4} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Запишите индексное множество $\bf I$ для задачи ГП $\bf{g_{0}(x) = x_{1}x_{2}^{-2}x_{3} + x_{1}x_{2}^{2} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = x_{1}x_{2}^{-1} + x_{2}x_{3}^{-1}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-1}x_{2} + x_{3}^{-4} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Вычислите степень трудности задачи ГП $\bf{g_{0}(x) = 3. 8 x_{1} + 5. 5 x_{2} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) = 25 x_{1}^{-0.5}x_{2}^{-0.5}\leq 1,\ x_j>0,\ j=1, 2.}$

Вычислите минимальное значение позинома $\bf{g(x,y,z) = 7 xy^{-1} + 3 yz^{-2} + 5 x^{-3}yz + xyz.}$

Для задачи ГП без ограничений запишите условие нормальности для двойственной задачи $\bf{g(x) = 4 x_{1}x_{2}^{7}x_{3} + 9 x_{1}^{-3}x_{2} + x_{2}^{-1}x_{3}^{-1}:}$

Для задачи ГП без ограничений запишите условия ортогональности для двойственной задачи $\bf{g(x) = 30 x_{1}^{-0.5}x_{2} + 40 x_{2}^{6}x_{3}^{3} +21 x_{1}^{-1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-3}:}$

Вычислите степень трудности для позинома (DOD) $\bf{g(x) =4 x_{1}^{2}x_{2}^{3} + 7 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}:}$

Укажите компоненты позинома и проверьте, является ли позином регулярным $\bf{g(x,y,z) = 3 y^{2}z^{-1} + 6 x^{2}y^{-1} +x^{-12}z^{3}}$

Вычислите верхнюю оценку минимума позинома $\bf\overline{G}$ $\bf{g(x) = x_{1}^{-4}x_{2}^{-1} + x_{1}^{3}x_{2}^{-1} +x_{2}}$ :

Функции $\bf{g}$ и $\bf{h}$ - регулярные позиномы, тогда функция

Уменьшите количество переменных в позиноме на две, выполнив последовательно 2 замены переменных(используйте теорему 3) $\bf {g(x) = x_{1}^{0.75}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}^{-1} + x_{1}^{4}x_{2}^{17}x_{3}^{-1}x_{4} +x_{1}^{-1}x_{3}^{-4}x_{4}^{4}}$

Укажите замену, которая уменьшает количество переменных в позиноме $\bf {g(x) = x_{1}^{3}x_{2}^{6}x_{3}^{-3} +x_{1}^{-1}x_{2}^{-2}x_{3}^{2}}$

Определите размерность задачи ГП без ограничений $\bf {\min_{x>0}\limits g(x) = x_{1}^{2}x_{2}^{-2.5}x_{3}^{-1}x_{4} +x_{1}^{-2}x_{2}^{0.5}x_{3}^{3}x_{4}^{-1}}$

По вектору коэффициентов и матрице экспонент определитесоответствующий позином $\bf{c = (1, 8, 10),\ a = (0.5, 9, 11)^{T}.}$ :

Укажите матрицу экспонент позинома $\bf{g (x) = 2 x_{2}^{3}x_{4}^{4} + 6 x_{1}^{-5}x_{2}^{-3}x_{3}^{-1}x_{4}^{-2} +3 x_{1}^{6}x_{3}^{-0.3} +x_{1}^{3}x_{2}^{5}x_{3}^{2}x_{4}^{1.5}}$ :

Укажите вектор коэффициентов позинома $\bf{g (x) = 2 x_{2}^{3}x_{4}^{4} + 6 x_{1}^{-5}x_{2}^{-3}x_{3}^{-1}x_{4}^{-2} + 3 x_{1}^{6}x_{3}^{-0.3} +x_{1}^{3}x_{2}^{5}x_{3}^{2}x_{4}^{1.5}}$ :

Укажите вектор коэффициентов позинома $\bf{g (x) = x^5 + x + 4 x^3}$ :

Компонентами позинома $\bf2x_{1}^{2}x_{2}^{-1}+3x_{1}^{-0.5}x_{2}^{3}$ являются позиномы

Пусть функции $\bf u(x)$ и $\bf f(x)$ - мономы, тогда

Когда в неравенстве Коши достигается равенство?

Укажите замену, которая понижает количество переменных в позиноме, и вид позинома после этой замены $\bf{g(x) = x_{1}^{2}x_{2}^{4}x_{3}^{-2} +x_{1}^{2}x_{2}^{4}x_{3}^{0.5}:}$

Вычислите минимальное значение позинома $\bf{g(x,y,z) = 4 x^{-1}y^{-1}z^{-1} + 4 xz + xy + 2 yz.}$

Регулярный позином достигает наименьшего значения

Запишите матрицу экспонент $\bf A$ для задачи ГП $\bf{g_{0}(x) = 5 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3} + 6 x_{2}x_{3}^{-2} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = 4 x_{1}^{-1}x_{3} + x_{1}x_{2}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{2}x_{3}^{-2} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

По вектору коэффициентов и матрице экспонент определитесоответствующий позином $\bf{c = (5, 4, 2),}$ $\bf{a=\left\|\begin{array}{rrr}0.4& 0.3& 0.2\\1& 2& 0\\2& 0& 1\\ \end{array}\right\|}$ :

Определите размерность задачи ГП без ограничений $\bf {\min_{x>0}\limits g(x) = x_{1}^{2}x_{2}x_{4}^{1.5} +x_{1}^{-1}x_{2}^{-1}x_{3}^{-1}+x_{1}x_{2}x_{4}^{-3}}$

Уменьшите количество переменных в позиноме на две, выполнив последовательно 2 замены переменных(используйте теорему 3) $\bf {g(x) = x_{1}x_{2}^{2} + x_{1}^{-1}x_{2}^{-3}x_{3}^{2}x_{4}^{-2} +x_{1}^{-0.75}x_{2}^{-1}x_{3}^{-1}x_{4}}$

Решите следующую задачу, используя формулу, полученную в примере 16 $\bf{g(x, y, z) = 3 x+y+5 z+ \frac{2}{x^{3}y z^{5}} \rightarrow \min_{x, y, z >0}\limits.}$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = 2 x_{1}^{-2}x_{2} \rightarrow \max}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =5 x_{1}^{-1}x_{2}^{-1} + 2 x_{1}^{2}x_{2}^{5}\leq 1,\ x_j>0,\j=1, 2}$

Запишите условия ортогональности для задачи $\bf{g_{0}(x) = 5 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3} + 6 x_{2}x_{3}^{-2} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) =4 x_{1}^{-1}x_{3} + x_{1}x_{2}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{2}x_{3}^{-2} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Укажите замену, которая уменьшает количество переменных в позиноме $\bf {g(x) = x_{1}^{3}x_{2}x_{3}^{3} +x_{1}^{-1}x_{2}^{3}x_{3}^{-1}}$

Гармоническим обратным позиномом для позиноманазывается позином вида:

Укажите компоненты позинома и проверьте, является ли позином регулярным $\bf {g(x,y,z) = 2 xy^{-1} + y^{2}z^{-2} +2 x^{-1}z}$

Укажите матрицу экспонент позинома $\bf{g (x) = x^5 + x + 4 x^3}$ :

В задаче ГП вектор переменных $\bf x$ должен быть

Укажите матрицу экспонент позинома $\bf{g (x) = 7 x_{1}^{2}x_{2}^{-3}x_{3}^{0.5}x_{4} +2.5 x_{1}^{-3}x_{3}^{-2} + 4 x_{2}^{8}x_{4}^{2} +x_{2}^{-4}x_{3}^{-0.5}x_{4}^{5}}$ :

Укажите замену, которая понижает количество переменных в позиноме, и вид позинома после этой замены $\bf{g(x) = x_{1}^{2}x_{2}x_{3}^{4} +x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{-0.5}:}$

Запишите индексное множество $\bf I$ для задачи ГП $\bf{g_{0}(x) = 4 x_{1}^{-1}x_{2}x_{3} + x_{1}x_{3}^{-1} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = x_{1}x_{3}^{-3} + x_{2}^{-2}x_{3}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-2}x_{2}x_{3}^{4} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Процедуру понижения размерности задачи ГП можно выполнять

Условие ортогональности в двойственной задаче имеетвид:

Укажите число переменных в двойственной задаче $\bf{g(x) = 2 x_{1}^{10}x_{3}^{2} + x_{1}^{2}x_{2} +5 x_{2}^{-2}x_{3}^{-4}+ 4 x_{1}^{-3}x_{2}^{-1} \rightarrow \min_{x_1, x_2, x_3 > 0}\limits :}$

Какие из следующих функций являются мономами?

Вычислите минимальное значение регулярного позинома $\bf{g(x) = x^{3} + 0.25 x^{4} + 2 x^{-2}}$ :

Для задачи ГП без ограничений запишите условие нормальности для двойственной задачи $\bf{g(x) = 30 x_{1}^{-0.5}x_{2} + 40 x_{2}^{6}x_{3}^{3} + 21 x_{1}^{-1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-3}:}$

Укажите компоненты позинома и проверьте, является ли позином регулярным $\bf {g(x,y,z) = xy^{-3} + 0.2 y^{2}z^{-2} + 3 x^{-1}z^{2}}$

Запишите двойственную функцию для позинома $\bf{g(x) = 20 x_{1}^{2}x_{2}^{3}x_{3} + 10 x_{1}^{-1}x_{2}^{-3} + 31 x_{2}^{4}x_{3}^{-5}:}$

Матрица экспонент позинома удовлетворяет условиям:

По вектору коэффициентов и матрице экспонент определитесоответствующий позином $\bf{c = (2, 5, 3),\ a = (7, 4, 6)^{T}.}$ :

Уменьшите количество переменных в позиноме на две, выполнив последовательно 2 замены переменных(используйте теорему 3) $\bf {g(x) = x_{1}x_{2}^{4}x_{3}x_{4}^{-1} + x_{1}^{1.5}x_{2}^{5}x_{3}x_{4}^{-1} +x_{1}^{3}x_{2}^{6}}$

Вычислите степень трудности для позинома (DOD) $\bf{g(x) = x_{1}^{-1}x_{2}^{2}x_{3} + x_{2}x_{3}^{-4} +x_{1}^{3}:}$

Запишите двойственную функцию для позинома $\bf{g(x) = 13 x_{1}^{-1}x_{3}^{2} + 11 x_{2}^{3}x_{3}^{-4} +7 x_{1}^{5}x_{2}^{0.5}x_{3}^{-1}:}$

Для задачи ГП без ограничений запишите условие нормальности для двойственной задачи $\bf{g(x) = 20 x_{1}^{2}x_{2}^{3}x_{3} + 10 x_{1}^{-1}x_{2}^{-3} + 31 x_{2}^{4}x_{3}^{-5}:}$

Запишите матрицу экспонент $\bf A$ для задачи ГП $\bf{g_{0}(x) = 4 x_{1}^{-1}x_{2}x_{3} + x_{1}x_{3}^{-1} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = x_{1}x_{3}^{-3} + x_{2}^{-2}x_{3}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-2}x_{2}x_{3}^{4} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Запишите условие нормальности для задачи $\bf{g_{0}(x) = x_{1}x_{2}^{-2}x_{3} + x_{1}x_{2}^{2} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = x_{1}x_{2}^{-1} + x_{2}x_{3}^{-1}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-1}x_{2} + x_{3}^{-4} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = 3 x_{1}^{-0.5}x_{2}^{2} + x_{1}^{0.5}x_{2}^{-3} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =5 x_{1}^{4}x_{2}^{-1} + x_{1}^{-2}x_{2}^{2}\leq 5,\ x_j>0,\j=1, 2}$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = 1.5 x_{1}^{-2}x_{2} + 2 x_{1}x_{2}^{-2} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =6 x_{1}^{-3}x_{2} + x_{1}^{2}x_{2}^{-1}\leq 3 x_{1}^{-2}, x_j>0,\ j=1,2}$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = 2 x_{1}^{2}+ x_{1}^{-1}x_{2}^{-2} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =6 x_{1}^{3}x_{2}^{0.5} \geq 3,\ x_j>0,\j=1, 2}$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{\frac{[5 x_{1}^{2}x_{2}^{-1} + 3 x_{1}x_{2}^{-3}+ x_{1}]^{3}}{[2 x_{1}^{4}x_{2} - (x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}+x_{1}^{-1})]^{2}} \rightarrow \min}$ при ограничениях{ $\bf{1.2 x_{1}^{-1}\leq 1,}$ }{ $\bf{1.4 x_{2}^{-1}\leq 1, x_j>0,\j=1, 2}$ }

Вычислите степень трудности задачи ГП $\bf{g_{0}(x) = 4 x_{1}^{-2} + 7 x_{1}x_{2}^{3} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) = 3 x_{1} + 3 x_{2}^{-1}\leq 1,\ x_j>0,\ j=1, 2.}$

По вектору коэффициентов и матрице экспонент определитесоответствующий позином $\bf{c = (0.2, 6, 1),}$ $\bf{a=\left\|\begin{array}{rrr}0& 0& 5\\1& 3& 1\\0& 7& 0\\ \end{array}\right\|}$ :

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = 2 x_{1}^{4}x_{2}^{-1} + x_{1}^{-1}x_{2}^{3} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =x_{1}^{3}x_{2}^{-2} + x_{1}^{-2}x_{2}^{3}\leq 2,\ x_j>0,\ j = 1, 2}$

Определите размерность задачи ГП без ограничений $\bf {\min_{x>0}\limits g(x) = x_{1}^{2}x_{2}^{4}+x_{1}^{-1}x_{2}^{-1}+x_{1}x_{2}^{-3}}$

Уменьшите количество переменных в позиноме на две, выполнив последовательно 2 замены переменных(используйте теорему 3) $\bf {g(x) = x_{1}x_{2}^{-1}x_{3}^{5}x_{4}^{-5} + x_{2}^{2}x_{3}x_{4}^{-1} +x_{1}^{2}x_{2}^{-3}x_{3}^{9.5}x_{4}^{-9.5}}$

Укажите вектор коэффициентов позинома $\bf{g (x) = x_{1}^{5}x_{3}x_{4}^{-1} + 25 x_{2}^{3}x_{3} +9 x_{1}^{-2}x_{4} + x_{1}^{2}x_{2}^{0.5}x_{3}^{-4.5}x_{4}}$ :

Значения переменных в двойственной задаче должны быть:

Решите следующую задачу, используя формулу, полученную в примере 16 $\bf{g(x, y, z) = 4 x+3 y+z + \frac{5}{x^{4}y^3 z} \rightarrow \min_{x, y, z >0}\limits.}$

Укажите вектор коэффициентов позинома $\bf{g (x) = 5 x^{-2} + 0.5 x^2 + 4 x}$ :

Число переменных в двойственной задаче ГП равно:

Вычислите степень трудности задачи ГП $\bf g_0(x) = 40 x_{1}^{-1}x_{2}^{-1}x_{3}^{-1} + 40 x_{2}x_{3} \rightarrow \min$ } при ограничении $\bf{g_{1}(x) = 0.5 x_{1}x_{3} + 0. 25 x_{1}x_{2}\leq 1,\ x_j>0,\ j=1, 2,3.}$

Запишите индексное множество $\bf I$ для задачи ГП $\bf{g_{0}(x) = 2 x_{1}^{-1}x_{2} + 3 x_{2}^{-1}x_{3} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = x_{1}x_{3}^{-1} + x_{1}x_{2}^{2}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = 0. 5 x_{2}^{3}x_{3} + x_{1}^{-3} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Запишите двойственную функцию к задаче $\bf{g_{0}(x) = x_{1}x_{2} + x_{1}^{-1}x_{2}^{-1} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = x_{1}^{-2}x_{2}^{-1} + x_{2}^{-1}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-1}x_{2} + x_{2}^{-1} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2.$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = x_{1}^{2}x_{2}^{0.5} \rightarrow \max}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =2 x_{1}^{-1}x_{2}^{3} + 3 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1.5}\leq 1,\ x_j>0,\j=1, 2}$

Запишите матрицу экспонент $\bf A$ для задачи ГП $\bf{g_{0}(x) = 2 x_{1}^{-1}x_{2} + 3 x_{2}^{-1}x_{3} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = x_{1}x_{3}^{-1} + x_{1}x_{2}^{2}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = 0. 5 x_{2}^{3}x_{3} + x_{1}^{-3} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Запишите двойственную функцию для позинома $\bf{g(x) = 30 x_{1}^{-0.5}x_{2} + 40 x_{2}^{6}x_{3}^{3} +21 x_{1}^{-1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-3}:}$

Вычислите степень трудности для позинома (DOD) $\bf{g(x) = 0.5 x_{1}^{-2}+2 x_{2}^{-3} +3 x_{1}^{4}x_{2}^{2}:}$

Запишите условия ортогональности для задачи $\bf{g_{0}(x) = x_{1}x_{2}^{-2}x_{3} + x_{1}x_{2}^{2} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = x_{1}x_{2}^{-1} + x_{2}x_{3}^{-1}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-1}x_{2} + x_{3}^{-4} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Вычислите верхнюю оценку минимума позинома $\bf\overline{G}$ $\bf{g(x) = 4 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1} + x_{1}^{7}x_{2} +x_{1}x_{2}^{5}}$ :

Вычислите степень трудности задачи ГП $\bf{g_{0}(x) = x_{1}x_{2} + x_{1}^{-1}x_{2}^{-1} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) = x_{1}^{-2}x_{2}^{-1} + x_{2}^{-1}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) =x_{1}^{-1}x_{2} + x_{2}^{-1}\leq 1},\ x_j>0,\ j=1, 2.$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = 1.5 x_{1}^{-3}x_{2}^{4} + 2 x_{1}^{0.5}x_{2}^{-0.5} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =x_{1}^{-3}x_{2}^{-1} + 2 x_{1}^{2}x_{2}^{2}\leq 0.5,\ x_j>0,\j=1, 2}$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = 5 x_{1}^{-2}x_{2}^{3} + 2.5 x_{1}^{2}x_{2}^{-3} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =2 x_{1}x_{2}^{-1} \geq 4,\ x_j>0,\j=1, 2}$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{\frac{[0.5 x_{1}^{-1}x_{2}^{-2} + 4 x_{2}]^{0.5}}{[0.5 x_{1}^{5}x_{2} - (4 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}+ x_{1}^{-1})]^{5}} \rightarrow \min}$ при ограничениях{ $\bf{2 x_{1}^{-1}\leq 1,}$ }{ $\bf{1.3 x_{2}^{-1}\leq 1, x_j>0,\j=1, 2}$ }

Для задачи ГП без ограничений запишите условия ортогональности для двойственной задачи $\bf{g(x) = 13 x_{1}^{-1}x_{3}^{2} + 11 x_{2}^{3}x_{3}^{-4} +7 x_{1}^{5}x_{2}^{0.5}x_{3}^{-1}:}$

Укажите число переменных в двойственной задаче $\bf{g(x) = 2 x_{1}^{2}x_{2}^{-1}x_{3}^{3} + 5 x_{1}^{4}x_{2}^{0.5} + 7 x_{2}^{2}x_{3} +x_{1}^{7}x_{3}^{-2} \rightarrow \min_{x_1, x_2, x_3 > 0}\limits :}$

Вычислите минимальное значение позинома $\bf{g(x,y) = 5 x^{-2}y + 2 x^{2}y^{-4} + 3 xy^{4}.}$

Запишите условия ортогональности для задачи $\bf{g_{0}(x) = 2 x_{1}^{-1}x_{2} + 3 x_{2}^{-1}x_{3} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) =x_{1}x_{3}^{-1} + x_{1}x_{2}^{2}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = 0. 5 x_{2}^{3}x_{3} + x_{1}^{-3} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Запишите двойственную функцию для позинома $\bf{g(x) = 4 x_{1}x_{2}^{7}x_{3} + 9 x_{1}^{-3}x_{2} +x_{2}^{-1}x_{3}^{-1}:}$

Запишите условие нормальности для задачи $\bf{g_{0}(x) = 4 x_{1}^{-1}x_{2}x_{3} + x_{1}x_{3}^{-1} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) =x_{1}x_{3}^{-3} + x_{2}^{-2}x_{3}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{1}^{-2}x_{2}x_{3}^{4} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Обратная задача ГП, в отличие от задачи ГП канонического вида, имеет ограничения:

Вычислите минимальное значение регулярного позинома $\bf{g(x) = 0.5 x^{2} + x^{-4} + 3 x}$ :

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = 5 x_{1}^{2}x_{2} + x_{1}^{-1}x_{2}^{-3} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =x_{1}x_{2}^{-1} + x_{1}^{-2}x_{2}^{2}\leq 4,\ x_j>0,\j=1, 2}$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = 5 x_{1}^{2}+ 3.5 x_{1}^{-1}x_{2}^{-2} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =4 x_{1}^{3}x_{2} + 0.5 x_{1}^{-2}\leq 2 x_{2}^{3},\ x_j>0,\j=1, 2}$

Функция $\bf{g(x)}$ - регулярный позином.Функция $\bf{g^{k}(x)}$ также регулярный позином при $\bf{k}$ :

Запишите двойственную функцию к задаче $\bf{g_{0}(x) = 5 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3} + 6 x_{2}x_{3}^{-2} \rightarrow \min}$ при ограничениях $\bf{g_{1}(x) =4 x_{1}^{-1}x_{3} + x_{1}x_{2}\leq 1,}$ $\bf{g_{2}(x) = x_{2}x_{3}^{-2} \leq 1},\ x_j>0,\j=1, 2, 3.$

Преобразуйте в задачу ГП в каноническом виде задачу $\bf{g_{0}(x) = 2 x_{1}^{-1}x_{2}^{-1} + 1.5 x_{1}^{2}x_{2}^{2} \rightarrow \min}$ при ограничении $\bf{g_{1}(x) =4 x_{1}^{2}x_{2}^{-2} \geq 2,\ x_j>0,\j=1, 2}$