База ответов ИНТУИТ

Математический анализ. Интегрирование - ответы

Количество вопросов - 220

Функция f - интегрируема по Риману на [a,b]. Тогда предел интегральных сумм этой функции

Площадь криволинейной трапеции, заданной параметрически x=\varphi(t),y=\psi(t), вычисляется по формуле:

Дифференциал dS длины дуги кривой y=f(x) вычисляется по формуле

Пусть задан интеграл \int\limits_0^1\frac{\arctg x}{\sqrt x}dx. Отметьте верные утверждения:

Пусть f(x)=x^2 и g(x)=\frac 1{x^2}. Отметьте интегрируемые функции на отрезке [0,1]:

Пусть задана функция y=e^{-1/x}. Тогда она интегрируема на отрезке

Несобственный интеграл 1 рода сходится, если предел функции \int\limits_a^b f(x)dx при a\to -\infty

Пусть площадь фигуры, заключённой между кривыми y=f(x),\; y=g(x) вычисляется по формуле \int\limits_a^b[f(x)-g(x)]dx. Какие условия должны выполняться:

Отметьте верные утверждения:

Число J называется пределом интегральных сумм S_n функции f на [a,b], если \forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:\quad\left|S_n-J\right|<\varepsilon

Объём тела вращения вычисляется по формуле:

На каком отрезке [a,b] для вычисления интеграла \int\limits_a^b x\sqrt{1-x^2}dx можно применить подстановку x=\cos t:

Объём тела вращения дуги параболы y^2=2x,\;0\le x\le a вычисляется по формуле:

Масса неоднородного стержня плотности \rho(x) на отрезке [a,b] равна \int\limits_a^b \rho(x)dx. Отметьте верные утверждения:

Длина S кривой y=f(x) в прямоугольных координатах вычисляется по формуле

Рассмотрим несобственные интегралы I=\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx и J=\int\limits_a^{+\infty}\varphi(x)dx для функций, связанных неравенством 0\le f(x)\le\varphi(x). Отметьте верные утверждения:

При каких условиях справедлива формула \int\limits_a^b f(x)dx=\int\limits_a^c f(x)dx+\int\limits_c^b f(x)dx

Отметьте верные утверждения:

Площадь фигуры, ограниченной кривой \rho=2(1+\cos\varphi), вычисляется по формуле:

Пусть задан несобственный интеграл \int\limits_a^{+\infty}f(x)g(x)dx.Признак Абеля-Дирихле является для интеграла критерием :

Кривая AB называется спрямляемой, если предел длины S_n вписанной ломаной при \Delta s_k\to 0

Пусть задан интеграл \int\limits_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}. Отметьте верные утверждения:

Для несобственного интеграла 1 рода \int\limits_{-\infty}^b f(x)dx функция f(x):

Рассмотрим несобственный интеграл 1 рода \int\limits_a^{+\infty}f(x)dx. Отметьте верные утверждения:

Интегралом с переменным верхним пределом называется функция F(x), равная

Пусть J=\int\limits_a^b f(x)dx - определённый интеграл функции f на [a,b]. Тогда

В каких случаях разность двух функций f-g всегда интегрируемая:

Пусть x_c - координата центра тяжести неоднородного стержня плотности \rho(x) на отрезке [a,b]. Тогда она равна отношению к массе стержня

Рассмотрим несобственный интеграл 1 рода \int\limits_a^{+\infty}f(x)dx от неотрицательной функции. Отметьте верное утверждение:

Рассмотрим несобственный интеграл 2 рода \int\limits_a^b f(x)dx. Отметьте верные утверждения:

Какой должна быть функция сравнения \varphi(x) при исследовании на сходимость интеграла \int\limits_1^{+\infty}\frac{|\sin x|}{x^2}dx:

Пусть S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k - интегральная сумма функции f на [a,b]. Тогда

Пусть J=\int\limits_a^b f(x)dx - определённый интеграл функции f на [a,b]. Тогда

Отметьте верное утверждение:

Пусть задана функция y=\frac 1 x. Тогда она интегрируема на отрезке

Пусть задана функция f(x)=\left\{\begin{array}{l}1,\quad -2\le x\le 0 \\ D(x),\quad 0\le x\le 2\end{array}\right.,D(x) - функция Дирихле. Тогда функция f интегрируема на отрезке

Отметьте верные равенства:

В каких случаях разность двух функций f-g может быть интегрируемая:

Пусть f(x)=x и g(x)=\frac 1 x. Отметьте интегрируемые функции на отрезке [0,1]:

Пусть функция f интегрируема на отрезке [a,c] и интегрируема на отрезке [c,b]. Тогда она на отрезке [a,b]

При каких условиях справедлива формула \int\limits_a^b f(x)dx\le\int\limits_a^b g(x)dx

Пусть f(x)=\cos x,\quad g(x)=\frac 1 2\cos x. Для каких отрезков \int\limits_a^b f(x)dx\ge\int\limits_a^b g(x)dx

При выполнении условий теоремы о среднем

Среднее значение функции на отрезке является одним из значений функции на этом отрезке, если функция на отрезке

Для каких подынтегральных функций f интеграл с переменным верхним пределом является первообразной:

Пусть задана функция f(x)=sgn\:x=\left\{\begin{array}{l}1,\quad x>0 \\ 0,\quad x=0 \\ -1,\quad x<0\end{array}\right.. Тогда эта функция на отрезке [-1,1]

Производная интеграла с переменным верхним пределом равна

Производная интеграла с переменным нижним пределом равна

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда она на этом отрезке

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], F(x) - её первообразная. Тогда \int\limits_a^b f(x)dx равен

При вычислении каких интегралов применима формула Ньютона-Лейбница:

Найдите производные \frac d{dx}\int\limits_a^b\sin(x^2)dx, \frac d{db}\int\limits_a^b\sin(x^2)dx, \frac d{da}\int\limits_a^b\sin(x^2)dx, соответственно:

Какая формула при выполнении необходимых условий для функций f(x), \varphi(t) (непрерывности, дифференцируемости, значений на концах отрезка и др.) справедлива:

Отметьте условия, при которых справедлива формула замены переменных \int\limits_a^b f(x)dx=\int\limits_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt

Какой новый отрезок интегрирования [\alpha,\beta] можно взять для вычисления интеграла \int\limits_0^1 \sqrt{1-x^2}dx с помощью замены x=\cos t:

Пусть f(x) - нечётная функция, интегрируемая на отрезке [-\alpha,\alpha]. Тогда \int\limits_{-\alpha}^\alpha f(x)dx равен

Какую подстановку можно использовать при вычислении интеграла \int\limits_0^3 \sqrt{9-x^2}dx:

Отметьте условия, при которых справедлива формула интегрирования по частям \int\limits_a^b ud\nu=u\nu|_a^b-\int\limits_a^b \nu du:

Площадь криволинейной трапеции для непрерывной и знакопеременной функции f(x) на [a,b]: f(c)=0,\quad f(x)>0 для x\in[a,c) и f(x)<0 для x\in(c,b] равна

Площадь фигуры, ограниченной линиями y=\cos x,\: y=0,\; x=\pi/2,\; x=\pi/4 вычисляется по формуле

Пусть площадь фигуры, заключённой между кривыми y=f(x),\; y=g(x) вычисляется по формуле \int\limits_a^b[f(x)-g(x)]dx. Какие условия должны выполняться:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=\frac 3x,\; y+x=4, вычисляется по формуле

Площадь, ограниченная кривой x=g(y) и осью ординат, вычисляется по формуле:

Площадь криволинейного сектора \rho=f(\varphi),\;\alpha\le\varphi\le\beta вычисляется по формуле Q=\frac 12\int\limits_\alpha^\beta f^2(\varphi))d\varphi). Тогда

Площадь фигуры, ограниченной кривой \rho^2=2a^2\cos2\varphi, вычисляется по формуле:

Площадь сечения Q(x) тела плоскостью, перпендикулярной к оси 0x,-

Объем тела с известными поперечными сечениями Q(x) вычисляется по формуле V=\int\limits_a^b Q(x)dx. Тогда

Объём тела с известными поперечными сечениями вычисляется по формуле:

Объём тела вращения эллипса \frac{x^2}4 +\frac{y^2}9=1 вокруг оси 0x вычисляется по формуле:

Длиной S кривой AB называется

Длина S кривой, заданной в параметрической форме уравнениями x=\varphi(t),\; y=\psi(t), вычисляется по формуле

При вычислении длины кривой в полярных координатах функция \rho=f(\varphi) на отрезке [\alpha,\beta] должна удовлетворять условиям:

Длина кривой в прямоугольных координатах вычисляется по формуле \int\limits_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx. Отметьте верные утверждения:

Длина цепной линии y=\ch x на отрезке [0,a] вычисляется по формуле:

Пусть m - масса неоднородного стержня на отрезке [a,b] плотности \rho(x). Тогда она равна

При вычислении работы A переменной силы функция F на отрезке [a,b] должна быть:

Масса неоднородного стержня плотности \rho(x) на отрезке [a,b] вычисляется по формуле

Работа переменной силы F на отрезке [a,b] равна \int\limits_a^b F(x)dx. Отметьте верные утверждения:

При вычислении определённого интеграла \int\limits_a^b f(x)dx методом парабол точки разбиения кривой y=f(x) соединены

Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим интеграл \int\limits_0^\infty\frac{dx}{1+x^2}. Отметьте верные утверждения:

Какой должна быть функция сравнения \varphi(x) при исследовании на сходимость интеграла \int\limits_2^{+\infty}\frac{|\cos x|}{(x-1)^2}dx:

Рассмотрим несобственные интегралы I=\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx и J=\int\limits_a^{+\infty}\varphi(x)dx от неотрицательных функций, для которых существует конечный предел \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{\varphi(x)}=k. Отметьте верные утверждения:

Какой должна быть функция сравнения \varphi(x) при исследовании на сходимость интеграла \int\limits_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2+1}}dx:

Рассмотрим несобственный интеграл 1 рода \int\limits_a^{+\infty}f(x)dx от неотрицательной функции. Отметьте верные утверждения:

Интеграл \int\limits_a^{+\infty}f(x)dx условно сходится. Отметьте верные утверждения:

Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственный интеграл 1 рода \int\limits_a^{+\infty}f(x)dx. Отметьте верные утверждения:

Какую функцию сравнения \varphi(x) можно рассмотреть для доказательства абсолютной сходимости интеграла \int\limits_1^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2}dx:

Пусть интеграл \int\limits_a^{+\infty}f(x)g(x)dx сходится. Отметьте верные утверждения:

Пусть задан интеграл \int\limits_1^{+\infty}\frac{\sin x}x dx. Отметьте верные утверждения:

Отметьте верные утверждения:

Пусть задан интеграл \int\limits_0^1\frac{dx}{x^2}. Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственные интегралы 2 рода I=\int\limits_a^b f(x)dx и J=\int\limits_a^b\varphi(x)dx для функций, связанных неравенством 0\le f(x)\le\varphi(x) на [a,b). Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственные интегралы 2 рода I=\int\limits_a^b f(x)dx и J=\int\limits_a^b\varphi(x)dx от неотрицательных на [a,b) функций, для которых существует конечный предел \lim\limits_{x\to b-0}\frac{f(k)}{\varphi(k)}=k. Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственный интеграл 2 рода \int\limits_a^b f(x)dx. Отметьте верные утверждения:

При вычислении m - массы неоднородного стержня на отрезке [a,b] функция \rho(x) должна быть:

Площадь, ограниченная кривой x=g(y) и осью ординат, вычисляется по формуле \int\limits_c^d g(y)dy. Пределы интегрирования c,d - это:

Пусть \int\limits_a^b f(x)dx\ge 0. Тогда для любого x\in[a,b]

Пусть a,b - корни уравнения f(x)=g(x) и f(x)>g(x)>0 для любого x\in(a,b). Тогда площадь фигуры между этими кривыми вычисляется по формуле:

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда \int f(x)dx

Число J называется пределом интегральных сумм S_n функции f на [a,b], если \forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0: для любого разбиения [a,b]:\Delta x_k<\delta

На каком отрезке [a,b] для вычисления интеграла \int\limits_a^b \sqrt{1-x^2}dx можно применить подстановку x=\sin t:

Пусть f(x)=x и g(x)=\frac 1{x^2}. Отметьте интегрируемые функции на отрезке [0,1]:

Несобственный интеграл 2 рода сходится, если предел функции \int\limits_{a+\varepsilon}^b f(x)dx при \varepsilon\to 0

Пусть J=\int\limits_a^b f(x)dx - определённый интеграл функции f на [a,b]. Тогда

При вычислении каких интегралов применима формула Ньютона-Лейбница:

Производная интеграла с переменным нижним пределом равна подынтегральной функции со знаком минус в

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=2x-x^2,\; y=-x, вычисляется по формуле

Длина кривой, заданной параметрически, вычисляется по формуле \int\limits_{t_0}^T\sqrt{x'_t^2+y'_t^2}dt. Отметьте верные утверждения:

Пусть задана функция y=\tg x\cdot\ctg x. Тогда она интегрируема на отрезке

Какую подстановку можно использовать при вычислении интеграла \int\limits_1^{\sqrt 3} x\sqrt{x^2+1}dx:

При вычислении определённого интеграла \int\limits_a^b f(x)dx методом трапеций точки разбиения кривой y=f(x) соединены

Площадь фигуры, ограниченной кривой \rho=2\sin3\varphi, вычисляется по формуле:

Площадь криволинейного сектора \rho=f(\varphi),\;\alpha\le\varphi\le\beta вычисляется по формуле Q=\frac 12\int\limits_\alpha^\beta f^2(\varphi))d\varphi). Тогда

Пусть f(x) - чётная функция, интегрируемая на отрезке [-\alpha,\alpha]. Тогда \int\limits_{-\alpha}^\alpha f(x)dx равен

При вычислении x_c - координаты центра тяжести неоднородного стержня на отрезке [a,b] функция \rho(x) должна быть:

Пусть \int\limits_a^b f(x)dx>\int\limits_a^b g(x)dx.Тогда для любого x\in[a,b]

Какой новый отрезок интегрирования [\alpha,\beta] можно взять для вычисления интеграла \int\limits_0^1 \sqrt{1-x^2}dx с помощью замены x=\sin t:

Пусть функция f интегрируема на отрезке [a,c], но не интегрируема на отрезке [c,b]. Тогда она на отрезке [a,b]

Отметьте верные равенства:

Средним значением функции f на отрезке [a,b] называется число

Пусть функция f(x) имеет первообразную на отрезке [a,b]. Тогда она на этом отрезке

Не вычисляя интеграла, определить, какие из них имеют знак минус:

Какой должна быть функция сравнения \varphi(x) при исследовании на сходимость интеграла \int\limits_1^{+\infty}\frac{2x^2+1}{x^3+3x+4}dx:

Рассмотрим несобственные интегралы I=\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx и J=\int\limits_a^{+\infty}\varphi(x)dx для функций, связанных неравенством 0\le f(x)\le\varphi(x). Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственный интеграл 1 рода \int\limits_a^{+\infty}f(x)dx. Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственные интегралы 2 рода I=\int\limits_a^b f(x)dx и J=\int\limits_a^b\varphi(x)dx от неотрицательных на [a,b) функций, для которых существует конечный предел \lim\limits_{x\to b-0}\frac{f(k)}{\varphi(k)}=k. Отметьте верные утверждения:

Пусть S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k - интегральная сумма функции f на [a,b]. Тогда

Число J не является пределом интегральных сумм S_n функции f на [a,b], если

Пусть J=\int\limits_a^b f(x)dx - определённый интеграл функции f на [a,b]. Тогда

Пусть J=\int\limits_a^b f(x)dx - определённый интеграл функции f на [a,b]. Тогда

Отметьте классы интегрируемых на [a,b] функций:

Пусть задана функция f(x)=\left\{\begin{array}{l}1,\quad x\in Q}\\ -1,\quad x\in I\end{array}\right.. Тогда на отрезке [a,b]

Отметьте верные равенства:

В каких случаях сумма двух функций f+g может быть интегрируемая:

Пусть f(x)=\sqrt x и g(x)=\frac 1 x. Отметьте интегрируемые функции на отрезке [0,1]:

Пусть f(x)=\sin x,\quad g(x)=\frac 1 2\sin x. Для каких отрезков \int\limits_a^b f(x)dx\ge\int\limits_a^b g(x)dx

Теорема о среднем справедлива, если функция f:

Не вычисляя интегралов, выяснить, для каких функций \int\limits_1^2 f(x)dx\ge\int\limits_1^2 g(x)dx:

Пусть F(x)=\int\limits_a^x f(t)dt. Тогда эта функция

Пусть F(x)=\int\limits_x^b f(t)dt. Тогда эта функция

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда её первообразная на этом отрезке равна

При вычислении каких интегралов применима формула Ньютона-Лейбница:

Какой новый отрезок интегрирования [\alpha,\beta] можно взять для вычисления интеграла \int\limits_0^{\sqrt 2} \sqrt{2-x^2}dx с помощью замены x=\sqrt 2\sin t:

Отметьте условия, при которых справедлива формула интегрирования по частям \int\limits_a^b ud\nu=u\nu|_a^b-\int\limits_a^b \nu du:

Площадь криволинейной трапеции для непрерывной и отрицательной функции f(x) на [a,b] равна

Площадь фигуры, ограниченной линиями y=\cos x,\: y=0,\; x=-\pi/2,\; x=-\pi/4 вычисляется по формуле

Пусть площадь криволинейной трапеции, заданной параметрически x=\varphi(t),y=\psi(t), вычисляется по формуле \int\limits_\alpha^\beta \psi(t)\varphi'(t)dt. Тогда на отрезке \alpha,\beta должны выполняться условия:

Объём какого тела можно вычислить:

Объем тела с известными поперечными сечениями Q(x) вычисляется по формуле V=\int\limits_a^b Q(x)dx. Тогда

Площадь поперечного сечения тела вращения равна:

Длина S кривой \rho=f(\varphi) в полярных координатах вычисляется по формуле

При вычислении длины кривой в прямоугольных координатах функция y=f(x) на отрезке [a,b] должна удовлетворять условиям:

Длина кардиоиды \rho=1-\cos\varphi вычисляется по формуле :

Работа переменной F силы на отрезке [a,b] вычисляется по формуле

Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим интеграл \int\limits_0^\infty \sin xdx. Отметьте верные утверждения:

Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственные интегралы I=\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx и J=\int\limits_a^{+\infty}\varphi(x)dx от неотрицательных функций, для которых существует конечный предел \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{\varphi(x)}=k. Отметьте верные утверждения:

Интеграл \int\limits_a^{+\infty}f(x)dx называется абсолютно сходящимся, если

Отметьте верные утверждения:

Пусть задан интеграл \int\limits_1^{+\infty}\frac{\cos x}{x^2}dx. Отметьте верные утверждения:

Пусть задан интеграл \int\limits_0^1\frac{dx}x. Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственные интегралы 2 рода I=\int\limits_a^b f(x)dx и J=\int\limits_a^b\varphi(x)dx для функций, связанных неравенством 0\le f(x)\le\varphi(x) на [a,b). Отметьте верные утверждения:

Пусть задан интеграл \int\limits_0^1\frac{\sin x}{x\sqrt x}dx. Отметьте верные утверждения:

Функция f - интегрируема по Риману на [a,b]. Тогда функция f на [a,b] всегда

Пусть площадь криволинейной трапеции, заданной параметрически x=\varphi(t),y=\psi(t), вычисляется по формуле \int\limits_\alpha^\beta \psi(t)\varphi'(t)dt. Тогда на отрезке \alpha,\beta должны выполняться условия:

Отметьте условия, при которых справедлива формула интегрирования по частям \int\limits_a^b ud\nu=u\nu|_a^b-\int\limits_a^b \nu du:

Какую функцию сравнения \varphi(x) можно рассмотреть для доказательства абсолютной сходимости интеграла \int\limits_1^{+\infty}\frac{\sin x}{(x+1)^2}dx:

Какой должна быть функция сравнения \varphi(x) при исследовании на сходимость интеграла \int\limits_1^{+\infty}\frac{x^2}{x^4+x^2+1}dx:

Отметьте верные утверждения:

Пусть задан интеграл \int\limits_0^1\frac{\arctg x}{x^2}dx. Отметьте верные утверждения:

Пусть задана функция f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin\frac 1 x,\quad x\ne0 \\ 1,\quad x=0\end{array}\right.. Тогда она на отрезке [0,1]

В каких случаях сумма двух функций f+g всегда не интегрируемая:

Пусть f(x)=\sin x,\quad g(x)=2\sin x. Для каких отрезков \int\limits_a^b f(x)dx\ge\int\limits_a^b g(x)dx

Пусть задана функция f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1,\quad x>0 \\ x,\quad x\le 0\end{array}\right.. Тогда эта функция на отрезке [-1,1]

Найдите производные \frac d{dx}\int\limits_a^b\cos(x^2)dx, \frac d{db}\int\limits_a^b\cos(x^2)dx, \frac d{da}\int\limits_a^b\cos(x^2)dx, соответственно:

Какая формула при выполнении необходимых условий для функций f(x), \varphi(t) (непрерывности, дифференцируемости, значений на концах отрезка и др.) справедлива:

На каком отрезке [a,b] для вычисления интеграла \int\limits_a^b x\sqrt{1-x^2}dx можно применить подстановку x=\sin t:

Площадь фигуры, ограниченной линиями y=\cos x,\: y=0,\; x=0,\; x=3\pi/4 вычисляется по формуле

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x^2+2x+3,\; y=x+3, вычисляется по формуле

Какие утверждения верны:

При вычислении длины кривой, заданной параметрически, функции x=\varphi(t),\; y=\psi(t) на отрезке [t_0,T] должны удовлетворять условиям:

Для несобственного интеграла 1 рода \int\limits_a^\infty f(x)dx функция f(x):

Рассмотрим интеграл \int\limits_1^\infty\frac{dx}x. Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственные интегралы I=\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx и J=\int\limits_a^{+\infty}\varphi(x)dx для функций, связанных неравенством 0\le f(x)\le\varphi(x). Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственный интеграл 1 рода \int\limits_a^{+\infty}f(x)dx от неотрицательной функции. Отметьте верные утверждения:

Какую функцию сравнения \varphi(x) можно рассмотреть для доказательства абсолютной сходимости интеграла \int\limits_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x^2}dx:

Несобственный интеграл 2 рода сходится, если предел функции \int\limits_a^{b-\varepsilon}f(x)dx при \varepsilon\to 0

Рассмотрим несобственный интеграл 2 рода \int\limits_a^b f(x)dx. Отметьте верные утверждения:

В каких случаях сумма двух функций f+g всегда интегрируемая:

Пусть задан интеграл \int\limits_2^{+\infty}\frac{\sin x}{x-1}dx. Отметьте верные утверждения:

Площадь криволинейной трапеции для непрерывной и неотрицательной функции f(x) на [a,b] равна

Длина кривой в полярных координатах вычисляется по формуле \int\limits_\alpha^\beta\sqrt{\rho'^2+\rho^2}d\varphi. Отметьте верные утверждения:

Отметьте условия, при которых справедлива формула замены переменных \int\limits_a^b f(x)dx=\int\limits_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt

Длина S кривой AB

Интеграл \int\limits_a^{+\infty}f(x)dx условно сходится. Отметьте верные утверждения:

Производная интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции в

Объем тела с известными поперечными сечениями Q(x) вычисляется по формуле V=\int\limits_a^b Q(x)dx. Тогда

Длина окружности на отрезке вычисляется по формуле:

Координата центра тяжести неоднородного стержня плотности \rho(x) на отрезке [a,b] вычисляется по формуле

Какой должна быть функция сравнения \varphi(x) при исследовании на сходимость интеграла \int\limits_1^{+\infty}\frac{|\cos x|}{x^2}dx:

Рассмотрим несобственные интегралы I=\int\limits_a^{+\infty}f(x)dx и J=\int\limits_a^{+\infty}\varphi(x)dx от неотрицательных функций, для которых существует конечный предел \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{\varphi(x)}=k. Отметьте верные утверждения:

Рассмотрим несобственные интегралы 2 рода I=\int\limits_a^b f(x)dx и J=\int\limits_a^b\varphi(x)dx от неотрицательных на [a,b) функций, для которых существует конечный предел \lim\limits_{x\to b_{-0}}\frac{f(x)}{\varphi(x)}=k. Отметьте верные утверждения:

В каких случаях разность двух функций f-g всегда не интегрируемая:

Рассмотрим интеграл \int\limits_1^\infty\frac{dx}{x^3}. Отметьте верные утверждения:

Пусть S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}f(\xi_k)\Delta x_k - интегральная сумма функции f на [a,b]. Тогда

Какую подстановку можно использовать при вычислении интеграла \int\limits_1^e \frac{\ln x}x dx:

Пусть A - работа переменной F силы при перемещении материальной точки по прямой из точки a в точку b. Тогда она равна

Координата центра тяжести неоднородного стержня плотности \rho(x) на отрезке [a,b] равна \frac{\int\limits_a^b x\rho(x)dx}{\int\limits_a^b \rho(x)dx}. Отметьте верные утверждения:

Пусть интеграл \int\limits_a^{+\infty}f(x)g(x)dx сходится. Отметьте верные утверждения:

Площадь криволинейного сектора \rho=f(\varphi),\;\alpha\le\varphi\le\beta вычисляется по формуле Q=\frac 12\int\limits_\alpha^\beta f^2(\varphi))d\varphi). Тогда

Пусть задана функция f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2+1,\quad x>0 \\ -1,\quad x\le 0\end{array}\right.. Тогда эта функция на отрезке [-1,1]

Дифференциал dS длины дуги кривой \rho=f(\varphi) вычисляется по формуле

Несобственный интеграл 1 рода сходится, если предел функции \int\limits_a^b f(x)dx при b\to +\infty

Рассмотрим несобственные интегралы 2 рода I=\int\limits_a^b f(x)dx и J=\int\limits_a^b\varphi(x)dx для функций, связанных неравенством 0\le f(x)\le\varphi(x) на [a,b). Отметьте верные утверждения:

Пусть задана функция Дирихле f(x)=\left\{\begin{array}{l}1,\quad x\in Q}\\ 0,\quad x\in I\end{array}\right.. Тогда она на отрезке [0,1]

Отметьте условия, при которых справедлива формула замены переменных \int\limits_a^b f(x)dx=\int\limits_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt

Дифференциал dS длины дуги кривой x=\varphi(t),\;y=\psi(t) вычисляется по формуле