Математический анализ. Интегрирование - ответы
Количество вопросов - 220
Функция
- интегрируема по Риману на
. Тогда предел интегральных сумм этой функции
Площадь криволинейной трапеции, заданной параметрически
, вычисляется по формуле:
Дифференциал
длины дуги кривой
вычисляется по формуле
Пусть задан интеграл
. Отметьте верные утверждения:
Пусть
и
. Отметьте интегрируемые функции на отрезке
:
Пусть задана функция
. Тогда она интегрируема на отрезке
Несобственный интеграл 1 рода сходится, если предел функции
при 
Пусть площадь фигуры, заключённой между кривыми
вычисляется по формуле
. Какие условия должны выполняться:
Отметьте верные утверждения:
Число
называется пределом интегральных сумм
функции
на
, если 
Объём тела вращения вычисляется по формуле:
На каком отрезке
для вычисления интеграла
можно применить подстановку
:
Объём тела вращения дуги параболы
вычисляется по формуле:
Масса неоднородного стержня плотности
на отрезке
равна
. Отметьте верные утверждения:
Длина
кривой
в прямоугольных координатах вычисляется по формуле
Рассмотрим несобственные интегралы
и
для функций, связанных неравенством
. Отметьте верные утверждения:
При каких условиях справедлива формула 
Отметьте верные утверждения:
Площадь фигуры, ограниченной кривой
, вычисляется по формуле:
Пусть задан несобственный интеграл
.Признак Абеля-Дирихле является для интеграла критерием :
Кривая
называется спрямляемой, если предел длины
вписанной ломаной при 
Пусть задан интеграл
. Отметьте верные утверждения:
Для несобственного интеграла 1 рода
функция
:
Рассмотрим несобственный интеграл 1 рода
. Отметьте верные утверждения:
Интегралом с переменным верхним пределом называется функция
, равная
Пусть
- определённый интеграл функции
на
. Тогда
В каких случаях разность двух функций
всегда интегрируемая:
Пусть
- координата центра тяжести неоднородного стержня плотности
на отрезке
. Тогда она равна отношению к массе стержня
Рассмотрим несобственный интеграл 1 рода
от неотрицательной функции. Отметьте верное утверждение:
Рассмотрим несобственный интеграл 2 рода
. Отметьте верные утверждения:
Какой должна быть функция сравнения
при исследовании на сходимость интеграла
:
Пусть
- интегральная сумма функции
на
. Тогда
Пусть
- определённый интеграл функции
на
. Тогда
Отметьте верное утверждение:
Пусть задана функция
. Тогда она интегрируема на отрезке
Пусть задана функция
- функция Дирихле. Тогда функция
интегрируема на отрезке
Отметьте верные равенства:
В каких случаях разность двух функций
может быть интегрируемая:
Пусть
и
. Отметьте интегрируемые функции на отрезке
:
Пусть функция
интегрируема на отрезке
и интегрируема на отрезке
. Тогда она на отрезке ![[a,b]](https://intuit.ru//sites/default/files/tex_cache/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
При каких условиях справедлива формула 
Пусть
. Для каких отрезков 
При выполнении условий теоремы о среднем
Среднее значение функции на отрезке является одним из значений функции на этом отрезке, если функция на отрезке
Для каких подынтегральных функций
интеграл с переменным верхним пределом является первообразной:
Пусть задана функция
. Тогда эта функция на отрезке ![[-1,1]](https://intuit.ru//sites/default/files/tex_cache/d060b17b29e0dae91a1cac23ea62281a.png)
Производная интеграла с переменным верхним пределом равна
Производная интеграла с переменным нижним пределом равна
Пусть функция
непрерывна на отрезке
. Тогда она на этом отрезке
Пусть функция
непрерывна на отрезке
,
- её первообразная. Тогда
равен
При вычислении каких интегралов применима формула Ньютона-Лейбница:
Найдите производные
,
,
, соответственно:
Какая формула при выполнении необходимых условий для функций
(непрерывности, дифференцируемости, значений на концах отрезка и др.) справедлива:
Отметьте условия, при которых справедлива формула замены переменных 
Какой новый отрезок интегрирования
можно взять для вычисления интеграла
с помощью замены
:
Пусть
- нечётная функция, интегрируемая на отрезке
. Тогда
равен
Какую подстановку можно использовать при вычислении интеграла
:
Отметьте условия, при которых справедлива формула интегрирования по частям
:
Площадь криволинейной трапеции для непрерывной и знакопеременной функции
на
:
для
и
для
равна
Площадь фигуры, ограниченной линиями
вычисляется по формуле
Пусть площадь фигуры, заключённой между кривыми
вычисляется по формуле
. Какие условия должны выполняться:
Площадь фигуры, ограниченной кривыми
, вычисляется по формуле
Площадь, ограниченная кривой
и осью ординат, вычисляется по формуле:
Площадь криволинейного сектора
вычисляется по формуле
. Тогда
Площадь фигуры, ограниченной кривой
, вычисляется по формуле:
Площадь сечения
тела плоскостью, перпендикулярной к оси
,-
Объем тела с известными поперечными сечениями
вычисляется по формуле
. Тогда
Объём тела с известными поперечными сечениями вычисляется по формуле:
Объём тела вращения эллипса
вокруг оси
вычисляется по формуле:
Длиной
кривой
называется
Длина
кривой, заданной в параметрической форме уравнениями
, вычисляется по формуле
При вычислении длины кривой в полярных координатах функция
на отрезке
должна удовлетворять условиям:
Длина кривой в прямоугольных координатах вычисляется по формуле
. Отметьте верные утверждения:
Длина цепной линии
на отрезке
вычисляется по формуле:
Пусть
- масса неоднородного стержня на отрезке
плотности
. Тогда она равна
При вычислении работы
переменной силы функция
на отрезке
должна быть:
Масса неоднородного стержня плотности
на отрезке
вычисляется по формуле
Работа переменной силы
на отрезке
равна
. Отметьте верные утверждения:
При вычислении определённого интеграла
методом парабол точки разбиения кривой
соединены
Отметьте верные утверждения:
Рассмотрим интеграл
. Отметьте верные утверждения:
Какой должна быть функция сравнения
при исследовании на сходимость интеграла
:
Рассмотрим несобственные интегралы
и
от неотрицательных функций, для которых существует конечный предел
. Отметьте верные утверждения:
Какой должна быть функция сравнения
при исследовании на сходимость интеграла
:
Рассмотрим несобственный интеграл 1 рода
от неотрицательной функции. Отметьте верные утверждения:
Интеграл
условно сходится. Отметьте верные утверждения:
Отметьте верные утверждения:
Рассмотрим несобственный интеграл 1 рода
. Отметьте верные утверждения:
Какую функцию сравнения
можно рассмотреть для доказательства абсолютной сходимости интеграла
:
Пусть интеграл
сходится. Отметьте верные утверждения:
Пусть задан интеграл
. Отметьте верные утверждения:
Отметьте верные утверждения:
Пусть задан интеграл
. Отметьте верные утверждения:
Рассмотрим несобственные интегралы 2 рода
и
для функций, связанных неравенством
на
. Отметьте верные утверждения:
Рассмотрим несобственные интегралы 2 рода
и
от неотрицательных на
функций, для которых существует конечный предел
. Отметьте верные утверждения:
Рассмотрим несобственный интеграл 2 рода
. Отметьте верные утверждения:
При вычислении
- массы неоднородного стержня на отрезке
функция
должна быть:
Площадь, ограниченная кривой
и осью ординат, вычисляется по формуле
. Пределы интегрирования
- это:
Пусть
. Тогда для любого ![x\in[a,b]](https://intuit.ru//sites/default/files/tex_cache/c7c42309c359c25dfe77f397d5261997.png)
Пусть
- корни уравнения
и
для любого
. Тогда площадь фигуры между этими кривыми вычисляется по формуле:
Пусть функция
непрерывна на отрезке
. Тогда 
Число
называется пределом интегральных сумм
функции
на
, если
для любого разбиения ![[a,b]:\Delta x_k<\delta](https://intuit.ru//sites/default/files/tex_cache/c411055598b353d591251014a426935c.png)
На каком отрезке
для вычисления интеграла
можно применить подстановку
:
Пусть
и
. Отметьте интегрируемые функции на отрезке
:
Несобственный интеграл 2 рода сходится, если предел функции
при 
Пусть
- определённый интеграл функции
на
. Тогда
При вычислении каких интегралов применима формула Ньютона-Лейбница:
Производная интеграла с переменным нижним пределом равна подынтегральной функции со знаком минус в
Площадь фигуры, ограниченной кривыми
, вычисляется по формуле
Длина кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле
. Отметьте верные утверждения:
Пусть задана функция
. Тогда она интегрируема на отрезке
Какую подстановку можно использовать при вычислении интеграла
:
При вычислении определённого интеграла
методом трапеций точки разбиения кривой
соединены
Площадь фигуры, ограниченной кривой
, вычисляется по формуле:
Площадь криволинейного сектора
вычисляется по формуле
. Тогда
Пусть
- чётная функция, интегрируемая на отрезке
. Тогда
равен
При вычислении
- координаты центра тяжести неоднородного стержня на отрезке
функция
должна быть:
Пусть
.Тогда для любого ![x\in[a,b]](https://intuit.ru//sites/default/files/tex_cache/c7c42309c359c25dfe77f397d5261997.png)
Какой новый отрезок интегрирования
можно взять для вычисления интеграла
с помощью замены
:
Пусть функция
интегрируема на отрезке
, но не интегрируема на отрезке
. Тогда она на отрезке ![[a,b]](https://intuit.ru//sites/default/files/tex_cache/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
Отметьте верные равенства:
Средним значением функции
на отрезке
называется число
Пусть функция
имеет первообразную на отрезке
. Тогда она на этом отрезке
Не вычисляя интеграла, определить, какие из них имеют знак минус:
Какой должна быть функция сравнения
при исследовании на сходимость интеграла
:
Рассмотрим несобственные интегралы
и
для функций, связанных неравенством
. Отметьте верные утверждения:
Рассмотрим несобственный интеграл 1 рода
. Отметьте верные утверждения:
Рассмотрим несобственные интегралы 2 рода
и
от неотрицательных на
функций, для которых существует конечный предел
. Отметьте верные утверждения:
Пусть
- интегральная сумма функции
на
. Тогда
Число
не является пределом интегральных сумм
функции
на
, если
Пусть
- определённый интеграл функции
на
. Тогда
Пусть
- определённый интеграл функции
на
. Тогда
Отметьте классы интегрируемых на
функций:
Пусть задана функция
. Тогда на отрезке ![[a,b]](https://intuit.ru//sites/default/files/tex_cache/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
Отметьте верные равенства:
В каких случаях сумма двух функций
может быть интегрируемая:
Пусть
и
. Отметьте интегрируемые функции на отрезке
:
Пусть
. Для каких отрезков 
Теорема о среднем справедлива, если функция
:
Не вычисляя интегралов, выяснить, для каких функций
:
Пусть
. Тогда эта функция
Пусть
. Тогда эта функция
Пусть функция
непрерывна на отрезке
. Тогда её первообразная на этом отрезке равна
При вычислении каких интегралов применима формула Ньютона-Лейбница:
Какой новый отрезок интегрирования
можно взять для вычисления интеграла
с помощью замены
:
Отметьте условия, при которых справедлива формула интегрирования по частям
:
Площадь криволинейной трапеции для непрерывной и отрицательной функции
на
равна
Площадь фигуры, ограниченной линиями
вычисляется по формуле
Пусть площадь криволинейной трапеции, заданной параметрически
, вычисляется по формуле
. Тогда на отрезке
должны выполняться условия:
Объём какого тела можно вычислить:
Объем тела с известными поперечными сечениями
вычисляется по формуле
. Тогда
Площадь поперечного сечения тела вращения равна:
Длина
кривой
в полярных координатах вычисляется по формуле
При вычислении длины кривой в прямоугольных координатах функция
на отрезке
должна удовлетворять условиям:
Длина кардиоиды
вычисляется по формуле :
Работа переменной
силы на отрезке
вычисляется по формуле
Отметьте верные утверждения:
Рассмотрим интеграл
. Отметьте верные утверждения:
Отметьте верные утверждения:
Рассмотрим несобственные интегралы
и
от неотрицательных функций, для которых существует конечный предел
. Отметьте верные утверждения:
Интеграл
называется абсолютно сходящимся, если
Отметьте верные утверждения:
Пусть задан интеграл
. Отметьте верные утверждения:
Пусть задан интеграл
. Отметьте верные утверждения:
Рассмотрим несобственные интегралы 2 рода
и
для функций, связанных неравенством
на
. Отметьте верные утверждения:
Пусть задан интеграл
. Отметьте верные утверждения:
Функция
- интегрируема по Риману на
. Тогда функция
на
всегда
Пусть площадь криволинейной трапеции, заданной параметрически
, вычисляется по формуле
. Тогда на отрезке
должны выполняться условия:
Отметьте условия, при которых справедлива формула интегрирования по частям
:
Какую функцию сравнения
можно рассмотреть для доказательства абсолютной сходимости интеграла
:
Какой должна быть функция сравнения
при исследовании на сходимость интеграла
:
Отметьте верные утверждения:
Пусть задан интеграл
. Отметьте верные утверждения:
Пусть задана функция
. Тогда она на отрезке ![[0,1]](https://intuit.ru//sites/default/files/tex_cache/ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png)
В каких случаях сумма двух функций
всегда не интегрируемая:
Пусть
. Для каких отрезков 
Пусть задана функция
. Тогда эта функция на отрезке ![[-1,1]](https://intuit.ru//sites/default/files/tex_cache/d060b17b29e0dae91a1cac23ea62281a.png)
Найдите производные
,
,
, соответственно:
Какая формула при выполнении необходимых условий для функций
(непрерывности, дифференцируемости, значений на концах отрезка и др.) справедлива:
На каком отрезке
для вычисления интеграла
можно применить подстановку
:
Площадь фигуры, ограниченной линиями
вычисляется по формуле
Площадь фигуры, ограниченной кривыми
, вычисляется по формуле
При вычислении длины кривой, заданной параметрически, функции
на отрезке
должны удовлетворять условиям:
Для несобственного интеграла 1 рода
функция
:
Рассмотрим интеграл
. Отметьте верные утверждения:
Рассмотрим несобственные интегралы
и
для функций, связанных неравенством
. Отметьте верные утверждения:
Рассмотрим несобственный интеграл 1 рода
от неотрицательной функции. Отметьте верные утверждения:
Какую функцию сравнения
можно рассмотреть для доказательства абсолютной сходимости интеграла
:
Несобственный интеграл 2 рода сходится, если предел функции
при 
Рассмотрим несобственный интеграл 2 рода
. Отметьте верные утверждения:
В каких случаях сумма двух функций
всегда интегрируемая:
Пусть задан интеграл
. Отметьте верные утверждения:
Площадь криволинейной трапеции для непрерывной и неотрицательной функции
на
равна
Длина кривой в полярных координатах вычисляется по формуле
. Отметьте верные утверждения:
Отметьте условия, при которых справедлива формула замены переменных 
Длина
кривой 
Интеграл
условно сходится. Отметьте верные утверждения:
Производная интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции в
Объем тела с известными поперечными сечениями
вычисляется по формуле
. Тогда
Длина окружности на отрезке вычисляется по формуле:
Координата центра тяжести неоднородного стержня плотности
на отрезке
вычисляется по формуле
Какой должна быть функция сравнения
при исследовании на сходимость интеграла
:
Рассмотрим несобственные интегралы
и
от неотрицательных функций, для которых существует конечный предел
. Отметьте верные утверждения:
Рассмотрим несобственные интегралы 2 рода
и
от неотрицательных на
функций, для которых существует конечный предел
. Отметьте верные утверждения:
В каких случаях разность двух функций
всегда не интегрируемая:
Рассмотрим интеграл
. Отметьте верные утверждения:
Пусть
- интегральная сумма функции
на
. Тогда
Какую подстановку можно использовать при вычислении интеграла
:
Пусть
- работа переменной
силы при перемещении материальной точки по прямой из точки
в точку
. Тогда она равна
Координата центра тяжести неоднородного стержня плотности
на отрезке
равна
. Отметьте верные утверждения:
Пусть интеграл
сходится. Отметьте верные утверждения:
Площадь криволинейного сектора
вычисляется по формуле
. Тогда
Пусть задана функция
. Тогда эта функция на отрезке ![[-1,1]](https://intuit.ru//sites/default/files/tex_cache/d060b17b29e0dae91a1cac23ea62281a.png)
Дифференциал
длины дуги кривой
вычисляется по формуле
Несобственный интеграл 1 рода сходится, если предел функции
при 
Рассмотрим несобственные интегралы 2 рода
и
для функций, связанных неравенством
на
. Отметьте верные утверждения:
Пусть задана функция Дирихле
. Тогда она на отрезке ![[0,1]](https://intuit.ru//sites/default/files/tex_cache/ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png)
Отметьте условия, при которых справедлива формула замены переменных 
Дифференциал
длины дуги кривой
вычисляется по формуле