Введение в математический анализ - ответы
Количество вопросов - 258
Если общий член последовательности
определяется формулой
, то
равен
Пусть
, тогда
Пусть
. Тогда
По определению,
, если
Предел функции
на бесконечности
Функция
называется бесконечно большой функцией при
, стремящемся к
, если
равен
Если
- бесконечно малые функции при
, то
Число
является
По определению (Коши),
, если 
Пусть
определена в некоторой окрестности точки
и
. Тогда (
- б.м.ф. при
). Тогда предел функции
Пусть функции
определены в некоторой окрестности точки
и
. Тогда
Какие из перечисленных функций непрерывны в точке
:
Какие из перечисленных ниже множеств являются ограниченными сверху множествами:
Последовательность
, где
является
Для какого множества из непрерывности функции на нём следует её равномерная непрерывность:
Если все частичные пределы последовательности одинаковы и равны
, то
Чему эквивалентна функция
при 
Если последовательность
имеет конечный предел, то эта последовательность
Последовательность
называется бесконечно малой, если
равен
Последовательность
монотонно возрастает, а
убывает, причем
и
. Тогда по принципу вложенных отрезков
Какая из перечисленных функций является б.м.ф. при
равен
Чему эквивалентна функция
при 
Пусть
. Какое из перечисленных множеств есть множество
:
Указать числовой промежуток, на котором функция
непрерывна:
Пусть задана функция
. Тогда
Если функция
непрерывна на отрезке
и
, то
Какое из перечисленных ниже множеств является окрестностью точки 
Пусть
- бесконечно малые при
функции, причём
и
. Если
, то
Пусть
и
- множества натуральных, целых и рациональных чисел. Какая из записей верна:
Пусть
(числа кратные 8-ми). Какое из перечисленных множеств есть множество
:
Пусть
и
. Какое множество является пересечением 
Какое из предложенных числовых множеств является конечным:
Множество А называется счётным, если оно эквивалентно:
Число
является
Выражение
равно
Пусть
. Какие неравенства ему равносильны:
Для модуля
разности двух чисел выбрать справедливое утверждение:
Какое подмножество числовой прямой равносильно неравенству
:
Какое из перечисленных ниже множеств является окрестностью точки 
Какое из неравенств задаёт
-окрестность точки 
Какое из перечисленных ниже множеств является множеством всех нижних граней для
:
Какое условие является достаточным для существования точной нижней грани множества:
Пусть задано множество
.Отметьте верные утверждения
Десятый член последовательности
равен
Пусть число
- предел последовательности
. Тогда
вне окрестности
лежит
Последовательность
является
Дана сходящаяся последовательность
. Если
, то
Если
, то предел последовательности 
Последовательность
называется ограниченной сверху, если
Последовательность
, где
является
Если последовательность
является бесконечно большой, причем
. Тогда
равен
Последовательность
называется неубывающей, если 
Последовательность
,
является
Если последовательность
убывает, то ее неограниченность означает, что
равен
Для сходимости монотонной последовательности достаточно (и необходимо), чтобы она была
Вычислить предел данной последовательности: 
Вычислить предел данной последовательности: 
Вычислить предел данной последовательности: 
Вычислить предел данной последовательности: ![\lim\limits_{n \to \infty} {[\frac {1} {3n} cos \frac {2} {n^2} - \frac {2n} {2-n}]}](https://intuit.ru//sites/default/files/tex_cache/b9273d961683dfcbc17b377191a4fed9.png)
Указать область определения функции 
По определению (Коши),
, если 
Если
и
, то
Какое свойство функции
в некоторой окрестности точки
является необходимым для существования конечного предела
в точке
:
По определению,
, если
Функция
называется бесконечно малой функцией при
, стремящемся к
, если
равен
Какая из перечисленных функций является б.б.ф. при
Если
- б.м.ф. при
, а функция
имеет в точке
конечный предел, отличный от нуля, то предел частного
Какое свойство функции
является достаточным для того, чтобы функция
являлась бесконечно малой при
(
- б.м.ф. при
):
Пусть функции
определены в некоторой окрестности точки
и
,. Тогда
Если функция
- бесконечно большая функция при
, то предел функции
равен
Предел слева
, если
Какое условие является критерием существования предела функции в точке
:
По определению (Гейне), функция
называется непрерывной в точке
, если
, соответствующая
Если функция
непрерывна в точке
и
,то
Указать числовой промежуток, на котором функция
непрерывна:
Отметьте верные утверждения
Если функция
непрерывна в точке
, а функция
непрерывна в точке
, то сложная функция ![y = f[\varphi (x)]](https://intuit.ru//sites/default/files/tex_cache/ead719ea19850ef1759fce07ef02772d.png)
Как представить функцию
в виде композиции непрерывных функций
и 
Если функция
непрерывна в точке
, то односторонние пределы в этой точке
Точка
называется точкой разрыва функции
второго рода , если в точке 
Точка
для функции
является точкой разрыва
Какие условия для непрерывной на отрезке
функции
должны выполняться, чтобы
для некоторой точки
:
Множеством значений функции
является
Если функция
непрерывна на отрезке
, то
На каком множестве должна быть непрерывна функция
для того, чтобы она на этом множестве принимала свои наименьшее и наибольшее значения:
Функция называется равномерно непрерывной на интервале
, если
Пусть
б.м.ф. при
и
. Тогда
Пусть
б.м.ф. при
и
.Тогда
Чему эквивалентна функция
при 
Чему эквивалентна функция
при 
Если
и
- б.м.ф. при
. Какое условие необходимо и достаточно для того, чтобы 
Что является асимптотической формулой для
при 
Что является асимптотической формулой для
при 
Пусть
. Тогда
Какие из множеств являются подмножеством множества
:
Функция
при
, если
Какое условие является достаточным для существования точной верхней грани множества:
Какое свойство функции
является достаточным для того, чтобы функция
являлась бесконечно малой при
(
- б.м.ф. при
):
Пусть задано множество
. Отметьте верные утверждения:
Функция
является непрерывной в силу теоремы
Какое подмножество числовой прямой равносильно неравенству
:
Пусть функции
определены в некоторой окрестности точки
и
. Тогда
Выражение
равно
Точка
для функции
является точкой разрыва
Последовательность
,
является
По определению
, функция
называется непрерывной в точке
, если
Если функция
- бесконечно малая функция при
, то функция 
Какие условия должны выполняться, чтобы
По определению, число
называется пределом последовательности
, если
справедливо неравенство
Если функция
непрерывна на отрезке
, то она на нём
Предел функции
на бесконечности
Если последовательность
бесконечно большая, то она
Если последовательность
возрастает, то ее неограниченность означает, что
равен
Если
- точная нижняя грань множества
, то эта грань :
Какое из перечисленных ниже множеств является множеством всех верхних граней для ![E = [-1,1]:](https://intuit.ru//sites/default/files/tex_cache/58cf9136ba6c11e15833cc6fb69182c6.png)
Какая из функций является ограниченной в некоторой окрестности
, но не имеет конечного предела в этой точке:
Если последовательность
ограниченная, то она
Если
, то последовательность
Вычислить предел данной последовательности: 
Пусть
- множество натуральных делителей 8, не равных 1. Какое из перечисленных множеств есть множество
:
Какое из предложенных числовых множеств является конечным:
Пусть
и
. Какая из записей неверна:
Пусть
. Какие неравенства ему равносильны:
Для модуля
произведения двух чисел выбрать справедливое утверждение:
Какое подмножество числовой прямой равносильно неравенству
:
Какое из неравенств задаёт
-окрестность точки 
Какие из перечисленных ниже множеств являются ограниченными снизу множествами:
Четвёртый член последовательности
равен
Последовательность называется сходящейся, если её предел
равен
Последовательность
называется неограниченной, если 
Последовательность
, где
является
Запись
означает, что 
Если последовательность
такова, что
неравенство
выполняется лишь для конечного числа членов последовательности, то её предел
равен
Если последовательность
возрастает и ее точная верхняя грань
, то предел последовательности
равен
По определению (Коши),
, если 
Если
и
, то
Отметьте верные утверждения:
Какая из функций имеет предел на бесконечности, равный нулю:
Какая из перечисленных функций является б.м.ф. при
Какое условие является достаточным для того, чтобы сумма двух функций
была бесконечно малой при при
:
Если
- б.м.ф. при
, а функция
ограничена в окрестности
, то предел произведения
Если функция
- бесконечно малая функция при
, то предел функции
равен
Число А называется пределом функции
слева
, если
По определению
, функция
называется непрерывной в точке
, если
Какие из перечисленных функций непрерывны в точке
:
Отметьте верные утверждения
Какие условия являются достаточными для того, чтобы предел сложной функции
существовал:
Точка
для функции
является точкой разрыва
Пусть
. Сколько корней имеет данный многочлен:
Если функция
непрерывна на отрезке
то
Какое условие является достаточным для ограниченности функции
на множестве
Если функция
непрерывна на отрезке
, то
Чему эквивалентна функция
при 
Чему эквивалентна функция
при 
Пусть
- бесконечно малые при
функции, причём
и
. Если
, то
Если
- б.м.ф. при
,
и
, то
Что является асимптотической формулой для
при 
Какое из заданных ниже соответствий является взаимно однозначным:
Последовательность
,
является
Пусть
, тогда
Какая из указанных функций является равномерно непрерывной на интервале
:
Пусть
. Какое неравенство ему равносильно?
Последовательность
, у которой существуют хотя бы два различных частичных предела
и
, 
Точка
называется точкой устранимого разрыва функции
, если в этой точке 
Пусть функции
определены в некоторой окрестности точки
и
. Тогда
Если
- точная верхняя грань множества
, то эта грань
Последовательность
, где
является
Как представить функцию
в виде композиции двух непрерывных функций
и 
Какое из неравенств задаёт
-окрестность точки 
Указать область определения функции 
Отметьте верные утверждения
Вычислить предел данной последовательности: 
Б.м.ф.
при
имеет порядок малости
, если
Пусть
- множество простых чисел и
- натуральных. Какая из записей верна:
Пусть
и
, где операция
- означает, что
является делителем
. Какое множество является пересечением
?
Какое из предложенных числовых множеств является бесконечным:
Для модуля
суммы двух чисел выбрать справедливое утверждение:
Какое из перечисленных ниже множеств является окрестностью точки 
Какое из перечисленных ниже множеств является ограниченным множеством:
Если
, то последовательность
равен
Если последовательность
такова, что интервал
при любом
содержит только конечное число членов последовательности, то ее предел
равен
Вычислить предел данной последовательности: 
Вычислить предел данной последовательности: 
Вычислить предел данной последовательности: 
Указать область определения функции 
По определению (Коши),
, если
Если
и
, то
По определению,
, если
Какая из функций имеет предел на бесконечности, равный нулю:
Какая из перечисленных функций является б.б.ф. при
Если
, а функция
ограничена в окрестности
, то предел произведения
Функция
непрерывна в точке
, если односторонние пределы в этой точке
Точка
для функции
является точкой разрыва
Пусть
б.м.ф. при
и
. Тогда
Пусть
б.м.ф. при
и
. Тогда
Если
- б.м.ф. при
,
и
, то
Пусть
. Тогда, по определению предела, 
Какие из перечисленных функций непрерывны в точке
:
Какое из перечисленных ниже множеств является множеством всех верхних граней для
:
Если последовательность
убывает и ее точная нижняя грань
то предел последовательности
Даны две сходящиеся последовательности:
, причем
. Тогда предел последовательности 
Пусть функция
, 
Число
является
Число
называется пределом последовательности
, если
Последовательность
называется ограниченной снизу, если
По определению, запись
означает, что
Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности
(критерий Коши ) формулируется следующим образом: 
Указать область определения функции 
По определению (Коши),
, если
Функция
называется бесконечно малой функцией при
, стремящемся к
, если 
Какое свойство функции
является достаточным для того, чтобы функция
являлась бесконечно малой при
(
- б.м.ф. при
):
Пусть
определена в некоторой окрестности точки
и
. Тогда (
- б.м.ф. при
)
Если функция
- бесконечно большая функция при
, то функция 
Предел справа
, если
Если функция
непрерывна в точке
и
,то 
Указать числовой промежуток, на котором функция
непрерывна:
Точка
называется точкой разрыва функции
с конечным скачком функции, если в точке 
называется б.м. более высокого порядка, чем
при
, если
Число А называется пределом функции
справа
, если
Вычислить предел данной последовательности: 
По определению, функция
называется непрерывной в точке
, если
Чему эквивалентна функция
при 
Выражение
равно
Пусть для функции
выполнено условие
. Это означает, что функция 
Если последовательность
является бесконечно малой, а
- ограниченной (
) , то
равен
Даны две сходящиеся последовательности:
. Предел последовательности
равен
Пусть
и
. Какое множество является объединением 
Последовательность
является
равен
Последовательность
называется ограниченной, если 
Последовательность
называется невозрастающей, если 
Если функция
определена в
- окрестности точки
и
, то в некоторой окрестности точки
функция
Какое условие является достаточным для равенства нулю предела суммы двух функций
при
:
Как представить функцию
в виде композиции двух непрерывных функций
и 
Пусть
б.м.ф. при
и
. Тогда
Если функция
непрерывна в точке
и
,то
По определению, последовательность
называется бесконечно большой (
) , если
Вычислить предел данной последовательности: ![\lim\limits_{n \to \infty} {[\frac {1} {n^2} sin \frac {1} {n^2} - \frac {6n} {2-3n}]}](https://intuit.ru//sites/default/files/tex_cache/2dee43663186dd0f4a70ffe8af89a361.png)
Если
- б.м.ф. при
, а функция
имеет конечный предел в точке
, то предел произведения
Точка
для функции
является точкой разрыва
Пусть
. Тогда
Что является асимптотической формулой для
при 
Множеством значений функции
является
Функция
при
, если
Число
является
Если последовательность
является бесконечно малой, причем
, тогда
равен
Вычислить предел данной последовательности: 
Пусть
. Тогда
Чему эквивалентна функция
при 
Если функция
непрерывна в точке
и
,то