Математический анализ. Ряды - ответы

Количество вопросов - 152

Пусть задан ряд 1,1-1,02+1,003-1,0004+\ldots. Тогда он

Пусть функция f(x)= \sum_{n=1}^\infty a_n(x-x_0)^n- аналитическая в точке x_0. Тогда

Пусть ряд \sum_{n=1}^\infty a_n с положительными членами расходится. Какие условия должны выполняться:

Пусть задана неотрицательная f(x) при x > a, числовой ряд S=\sum_{n=1}^\infty f(n) и несобственный интеграл \int_a^\infty f(x)dx.Отметьте верные утверждения:

Отметьте верные утверждения:

Отметьте верные утверждения:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n \sin nx}{n^2}. Тогда он

Отметьте все сходящиеся ряды:

Пусть задан ряд с неотрицательными членами. Отметьте верные утверждения:

Функциональный ряд \sum_{n=1}^\infty f_n(x) сходится равномерно к сумме ряда S(x)=\lim_{n\to \infty} S_n(x), \;\;\; где \;\; S_n(x) -функциональная последовательность частичных сумм ряда, если

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty n . Тогда

Рассмотрим интеграл \int_1^\infty \frac{dx}{x^3}. Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственные интегралы I=\int_a^{+\infty} f(x) dx и J=\int_a^{+\infty} \varphi (x) dx от неотрицательных функций, для которых существует конечный предел \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{\varphi (x)} =k Отметьте верные утверждения:

Отметьте верные утверждения:

Отметьте верные утверждения:

Пусть задан степенной ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{nx^n}{2^n}. Найдите радиус сходимости ряда.

Отметьте верные утверждения:

Какие условия являются необходимыми для сходимости ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции f(x) к этой функции:

Отметьте верные утверждения:

Какой должна быть функция сравнения \varphi (x) при исследовании на сходимость интеграла \int_1^{+\infty} \frac{|\cos x|}{x^2} dx:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{n^2}{3^n}. Тогда он

Какие условия на функции f(x), g(x) (признак Дирихле) при x \ge a должны выполняться для сходимости интеграла \int_a^{+\infty} f(x)g(x) dx:

Пусть заданы ряды (1) \sum_{n=1}^\infty a_n и (2) \sum_{n=1}^\infty |a_n|. Отметьте верные утверждения:

Несобственный интеграл 1 рода сходится, если предел функции \int_a^\xi f(x)dx \;\;\; при \;\;\; \xi \to +\infty

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty x^{n-1}. Тогда

Отметьте все расходящиеся интегралы:

Отметьте верные утверждения:

Отметьте верные утверждения:

Число a \in R не является пределом последовательности \{ x_n\}_{n=1}^\infty ,если

Отметьте верные утверждения:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty 3*(4)^n . Тогда

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}. Тогда

Отметьте верные утверждения:

Отметьте верные утверждения:

Пусть задан ряд с неотрицательными членами. Отметьте верные утверждения:

Пусть ряд \sum_{n=1}^\infty a_n с положительными членами сходится. Какие условия должны выполняться:

Пусть ряд \sum_{n=1}^\infty a_n с положительными членами расходится. Какие условия должны выполняться:

Несобственный интеграл 1 рода сходится, если предел функции \int_a^\xi f(x)dx \;\;\; при \;\;\; \xi \to +\infty

Рассмотрим интеграл \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2} . Отметьте верные утверждения:

Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственные интегралы I=\int_a^{+\infty} f(x)dx и J=\int_a^{+\infty} \varphi (x)dx для функций, связанных неравенством 0 \le f(x) \le \varphi (x). Отметьте верные утверждения:

Какой должна быть функция сравнения \varphi (x) при исследовании на сходимость интеграла \int_1^{+\infty} \frac{x^2}{x^4+x^2+1} dx:

Какие условия на функции f(x), g(x) (признак Дирихле) при x \ge a должны выполняться для сходимости интеграла \int_a^{+\infty} f(x)g(x) dx:

Пусть задана f(x), числовой ряд S=\sum_{n=1}^\infty f(n) и несобственный интеграл \int_a^\infty f(x)dx. Какие условия на функцию f(x) должны выполняться для равносильности сходимости ряда и интеграла.:

Отметьте все сходящиеся интегралы:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}. Отметьте верные утверждения:

Пусть неотрицательный ряд \sum_{n=1}^\infty a_n сходится. Какие условия являются признаками сходимости:

Отметьте верные утверждения:

Пусть заданы ряды (1) \sum_{n=1}^\infty a_n и (2) \sum_{n=1}^\infty |a_n|. Отметьте верные утверждения:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{3^{n-1}}. Тогда он

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{\sqrt[3]{n}}. Тогда он

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}. Тогда он

Отметьте верные утверждения:

Функциональная последовательность \{f_n(x)\} не сходится равномерно к своей предельной функции, если

Какие условия входят в список достаточных для равномерной сходимости функциональной последовательности \{f_n(x)\}:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty x^{n-1}. Тогда он сходится равномерно на множестве

Какие условия входят в признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда:

Отметьте верные утверждения:

Отметьте условия, входящие в число достаточных для дифференцирования функционального ряда:

Пусть задан степенной ряд \sum_{n=0}^\infty 2^n (x-1)^n. Отметьте верные утверждения:

Пусть задан степенной ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n(n+1)}. Найдите радиус сходимости ряда.

Какие условия являются достаточными для сходимости ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции f(x) к этой функции:

Пусть задана функция f(x)=e^x. Тогда

Пусть задана функция f(x)=\ln (1+x). Тогда

Пусть задана функция f(x)=\arctan x. Тогда

Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственные интегралы I=\int_a^{+\infty} f(x) dx и J=\int_a^{+\infty} \varphi (x) dx от неотрицательных функций, для которых существует конечный предел \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{\varphi (x)} =k Отметьте верные утверждения:

Какие условия входят в признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда:

Пусть неотрицательный ряд \sum_{n=1}^\infty a_n сходится. Какие условия являются признаками сходимости:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{2n+1}{n}. Тогда он

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{\ln n}. Тогда он

Рассмотрим интеграл \int_1^\infty \frac{dx}{x}. Отметьте верные утверждения:

Пусть ряд \sum_{n=1}^\infty a_n с положительными членами сходится. Какие условия должны выполняться:

Отметьте условия, входящие в число достаточных для дифференцирования функционального ряда:

Пусть задан степенной ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n(n+1)}. Отметьте верные утверждения:

Вычислите интеграл \int_{-\infty }^{-2} \frac{3dx}{x \sqrt{x^2-1}} . Ответ разделите на \pi.

Пусть \lim_{n \to\infty} \frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2} . Определить номер, начиная с которого выполняется неравенство \left | \frac{n+1}{2n} - \frac12 \right | < \varepsilon , если \varepsilon = 0,001 .
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Вычислить сумму ряда \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)(n+2)} .

Вычислить сумму ряда 1+\frac12 + \frac14 + \frac18 + \ldots .

Вычислите интеграл \int_1^\infty 6e^{-3x} dx . Ответ умножьте на e^2.
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Найдите сумму ряда \sum_{n=0}^\infty \frac{x}{(1+x^2)^n} и вычислите её значение в точке x=2.
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Вычислить сумму ряда \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} .

Какие условия входят в список достаточных для равномерной сходимости функциональной последовательности \{f_n(x)\}:

Вычислите интеграл \int_2^\infty \frac{dx}{x^2} .

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \sin \frac{1}{n}. Тогда он

Отметьте верные утверждения:

Пусть функция f(x)= \sum_{n=1}^\infty a_n(x-x_0)^n - аналитическая в точке x_0. Тогда

Отметьте верные утверждения:

Отметьте верные утверждения:

Найдите сумму ряда \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} x^{2n} и вычислите её значение в точке x=\frac12.

Пусть задана f(x), числовой ряд S=\sum_{n=1}^\infty f(n) и несобственный интеграл \int_a^\infty f(x)dx. Какие условия на функцию f(x) должны выполняться для равносильности сходимости ряда и интеграла.:

Отметьте все расходящиеся ряды:

Какой должна быть функция сравнения \varphi (x) при исследовании на сходимость интеграла \int_1^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^2} dx:

Отметьте верные утверждения:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty 2 * (1/3)^n . Тогда

Пусть задан степенной ряд \sum_{n=1}^\infty \left (\frac{1}{3^n} + \frac{1}{n} \right ) x^n. Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим интеграл \int_0^\infty \sin xdx. Отметьте верные утверждения:

Пусть a=\lim_{n\to \infty} x_n . Тогда вне каждой окрестности U_\varepsilon (a) -

Пусть числовая последовательность \{ x_n\} сходится. Отметьте верные утверждения:

Вычислить предел последовательности a=\lim_{n \to\infty} x_n,\;\;\; если \;\;\; x_n=\frac{n+2}{2-n} , если.

Вычислить сумму ряда \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{4n^2-9} .

Отметьте верные утверждения:

Отметьте верные утверждения:

Пусть задан ряд с неотрицательными членами. Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственные интегралы I=\int_a^{+\infty} f(x)dx и J=\int_a^{+\infty} \varphi (x)dx для функций, связанных неравенством 0 \le f(x) \le \varphi (x). Отметьте верные утверждения:

Какой должна быть функция сравнения \varphi (x) при исследовании на сходимость интеграла \int_2^{+\infty} \frac{|\cos x|}{(x-1)^2} dx:

Рассмотрим несобственные интегралы I=\int_a^{+\infty} f(x) dx и J=\int_a^{+\infty} \varphi (x) dx от неотрицательных функций, для которых существует конечный предел \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{\varphi (x)} =k Отметьте верные утверждения:

Какой должна быть функция сравнения \varphi (x) при исследовании на сходимость интеграла \int_1^{+\infty} \frac{2x^2+1}{x^3+3x+4} dx:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n}}. Отметьте верные утверждения:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n^2}. Тогда он

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}. Тогда он

Функциональная последовательность \{f_n(x)\} сходится равномерно к своей предельной функции, если

Найдите сумму ряда \sum_{n=1}^\infty 2e^{nx}, вычислите её значение в точке x=-1 и ответ умножьте на e-1.

Отметьте условия, входящие в число достаточных для дифференцирования функционального ряда:

Пусть задана функция f(x)=\cos x. Тогда

Пусть a=\lim_{n\to \infty} x_n . Тогда внутри каждой окрестности U_\varepsilon (a) -

Пусть неотрицательный ряд \sum_{n=1}^\infty a_n расходится. Какие условия являются признаками расходимости:

Пусть задан степенной ряд \sum_{n=0}^\infty n^2 x^n. Найдите радиус сходимости ряда.

Пусть задана функция f(x)=\frac{1}{1+x}. Тогда

Какие условия на функции f(x), g(x) (признак Дирихле) при x \ge a должны выполняться для сходимости интеграла \int_a^{+\infty} f(x)g(x) dx:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{1+n^2x^2}\tg \sqrt{\frac {x}{n}}. Тогда он

Какой должна быть функция сравнения \varphi (x) при исследовании на сходимость интеграла \int_1^{+\infty} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2+1}}:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty  \frac{1}{\sqrt{n}}. Тогда

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{2n+1}. Тогда он

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4}. Отметьте верные утверждения:

Отметьте верные утверждения:

Отметьте верные утверждения:

Пусть \lim_{n \to\infty} \frac{1-n}{2n}=-\frac{1}{2} . Определить номер, начиная с которого выполняется неравенство \left | \frac{1-n}{2n} + \frac12 \right | < \varepsilon , если \varepsilon = 0,001 .

Пусть ряд \sum_{n=1}^\infty a_n с положительными членами сходится. Какие условия должны выполняться:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{n}{5^n}. Тогда он

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty x^{n-1}. Тогда

Какие условия являются критерием того, что функциональный ряд не является равномерно сходящимся:

Отметьте верные утверждения:

Отметьте верные утверждения:

Вычислите интеграл \int_0^\infty \frac{dx}{x^2+4} . Ответ разделите на \pi.

Пусть ряд \sum_{n=1}^\infty a_n с положительными членами расходится. Какие условия должны выполняться:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty x^{n-1}. Тогда

Пусть задана неотрицательная f(x) при x > a, числовой ряд S=\sum_{n=1}^\infty f(n) и несобственный интеграл \int_a^\infty f(x)dx.Отметьте верные утверждения:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty  \frac{n}{n+1}. Тогда

Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственные интегралы I=\int_a^{+\infty} f(x)dx и J=\int_a^{+\infty} \varphi (x)dx для функций, связанных неравенством 0 \le f(x) \le \varphi (x). Отметьте верные утверждения:

Вычислите интеграл \int_e^\infty \frac{dx}{x \ln^2 x} .

Найдите сумму ряда \sum_{n=0}^\infty \cos^n x и вычислите её значение в точке x=\frac{\pi}{2}.

Отметьте верные утверждения:

Пусть задана функция f(x)=\sin x. Тогда

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{1}{n^a}, \;\;\; a \le 0. Тогда он

Какие условия являются критерием Коши равномерной сходимости ряда:

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty (-1)^n (\frac{n}{3^{n+1}})^n. Тогда он

Вычислить сумму ряда \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}.

Пусть задан ряд \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1) \ln^2 (n+1)}. Отметьте верные утверждения:

Число a \in R является пределом последовательности \left\{x_n \right\}_{n=1}^\infty ,если

Вычислить предел последовательности a=\lim_{n \to\infty} x_n,\;\;\; если \;\;\; x_n=\frac{n+1}{2n} , если.