База ответов ИНТУИТ

Дифференциальные уравнения - ответы

Количество вопросов - 299

Методом введения параметра найдите решение уравнения 2xy'-y=y'\ln{yy'} с начальными условиями y(1)=\sqrt{2}, y'(1)<1. При каком x оно пересекает прямую y=4?

Найдите решение уравнения x^3dy=2(x-1)dx, удовлетворяющее начальному условию y(1/2)=0. В ответе укажите его значение при x=1

Найдите значение y(5\pi/6) функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению y'= - y \tg{x} + 1/\cos{x} и начальному условию y(0)=\sqrt{3}

Найдите решение уравнения
y'=\frac{2xy}{x^2+y^2},
удовлетворяющее начальному условию y(1)=-1. В ответе укажите его значение y(2).

Найдите решение уравнения (1+y^2 \sin{2x})dx-2y\cos^2\!x\,dy=0, проходящее через точку (0,-1). При каком y оно пересекает прямую x=\pi/3?

Восстановите оригинал f по изображению
\widetilde{f}(p)=\frac{60}{p^2-1}.
В ответе укажите его значение f(\ln2).

Найдите общее решение уравнения xy'-y=(x+y) \ln(1+y/x)

Найдите особое решение уравнения
\frac{y}{xy'}+\ln{y'}=1.
При каком y оно пересекает прямую x=6?

Решите задачу Коши y''+2y'+2y=0, y(0)=y'(0)=1. В ответе укажите значение y(1)

Для уравнения
\ddot{x}-e^{2\dot{x}}-x^3=0
найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Какое наименьшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения \ddot{x}+ \pi(\arctg{t}-\pi)x=0 на интервале длины 20?

Найдите все значения вещественного параметра a, при которых особая точка системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&ax+y \\ \dot{y} &=&ay-(2a+1)x\end{array}\right.
устойчива.

Решите задачу Коши:
y''=\frac{y'}{x}\ln{\frac{y'}{x}}+\frac{y'}{x}, \quad y(1)=3, \quad y'(1)=1
В ответе укажите значение y(3)

Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&xy \\ \dot{y} &=&y\\ \dot{z} &=&xe^{-y}+z\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=e, y(0)=1 и z(0)=2. В ответе укажите значение z(\ln{3}).

Решите вариационную задачу со свободным концом
\int\limits_1^3\left[8yy' \ln{x}-x(y')^2+6xy'\right]dx, \quad y(3)=15.
В ответе укажите значение \hat{y}(2).

Найдите решение уравнения xyy''-x{y'}^2=yy', удовлетворяющее начальным условиям: y(1)=e^3, y'(1)=6e^3. В ответе укажите его значение y при x=\sqrt{\ln{2}}

С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&z \\ \dot{y} &=&x+y \\ \dot{z} &=&z \\\end{array}\right..
В ответе укажите значение x при t=\ln{2} для решения, удовлетворяющего начальным условиям x(0)=y(0)=z(0)=1.

Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-x^2 \\ \dot{y} &=&xy-2z^2\\ \dot{z} &=&xz\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=3, y(0)=5 и z(0)=1. В ответе укажите значение y(1).

Решите вариационную задачу со свободным концом
\int\limits_0^2\left[2xy'+(y')^2\right]dx, \quad y(0)=0.
В ответе укажите значение 3\hat{y}(2).

Найдите функцию u, удовлетворяющую дифференциальному уравнению
x\frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial u}{\partial y}=0
и начальному условию
u=2x \quad \textrm{при} \quad y=1.
В ответе укажите значение u(3,4).

Решите задачу Коши
y'=\frac{y}{x}+x, \quad y(1)=10
В ответе укажите значение её решения при x=2

Найдите tr \, e^{tA}, если t=\pi/2 и
A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 1 & -1\end{array}\right).

У системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&3xy \\ \dot{y} &=&e^{-4xy}-x\end{array}\right.
найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Найдите допустимые экстремали в задаче без ограничений
\int\limits_0^{1}\left[2yy'+(y')^2\right]dx.
В ответе укажите значение 6\hat{y}(\pi/4).

Решите неоднородную систему
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&y+\tg^2{t}-1 \\ \dot{y} &=&-x+\tg{t}\end{array}\right.
методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям x(0)=y(0)=0. В ответе укажите значение 2x(\pi/3).

Какое наибольшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения \ddot{x}+2t\dot{x}+x\sin{t}=0 на отрезке длины 100?

В баке находится 100 л раствора, содержащего 1 кг соли. В бак непрерывно подаётся вода (5 л в минуту), которая перемешивается с имеющимся раствором. Смесь вытекает с той же скоростью. Сколько граммов соли останется в баке через час? (Ответ округлить до целого числа.)

Решите задачу Коши y''+y'-6y=-108x^2e^{-x}, y(0)=8, y'(0)=-11. В ответе укажите значение y(1)

Найти значение при t=2 определителя фундаментальной матрицы системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-(1+t^2)x+(1+t)^{-1}y \\ \dot{y} &=&(1+t)^{-1}x+(1+t^2)y\end{array}\right.,
если его значение при t=0 равно 1.

Найдите решение краевой задачи:
y''-y=e^{2x}, \quad y(0)=\frac13, \quad y(2)=\frac13e^4
В ответе введите его значение при x=\ln{6}

Составьте дифференциальное уравнение семейства кривых: y=Cx^2-x

Найдите решение уравнения 2xydx=(1+x^2)dy, удовлетворяющее начальному условию y(0)=1. В ответе укажите его значение при x=10

Найдите уравнения вертикальных асимптот решения задачи Коши
(x^2-1)dy+2xy^2dx=0, \quad y(0)=1

Решите задачу Коши ty'+y=y^2/6, y(1)=3. В ответе укажите значение её решения при t=2

Найдите траекторию, проходящую через точку (2,2) и ортогональную семейству кривых xy=Ce^y. Укажите значения x<0, при котором она пересекает прямую y=2

Чайник за 10 минут остыл от 100^\circ до 60^\circ. Температура воздуха в комнате 20^\circ. За сколько минут чайник остынет от 60^\circ до 25^\circ? (Скорость остывания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды.)

Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км и раскрыл парашют на высоте 0,5 км. Сколько секунд он падал до раскрытия парашюта? (Ответ округлить до целого числа.) Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности равна 50 м/с. Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости.

Найдите решение уравнения (2x+y^3)dx+3xy^2dy=0, проходящее через точку (3,0). При каком y оно пересекает прямую x=1?

Найдите решение уравнения ydx/x+(y^3+\ln{x})dy=0, проходящее через точку (e,1). При каком x оно пересекает прямую y=\sqrt{3}?

Найдите решение уравнения (x-y)dx+(x+y)dy=0, проходящее через точку (1,0). В какой точке оно пересекает окружность с центром в начале координат и радиусом r=\sqrt{e^{\pi}}?

Решите задачу Коши
y'=\frac{y}{x}-2x^2, \quad y(1)=10
В ответе укажите значение её решения при x=2

Решите задачу Коши для дифференциального уравнения y=x(y'-x \cos{x}) с начальным условием y(\pi)=3. В ответе укажите значение y(2\pi)

Найдите общее решение уравнения (x+y^2) dy = y dx

Найдите общее решение уравнения x^3y'\sin{y}=xy'-2y

Решите задачу Коши:
y''(e^x+1)+y'=0, \quad y(-1)=-1-e, \quad y'(-1)=1+e
В ответе укажите значение y(0)

Решите задачу Коши:
x^2y''={y'}^2, \quad y(1)=y'(1)=1
В ответе укажите значение y(3)

Решите задачу Коши:
2y^2y''+{y'}^2=4, \quad y(0)=1, \quad y'(0)=-2
В ответе укажите значение y(10)

Решите задачу Коши:
yy''=-y^2{y'}^3+{y'}^2, \quad y(0)=1, \quad y'(0)=3
В ответе укажите значение y(7)

Найдите решение уравнения yy''=2x{y'}^2, удовлетворяющее начальным условиям: y(2)=2, y'(2)=1/2. В ответе укажите значение y^5 при x=5/2

Найдите решение уравнения 8y^2y''-12x^2y^2y'+3x^2{y'}^3-8y{y'}^2=0, удовлетворяющее начальным условиям: y(1)=1, y'(1)=-2. В ответе укажите его значение y(2)

Найдите решение уравнения x^4y''-xyy'+2(y-x^2)y=0, удовлетворяющее начальным условиям: y(1)=1, y'(1)=-1/2. В ответе укажите его значение 13y(1/2)

Найдите решение уравнения xy''=y'+2x^2yy', удовлетворяющее начальным условиям: y(1)=y'(1)=1. В ответе укажите его значение y(2)

Решите задачу Коши y''-8y'+16y=0, y(0)=y'(0)=1. В ответе укажите значение y(1)

Решите задачу Коши y'''-3y''+7y'-5y=0, y(0)=2, y'(0)=0, y''(0)=-2. В ответе укажите значение y(1)

Решите уравнение Эйлера x^2y''+xy'+y=10x^2 при x>0. Найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям y(1)=0, y'(1)=0. В ответе укажите его значение y(e^{\pi/2})

Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами
y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}y'+a_ny=0
наименьшего порядка n, которое имеет частные решения x и \sin x. В ответе укажите сумму n+a_1

Найдите решение краевой задачи:
y''+y'=2, \quad y(0)=0, \quad y(2)=4
В ответе введите его значение при x=1

Найдите решение краевой задачи:
x^2y''-6y=0, \quad y=O(1) \textrm{ при } x \to +0, \quad y(2)=72
В ответе введите его значение при x=1

Найдите наименьшее вещественное значение a, при котором краевая задача
y''+ ay =0, \quad y(0)=0, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0
имеет ненулевое решение.

Найдите решение системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-12x-8y \\ \dot{y} &=&20x+12y\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=y(0)=1. В ответе укажите значение x(\pi/8).

Найдите решение системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+y-z \\ \dot{y} &=&x-y+z \\ \dot{z} &=&x-3y+3z \\\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=1, y(0)=0, z(0)=1. В ответе укажите значение z(1).

Найдите решение системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-3x+y-2z \\ \dot{y} &=&4x+y \\ \dot{z} &=&4x+z \\\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=0, y(0)=1, z(0)=0. В ответе укажите значение z(1).

Найдите решение системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-4x-4y+2e^{2t} \\ \dot{y} &=&6x+6y+2t\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=y(0)=0. В ответе укажите значение x(1).

С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-x+y \\ \dot{y} &=&2x-2y\end{array}\right..
В ответе укажите значение y при t=-\ln{2} для решения, удовлетворяющего начальным условиям x(0)=0, y(0)=1.

С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-x+y \\ \dot{y} &=&-5x+3y\end{array}\right..
В ответе укажите значение y при t=\pi для решения, удовлетворяющего начальным условиям x(0)=1, y(0)=0.

С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&z \\ \dot{y} &=&y \\ \dot{z} &=&0 \\\end{array}\right..
В ответе укажите значение x при t=2 для решения, удовлетворяющего начальным условиям x(0)=1, y(0)=2, z(0)=3.

Найдите tr \, e^{tA}, если t=\ln{2} и
A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 3\end{array}\right).

Вычислите преобразование Лапласа \widetilde{f} от функции f(t)=1+t+t^2+t^3+t^4. В ответе укажите его значение \widetilde{f}(1).

Вычислите значение при p=3 преобразование Лапласа от оригинала 120\cos{t}.

Вычислите значение при p=3 преобразование Лапласа от оригинала 100e^t\sin{t}.

Восстановите оригинал f по изображению
\widetilde{f}(p)=\frac{6p}{p^2+2p+2}.
В ответе укажите значение его производной f'(0).

Решите операционным методом задачу Коши y''+2y'+y=(t+2)e^{-t}, y(0)=1, y'(0)=-1 при t \geqslant 0. В ответе укажите значение 6ey(1).

Решите операционным методом задачу Коши y''+y=4\cos{t}, y(0)=1, y'(0)=-1 при t \geqslant 0. В ответе укажите значение y(\pi).

Решите операционным методом задачу Коши
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&3x-4y+e^{-t} \\ \dot{y} &=&x-2y+e^{-t}\end{array}\right.,\quad x(0)=-1, \quad y(0)=1
при t \geqslant 0. В ответе укажите значение x(1).

Решите операционным методом задачу Коши
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&4x+5y+4 \\ \dot{y} &=&-4x-4y+4t\end{array}\right., \quad x(0)= y(0)=3
при t \geqslant 0. В ответе укажите значение (x(\pi)-3)/\pi.

Решите простейшую вариационную задачу для функционала
\int\limits_0^\pi\left[(y'+y)^2+2y\sin{x}\right]dx, \quad y(0)=0, \quad y(\pi)=1.

Решите простейшую вариационную задачу для функционала
\int\limits_2^4\left[x^2yy'+8x^2y-x^2(y')^2+(x-2)y^2\right]dx, \quad y(2)=0, \quad y(4)=-8.
В ответе введите значение \hat{y}(3).

Решите вариационную задачу со свободным концом
\int\limits_1^2\left[x^2(y')^2+6y^2+x^3y\right]dx, \quad y(1)=11.
В ответе укажите значение \hat{y}(2)

Исследовать функционал на экстремум:
\int\limits_1^2\left[12y_1^2+y_2^2+x^2(y_1')^2+(y_2')^2\right]dx, \quad y_1(1)=1, \quad y_2(1)=e, \quad y_1(2)=8, \quad y_2(2)=e^2.
В ответе введите значение 60\hat{y}_1(1/2)\hat{y}_2(\ln{2}).

Решите изопериметрическую вариационную задачу
\int\limits_0^2\left[2xy+(y')^2\right]dx, \quad y(0)=0, \quad y(2)=6, \quad \int\limits_0^2 xy\,dx=8.
В ответе укажите значение \hat{y}(1).

Найдите минимум функционала
\int\limits_0^{\pi/2}{\left(y'\right)^2} dx,
если
\int\limits_0^{\pi/2}{\left(y\right)^2} dx =1, \quad y(0)=y(\pi)=1.

При каком наименьшем n уравнение вида y^{(n)}=f(x,y), где f - непрерывно дифференцируемая функция на плоскости, может иметь среди своих решений функции x и \cos{x}?

При каком наименьшем n уравнение вида y^{(n)}=f(x,y), где f - непрерывно дифференцируемая функция на плоскости, может иметь среди своих решений функции 1-\cos{x} и x^2/2?

Найдите производную по параметру \lambda при \lambda=0 от решения y=\varphi(x,\lambda) задачи Коши:
y'=-y+\lambda(x+y^2), \quad y(0)=0
при x=1.

Найдите производную по начальному условию y_0 при y_0=0 от решения y=\varphi(x,y_0) задачи Коши:
y'=-2y+2x^2y^2+y^3, \quad y(0)=y_0
при x=1.

Найдите особое решение уравнения {y'}^2+2x^3y'-4x^2y=0. При каком y оно пересекает прямую x=2?

Найдите особое решение уравнения 5y+{y'}^2=x(x+y'). При каком y оно пересекает прямую x=6?

Методом введения параметра найдите решение уравнения
\frac{y}{xy'}+\ln{y'}=1
с начальными условиями y(e)=2, y'(e)<1. При каком y оно пересекает прямую x=e^2?

Найдите особое решение уравнения
2xy^2y'^2-y^3y'+1=0.
При каком x оно пересекает прямую y=-2?

Определить тип особой точки линейной невырожденной системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x-5y \\ \dot{y} &=&5x-5y\end{array}\right..

Найдите значение вещественного параметра a, при котором особая точка системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&ax+y \\ \dot{y} &=&ay-(2a+1)x\end{array}\right.
является центром.

Найдите все значения вещественного параметра a, при которых особая точка системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&2ax+y \\ \dot{y} &=&ay-2ax\end{array}\right.
асимптотически устойчива.

Найдите все значения вещественного параметра a, при которых особая точка системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+(1-a)y \\ \dot{y} &=&(1+a)x-3y\end{array}\right.
устойчива.

У системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\ln{(x^3-6e^y-1)}-y \\ \dot{y} &=&4x-4e^y-4\end{array}\right.
найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Для уравнения
\ddot{x}+x^3=e^{-4\dot{x}/x}
найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Для уравнения
\ddot{x}=(3\dot{x}-2x)e^{{\dot{x}}^2}
найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\displaystyle{\frac{x^2}{y}} \\ \dot{y} &=&\displaystyle{x}\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=6 и y(0)=3. В ответе укажите значение x(\ln{2}).

У системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-y - xy^2 \\ \dot{y} &=&x+x^2y\end{array}\right.
с помощью первого интеграла определите тип (характер) нулевого положения равновесия.

Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений
\frac{dx}{y-x}=\frac{dy}{x+y+z}=\frac{dz}{x-y}.
В ответе укажите абсциссу точки пересечения плоскости y=7 и решения, проходящего через точку (1,1,1).

Найдите функцию u, удовлетворяющую дифференциальному уравнению
\frac{\partial u}{\partial x}+(2e^x-y)\frac{\partial u}{\partial y}=0
и начальному условию
u=y \quad \textrm{при} \quad x=0.
В ответе укажите значение u(\ln{2},5).

Найдите функцию u, удовлетворяющую дифференциальному уравнению.
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+2\frac{\partial u}{\partial z}=0
и начальному условию
u=yz \quad \textrm{при} \quad x=1.
В ответе укажите значение u(10,20,30).

Найдите функцию u, удовлетворяющую дифференциальному уравнению
2xy\frac{\partial u}{\partial x}+(1-2xz-y^2)\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{y}{x}\frac{\partial u}{\partial z}=0
и начальному условию
u=\frac12-y^2 \quad \textrm{при} \quad xz+y^2=1.
В ответе укажите значение u при x=5, y=3 и z=1/2.

Найти матрицу A(t) линейной однородной системы
\left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y}\end{array}\right)=A(t)\left(\begin{array}{c} x \\ y\end{array}\right),
зная её фундаментальную матрицу
\Phi(t)=\left(\begin{array}{cc} e^t & 0 \\ te^t & e^{2t}\end{array}\right).
В ответе укажите значение суммы всех элементов найденной матрицы при t=10

Вычислите значение при t=\ln{2} определителя Вронского двух вектор-функций
\left(\begin{array}{c} \sh{t} \\ \ch{t}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} \ch{t} \\ \sh{t}\end{array}\right).
Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?

Вычислите значение при t=\ln3 определителя Вронского трёх вектор-функций
\left(\begin{array}{c} e^t \\ e^t \\ e^t\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} \sh{t} \\ \ch{t} \\ \sh{t}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} \ch{t} \\ \sh{t} \\ \ch{t}\end{array}\right).
Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?

Два решения \overrightarrow{\varphi} и \overrightarrow{\psi} системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x\ln{t}-ye^{t} \\ \dot{y} &=&x\arctg{t}+y\end{array}\right.,
удовлетворяют начальным условиям:
\overrightarrow{\varphi}(1)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2\end{array}\right),\quad \overrightarrow{\psi}(1)=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4\end{array}\right).
Найдите значение их определителя Вронского при t=3.

Система
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&(1-2t)x-2y \\ \dot{y} &=&(2t^2-2t-1)x+(2t-1)y\end{array}\right.,
имеет решение
\left\{\begin{array}{ccl} x &=&e^{t} \\ y &=&-te^t\end{array}\right..
Найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям x(0)=y(0)=1. В ответе укажите значение y(1).

Решите неоднородную систему
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-2x+y+4t\ln{t} \\ \dot{y} &=&-4x+2y+8t\ln{t}\end{array}\right.
методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям x(1)=-4\ln2, y(1)=-12\ln2. В ответе укажите значение x(2).

Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций x+1 и x+2. Являются эти функции линейно зависимыми?

Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций 1, \arctg x и \arcctg x. Являются эти функции линейно зависимыми?

Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение вида
y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0
наименьшего порядка n, которое имеет следующие частные решения:
1, \quad \cos x.
В ответе укажите a_1(x).

Известны два частных решения линейного неоднородного уравнения первого порядка: y_1=x и y_2=e^x. Найдите решение с начальным условием y(1)=-1.

С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши:
(2x+1)y''+(4x-2)y'-8y=4(2x+1)^3, \quad y(0)=-1, \quad y'(0)=0.
В ответе укажите значение y(1).

С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши:
x(x+1)^2y''+2(x+1)y'-2y=(x+1)^3e^x, \quad y(1)=2e, \quad y'(1)=2e^2+e.
В ответе укажите значение y(2).

Решите неоднородное уравнение
y''+y=-\ctg^2{x}
методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям y(\pi/2)=2, y'(\pi/2)=-2. В ответе укажите значение y(2\pi/3).

Решите неоднородное уравнение
\displaystyle{y''-y'=-\frac{x+1}{x^2}}
методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям y(1)=y'(1)=1. В ответе укажите значение y(2).

Какое наибольшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения \ddot{x}+ \pi(\arctg{t}+\pi)x=0 на отрезке длины 20?

Какое наибольшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения \ddot{x}+ \pi(\arctg{t}-\pi)x=0 на отрезке длины 20?

Напишите уравнение вида \ddot{x}+\alpha(t)x=0, которому удовлетворяет функция \th{t} и найдите его решение с начальными условиями x(0)=1, \dot{x}=0. В ответе укажите значение x(-1).

В воздухе комнаты объёмом 200 куб. м содержится 0,15% углекислого газа. Вентилятор подаёт в минуту 20 куб. м воздуха содержащего 0,04% углекислого газа. Через сколько минут количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое? (Ответ округлить до целого числа.)

Найдите решение уравнения
xy'=y \left (1+\ln{\frac{y}{x}}\right),
удовлетворяющее начальному условию y(1)=2. В ответе укажите его значение y(3).

Определить тип особой точки линейной невырожденной системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x-5y \\ \dot{y} &=&2x-y\end{array}\right..

Найдите решение уравнения x^4y''-x^2y{y'}^2+2xy'y^2=y^3, удовлетворяющее начальным условиям: y(2)=2, y'(2)=1. В ответе укажите его значение y(5)

Решите задачу Коши:
xy''+x{y'}^2+y'=0, \quad y(e)=0, \quad y'(e)=e^{-1}
В ответе укажите значение y(e^{1/e})

Найти значение при t=\pi/3 определителя фундаментальной матрицы системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x\tg{t}+y\th{t} \\ \dot{y} &=&x\th{t}+y\tg{t}\end{array}\right.,
если его значение при t=\pi/6 равно 1.

Решите неоднородную систему
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-4x-2y+\displaystyle{\frac{2}{e^t-1}} \\ \dot{y} &=&6x+3y-\displaystyle{\frac{3}{e^t-1}}\end{array}\right.
методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям x(\ln2)=y(\ln2)=1. В ответе укажите значение y(\ln3).

Найдите производную по начальному условию y_0 при y_0=0 от решения y=\varphi(x,y_0) задачи Коши:
y'=2y+x^2y^2-y^3, \quad y(0)=y_0
при x=1.

У системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x^2y+y^3 \\ \dot{y} &=&-x^3-xy^2\end{array}\right.
с помощью первого интеграла определите тип (характер) нулевого положения равновесия.

За 30 дней распадается 50% радиоактивного вещества. За сколько дней распадётся 99% его первоначального количества? (Скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна его оставшемуся количеству.)

С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши:
x^2y''-x(x+3)y'+(2x+3)y=x^4, \quad y(1)=1+e, \quad y'(1)=2e.
В ответе укажите значение y(2).

При каком наименьшем n уравнение вида y^{(n)}=f(x,y), где f - непрерывно дифференцируемая функция на плоскости, может иметь среди своих решений функции \cos{x} и \sin{x}?

Составьте дифференциальное уравнение семейства кривых: 2x^2+Cy^2=1

Решите задачу Коши y''+y'-2y=54xe^{-2x}+10\sin{x}, y(0)=-2, y'(0)=-7. В ответе укажите значение y(1)

Вычислите значение при p=3 преобразование Лапласа от оригинала 100e^{-4t}\cos{t}.

Найдите решение уравнения x^2y''=2y'(y-x), удовлетворяющее начальным условиям: y(1)=2/3, y'(1)=4/9. В ответе укажите его значение y(6)

Какое наименьшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения \ddot{x}+ \pi(\arctg{t}+\pi)x=0 на интервале длины 20?

Решите изопериметрическую вариационную задачу
\int\limits_0^\pi\left[y^2+2y\cos{x}+(y')^2\right]dx, \quad y(0)=2, \quad y(\pi)=-2, \quad \int\limits_0^\pi y\cos{x}\,dx=\pi.
В ответе укажите значение \hat{y}(2\pi/3).

У системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x^4y+y^5 \\ \dot{y} &=&x^5+xy^4\end{array}\right.
с помощью первого интеграла определите тип (характер) нулевого положения равновесия.

Решите задачу Коши y^{IV}-2y''+y=0, y(0)=2, y'(0)=0, y''(0)=6, y'''(0)=6. В ответе укажите значение y(1)

Решите изопериметрическую вариационную задачу
\int\limits_1^2 x(y')^2 \, dx, \quad y(1)=0, \quad y(2)=12, \quad \int\limits_1^2 xy\,dx=9.
В ответе укажите значение \hat{y}(\sqrt{2}).

Решите неоднородную систему
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&2x+y-\ln{t} \\ \dot{y} &=&-4x-2y+\ln{t}\end{array}\right.
методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям x(1)=y(1)=0. В ответе укажите значение x(2).

При каком наименьшем n уравнение вида y^{(n)}=f(x,y), где f - непрерывно дифференцируемая функция на плоскости, может иметь среди своих решений функции x и \sin{x}?

Решите неоднородное уравнение
y''+y=\frac{4}{\cos^2{x}}
методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=-4, y'(0)=8. В ответе укажите значение 2e^{y(\pi/6)}.

Найти матрицу A(t) линейной однородной системы
\left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y}\end{array}\right)=A(t)\left(\begin{array}{c} x \\ y\end{array}\right),
зная её фундаментальную матрицу
\Phi(t)=\left(\begin{array}{cc} e^t & 0 \\ te^t & e^t\end{array}\right).
В ответе укажите значение суммы всех элементов найденной матрицы при t=10.

Найдите функцию u, удовлетворяющую дифференциальному уравнению
x^2\frac{\partial u}{\partial x}+(2z-e^y)\frac{\partial u}{\partial y}+z^2\frac{\partial u}{\partial z}=0
и начальному условию
u=\frac{(x-z)^2}{x^2} \quad \textrm{при} \quad y=\ln{x}.
В ответе укажите значение u при x=2, y=-\ln{3} и z=8.

Составьте дифференциальное уравнение семейства кривых: y=(x-C)^2

Методом введения параметра найдите решение уравнения xy'=y\ln{y'}, проходящее через точку (0,-6). При каком x оно пересекает прямую y=-6\sqrt{e}?

Найдите решение уравнения (y-\sin{x}) dx + (x+e^y) dy=0

Найдите все значения вещественного параметра $a$, при которых на допустимой экстремали достигается минимум
\int\limits_0^1\left[y-2y'+a(y')^2\right]dx, \quad y(0)=0, \quad y(1)=1.

Для уравнения
\ddot{x}+3\dot{x}=\ln{(\dot{x}+x^3)}
найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Решите задачу Коши:
y''=-{y'}^2, \quad y(1)=y'(1)=1
В ответе укажите значение y(e).

Найдите функцию $u$, удовлетворяющую дифференциальному уравнению
xy^3\frac{\partial u}{\partial x}+x^2z^2\frac{\partial u}{\partial y}+y^3z\frac{\partial u}{\partial z}=0
и начальному условию
u={y}^4 \quad \textrm{при} \quad xz^3=1.
В ответе укажите значение u(3,2,1).

Найдите решение уравнения 2t^2yy'+y^2=2, удовлетворяющее начальному условию y(1/\ln{7})=-4. В ответе укажите его предел при t \to \infty

Найдите траекторию, проходящую через точку (0,0) и ортогональную семейству кривых y(1+Ce^x)=1. Укажите значение x, при котором она пересекает прямую y=-6

Найдите общее решение уравнения xy'=y+x \tg{(y/x)}

Решите задачу Коши y'+y=2e^x, y(0)=7. В ответе укажите значение её решения при x=\ln{2}

Найдите общее решение уравнения xy dy = (x+y^2)dx

Решите задачу Коши:
y''={y'}^2+(1-y)y', \quad y(1)=y'(1)=1
В ответе укажите значение
y(-\infty)=\lim_{x\to - \infty}{y(x)}

Найдите решение уравнения xyy''+(1+x^2)yy'+xy^2=x{y'}^2, удовлетворяющее начальным условиям: y(1)=1, y'(1)=-1. В ответе укажите его значение y(0,2)

Найдите решение уравнения x^2y''+2x^2yy'+2xy^2-2y=0, удовлетворяющее начальным условиям: y(1)=2, y'(1)=0. В ответе укажите значение 5y(1/2)

Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами
y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}y'+a_ny=0
наименьшего порядка n, которое имеет частное решение e^{2x} \cos {x}. В ответе укажите сумму n+a_1

Найдите решение краевой задачи:
x^2y''+2xy'-6y=6x^3, \quad y(x)=O(x^2) \textrm{ при } x \to +0, \quad y(3)=18
В ответе введите его значение при x=2

Найдите наименьшее вещественное значение a, при котором краевая задача
y''+ ay =1, \quad y(0)=0, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0
не имеет решений.

Найдите решение системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&3x-2y+2z \\ \dot{y} &=&2x+z \\ \dot{z} &=&-2x+2y-2z \\\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=y(0)=z(0)=1. В ответе укажите значение z(\pi/2).

Найдите решение системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&4x-y-2z \\ \dot{y} &=&2x+y-3z \\ \dot{z} &=&2x-y+z \\\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=1, y(0)=z(0)=0. В ответе укажите значение x(1).

Найдите решение системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-5x-y \\ \dot{y} &=&x-3y-36e^{2t}\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=y(0)=0. В ответе укажите значение x(1).

С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&3x+y \\ \dot{y} &=&-x+5y\end{array}\right..
В ответе укажите значение x при t=1 для решения, удовлетворяющего начальным условиям x(0)=1, y(0)=0.

С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&z \\ \dot{y} &=&x-y+z \\ \dot{z} &=&0 \\\end{array}\right..
В ответе укажите значение y при t=2 для решения, удовлетворяющего начальным условиям x(0)=y(0)=z(0)=2.

Вычислите преобразование Лапласа \widetilde{f}(p) от постоянной функции f(t)=120. В ответе укажите его значение при p=15.

Решите операционным методом задачу Коши y''-y'-2y=3te^t, y(0)=y'(0)=1 при t \geqslant 0. В ответе укажите значение y(1).

Решите операционным методом задачу Коши y''+4y=4(\cos{2t}+\sin{2t}), y(0)=0, y'(0)=1 при t \geqslant 0. В ответе укажите значение y(\pi)/\pi.

Решите операционным методом задачу Коши
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-x-2y+2e^{-t} \\ \dot{y} &=&3x+4y+e^{-t}\end{array}\right.,\quad x(0)= y(0)=-1
при t \geqslant 0. В ответе укажите значение x(\ln2).

Решите операционным методом задачу Коши
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-x-y+e^{2t} \\ \dot{y} &=&2x+2y+2e^{2t}\end{array}\right., \quad x(0)= y(0)=1
при t \geqslant 0. В ответе укажите значение x(\ln3).

Решите простейшую вариационную задачу для функционала
\int\limits_1^2\left[x(y')^2+\frac{y^2}{x}\right]dx, \quad y(1)=2, \quad y(2)=\frac52.
В ответе введите значение 6\hat{y}(3/2).

Решите простейшую вариационную задачу для функционала
\int\limits_{-1}^1 e^x \left[(y')^2+6y^2\right]dx, \quad y(-1)=0, \quad y(1)=e^7-e^{-3}.

Решите вариационную задачу без ограничений
\int\limits_1^{e}\left[x(y')^2+\frac{y^2}{x}+ \frac{2y\ln{x}}{x}\right]dx.
В ответе укажите значение 12\hat{y}(\sqrt{e}).

Найти допустимые экстремали \hat{y}(x) вариационной задачи:
\int\limits_0^{\pi/2}\left[y^2-2(y')^2+(y'')^2\right]dx, \quad y(0)=y'(0)=0, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \quad y'\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac2\pi.
В ответе введите значение 60\hat{y}'(\pi/6).

Решите изопериметрическую вариационную задачу
\int\limits_0^2(y')^2\,dx, \quad y(0)=0, \quad y(2)=-11, \quad \int\limits_0^2xy\,dx=-4.
В ответе укажите значение \hat{y}(1).

Методом введения параметра найдите решение уравнения {y'}^2+2x^3y'-4x^2y=0 с начальными условиями y(1)=0, y'(1)<0. При каком y оно пересекает прямую x=2?

Найдите особое решение уравнения 2xy'-y=y'\ln{(yy')}. При каком x оно пересекает прямую y=-e^3?

Найдите особое решение уравнения xy'=y\ln{y'}. При каком x оно пересекает прямую y=-6e?

Найдите все значения вещественного параметра a, при которых особая точка системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&ax+y \\ \dot{y} &=&ay-(2a+1)x\end{array}\right.
асимптотически устойчива.

Найдите все значения вещественного параметра a, при которых особая точка системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+(1-a)y \\ \dot{y} &=&(1+a)x-3y\end{array}\right.
асимптотически устойчива.

У системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\ln{(1-y)} \\ \dot{y} &=&\sqrt[3]{x-4y}+x-2\end{array}\right.
найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

У системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\pi+\arctg{(x^3-8-\tg{y})}-y \\ \dot{y} &=&2x+12\tg{y}-4\end{array}\right.
найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Для уравнения
\ddot{x}+\ln{(1-2\dot{x})}+2\arctg{x}=0
найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\displaystyle{-\frac{x}{y}} \\ \dot{y} &=&\displaystyle{\frac{y}{x}}\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=15 и y(0)=10. В ответе укажите значение
x(+\infty)=\lim_{t \to + \infty} x(t).

У системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x^3+xy^2 \\ \dot{y} &=&-x^2y-y^3\end{array}\right.
с помощью первого интеграла определите тип (характер) нулевого положения равновесия.

Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&xy-x^2 \\ \dot{y} &=&y^2\\ \dot{z} &=&2yz+z^2\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=1/4, y(0)=1/3 и z(0)=1/6. В ответе укажите значение 4/z при t=1/2.

Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений
\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x}=\frac{dz}{z}.
В ответе укажите значение координаты z точки пересечения плоскости y=0 и решения, проходящего через точку (5,4,3).

Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений
\frac{dx}{x(y+z)}=\frac{dy}{z(z-y)}=\frac{dz}{y(y-z)}.
В ответе укажите абсциссу точки пересечения плоскости y=0 и решения, проходящего через точку (5,4,-3).

Найдите функцию u, удовлетворяющую дифференциальному уравнению
y\frac{\partial u}{\partial x}-x\frac{\partial u}{\partial y}=0
и начальному условию
u=|x| \quad \textrm{при} \quad y=1.
В ответе укажите значение u(10,15).

Найдите фундаментальную матрицу \Phi(t) системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+y \\ \dot{y} &=&x+y\end{array}\right.,
если \Phi(0)=E (E - единичная матрица). В ответе укажите сумму собственных чисел матрицы \Phi(\ln{2}).

Вычислите значение при $t=10$ определителя Вронского двух вектор-функций
\left(\begin{array}{c} 1 \\ -t\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -1 \\ t\end{array}\right).
Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?

Вычислите значение при t=10 определителя Вронского двух вектор-функций
\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -t \\ t\end{array}\right).
Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?

Два решения \overrightarrow{\varphi} и \overrightarrow{\psi} системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x\cos{t}-y\sin{t} \\ \dot{y} &=&x\sin{t}+y\cos{t}\end{array}\right.,
удовлетворяют начальным условиям:
\overrightarrow{\varphi}(0)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0\end{array}\right),\quad \overrightarrow{\psi}(0)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1\end{array}\right).
Найдите их определитель Вронского W(t). В ответе укажите значение \ln{W}(\pi).

Система
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\displaystyle{x\cos^2t+y(\sin{t}\cos{t}-1)} \\ \dot{y} &=&\displaystyle{x(\sin{t}\cos{t}+1)+y\sin^2t}\end{array}\right.,
имеет решение
\left\{\begin{array}{ccl} x &=&-\sin{t} \\ y &=&\cos{t}\end{array}\right..
Найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям x(0)=y(0)=1. В ответе укажите значение x^2+y^2 при t=\ln2.

Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций x^2 и x|x|. Являются эти функции линейно зависимыми?

Известны три частных решения линейного неоднородного уравнения второго порядка: y_1=x^2, y_2=1-x и y_3=1-3x. Найдите решение с начальным условием y(0)=2, y'(0)=0.

С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши:
(2x+3)y''-2y'-\frac{6}{x^2}y=3(2x+3)^2, \quad y(1)=y'(1)=0.
В ответе укажите значение y(2).

Решите неоднородное уравнение
y''+2y=2-4x^2\sin{x^2}
методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=y'(0)=0. В ответе укажите значение 2y\left(\sqrt{\pi/2}\right).

Какое наименьшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения \ddot{x}+4\dot{x}+x(\th{t}+5)=0 на отрезке длины 100?

Вещественная функция \alpha определена, непрерывна и положительна на всей числовой прямой. Какое наибольшее число нулей может иметь на всей числовой прямой нетривиальное решение уравнения \ddot{x}-\alpha(t)x=0?

Найдите общее решение уравнения xy^2y'=x^2+y^3

Вычислите значение при p=3 преобразование Лапласа от оригинала 120\sin{t}.

Найдите все значения вещественного параметра a, при которых особая точка системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&ax+ay \\ \dot{y} &=&a^2y\end{array}\right.
является седлом.

Найдите решение уравнения (x^2+x)y'=(2x+1)y, удовлетворяющее начальному условию y(1)=2. В ответе укажите его значение при x=5

Найдите все значения вещественного параметра a, при которых на допустимой экстремали достигается минимум
\int\limits_0^1\left[x+x^2+y^2+a(y')^2\right]dx, \quad y(0)=0, \quad y(1)=1.

Для уравнения
\ddot{x}+\sqrt[5]{5x+5\dot{x}}+\cos{\dot{x}}=0
найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Найдите решение уравнения y'=(2-y) \tg{t}, удовлетворяющее начальному условию y(0)=10. В ответе укажите его значение при t=\pi/3

Найдите производную по параметру \lambda при \lambda=0 от решения y=\varphi(x,\lambda) задачи Коши:
y'=y+\lambda(x^2+y^2), \quad y(0)=0
при x=1.

С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&2x+y \\ \dot{y} &=&x+2y\end{array}\right..
В ответе укажите значение x при t=\ln{2} для решения, удовлетворяющего начальным условиям x(0)=1, y(0)=0.

Найдите производную по начальному условию y_0 при y_0=0 от решения y=\varphi(x,y_0) задачи Коши:
y'=-y-y^2-x^2y^3, \quad y(0)=y_0
при x=1.

Найдите значение y(0) функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению (2x+1)y'=4x+2y и начальному условию y(1)=13+3\ln{3}

Решите операционным методом задачу Коши
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+y \\ \dot{y} &=&-2x-y\end{array}\right.,\quad x(0)=5, \quad y(0)=-5
при t \geqslant 0. В ответе укажите значение y\left(\arcsin{\frac35}\right).

Решите уравнение Эйлера x^2y''-4xy'+6y=2x^2+72/x при x>0. Найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям y(1)=y'(1)=0. В ответе укажите его значение y(2)

Найдите допустимые экстремали \hat{y}(x) изопериметрической задачи
\int\limits_0^{1}{\left[2yy'+\left(y'\right)^2\right]} dx, \quad\int\limits_0^{1}{\left[4xy'+yy'\right]} dx =8, \quad y(0)=y(1)=0.
В ответе введите значение \hat{y}(x)

Найти значение при t=2 определителя фундаментальной матрицы системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&(1+t)^{-1}x+(1+t^2)y \\ \dot{y} &=&-(1+t^2)x+(1+t)^{-1}y\end{array}\right.,
если его значение при t=0 равно 1.

Решите операционным методом задачу Коши y''+9y=6\cos{3t}+9\sin{3t}, y(0)=1, y'(0)=0 при t \geqslant 0. В ответе укажите значение y(\pi/3).

Найдите решение уравнения y'=y^2-y, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1. В ответе укажите его значение при x=10

Решите задачу Коши (x^3+x)y'-(3x^2-1)y=0, y(-1)=-8. В ответе укажите значение её решения при x=-2

Найдите решение уравнения
y'=-\frac{y}{x+2y},
проходящее через точку (1,5). При каком x оно пересекает прямую y=2?

Найдите общее решение уравнения (1-2xy)y'=y(y-1)

Решите задачу Коши:
y'''=2(y''-1)\ctg{x}, \quad y(1)=y'(1)=0, \quad y''(1)=1
В ответе укажите значение y(3)

Решите задачу Коши:
yy''-2{y'}^2=0, \quad y(0)=1, \quad y'(0)=1/10
В ответе укажите значение y(8)

Найдите решение уравнения xyy''+x(2 \ln{x} -1){y'}^2=yy', удовлетворяющее начальным условиям: y(1)=1, y'(1)=-2. В ответе укажите его значение y(e^{-1})

Найдите решение уравнения x^2y''+2x^2yy'+2xy^2-2y=0, удовлетворяющее начальным условиям: y(1)=-1, y'(1)=1. В ответе укажите его значение 5y(1/2)

Найдите решение краевой задачи:
x^2y''+2xy'-12y=0, \quad y(1)=12, \quad y=O(1) \textrm{ при } x \to +\infty
В ответе введите его значение при x=\sqrt{2}

Найдите наименьшее вещественное значение a, при котором краевая задача
y''+ ay =1, \quad y(0)=0, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0
имеет бесконечно много решений.

С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+y \\ \dot{y} &=&-x-y\end{array}\right..
В ответе укажите значение y при t=4 для решения, удовлетворяющего начальным условиям x(0)=0, y(0)=1.

Найдите \det{e^{tA}}, если t=\ln{2} и
A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right).

Восстановите оригинал f по изображению
\widetilde{f}(p)=\frac{60}{p+2}.
В ответе укажите его значение f(\ln2).

Восстановите оригинал f по изображению
\widetilde{f}(p)=\frac{24}{p^4}.
В ответе укажите его значение f(2).

Решите простейшую вариационную задачу для функционала
\int\limits_1^9\left[2y'-yy'+x(y')^2\right]dx, \quad y(1)=1, \quad y(9)=11.
В ответе введите значение \hat{y}(3).

Решите вариационную задачу со свободным концом
\int\limits_1^2\left[x^2(y')^2+12y^2\right]dx, \quad y(1)=97.
В ответе укажите значение \hat{y}(2).

Исследовать функционал на экстремум:
\int\limits_0^1\left[12(y'')^2-xy\right]dx, \quad y(0)=y'(0)=0, \quad y(2)=\frac{52}{5}, \quad y'(2)=24.
В ответе введите значение производной \hat{y}'(1).

Найдите производную по параметру \lambda при \lambda=0 от решения y=\varphi(x,\lambda) задачи Коши:
y'=y-y^2+\lambda(x+y^3), \quad y(0)=0
при x=1.

Найдите все значения вещественного параметра a, при которых особая точка системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&2ax+y \\ \dot{y} &=&ay-2ax\end{array}\right.
устойчива.

Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x^2y \\ \dot{y} &=&xy^2\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=6/25 и y(0)=1/25. В ответе укажите значение x(2).

Найдите функцию u, удовлетворяющую дифференциальному уравнению
2 \sqrt{x} \frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial u}{\partial y}=0
и начальному условию
u=y^2 \quad \textrm{при} \quad x=1.
В ответе укажите значение \ln{u} при x=100 и y=\sqrt{e}.

Найдите функцию u, удовлетворяющую дифференциальному уравнению
x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+ (x-3y)z^2\frac{\partial u}{\partial z}=0
и начальному условию
u=\frac{x^2}{y} \quad \textrm{при} \quad 3yz=1.
В ответе укажите значение u(1,1,1).

Вычислите значение при t=\ln{2} определителя Вронского двух вектор-функций
\left(\begin{array}{c} e^t\cos{t} \\ e^t\sin{t}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} e^t\sin{t} \\ e^t\cos{t}\end{array}\right).
Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?

Система
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\displaystyle{\frac{1}{1+t^2}\left(tx+y\right)} \\ \dot{y} &=&\displaystyle{\frac{1}{1+t^2}\left(-x+ty\right)}\end{array}\right.,
имеет решение
\left\{\begin{array}{ccl} x &=&t \\ y &=&1\end{array}\right..
Найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям x(0)=y(0)=1. В ответе укажите значение y(10).

Решите неоднородную систему
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&3x-2y \\ \dot{y} &=&2x-y+15e^t\sqrt{t}\end{array}\right.
методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям x(0)=y(0)=0. В ответе укажите значение x(1)/e.

Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций x+1, x+2 и x+3. Являются эти функции линейно зависимыми?

Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций x, x^3 и |x|^3. Являются эти функции линейно зависимыми?

Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение вида
y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0
наименьшего порядка n, которое имеет следующие частные решения:
\sh x, \quad \ch x, \quad e^x.
В ответе укажите a_1(x).

Известны три частных решения линейного неоднородного уравнения второго порядка: y_1=x+1, y_2=x-1 и y_3=1-x^2. Найдите решение с начальным условием y(0)=0, y'(0)=-1.

С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши:
2xy''+(4x+1)y'+(2x+1)y=e^{-x}, \quad y(1)=y'(1)=0.
В ответе укажите значение y(4).

Решите неоднородное уравнение
y''-4y=(15-16x^2)\sqrt{x}
методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=y'(0)=0. В ответе укажите значение y(4).

Какое наибольшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения
\ddot{x}-2\dot{x}+\frac{10t^2+1}{t^2+10}x=0
на отрезке длины 100?

При каком наименьшем n уравнение вида y^{(n)}=f(x,y), где f - непрерывно дифференцируемая функция на плоскости, может иметь среди своих решений функции x^2 и x^3?

Определить тип особой точки линейной невырожденной системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+3y \\ \dot{y} &=&5y-x\end{array}\right..

Решите задачу Коши:
2(y^2+y)y''-(y^2+y+1){y'}^2+y^3=0, \quad y(2)=1, \quad y'(2)=-1
В ответе укажите значение y(0)

Решите неоднородное уравнение
\displaystyle{y''+3y'=\frac{3x-1}{x^2}}
методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям y(-1)=-2, y'(-1)=-1. В ответе укажите значение y(-e^{10}).

Решите простейшую вариационную задачу для функционала
\int\limits_1^4\left[\frac{2yy'}{x}-\frac{3y^2}{x^2}-(y')^2-\frac{y}{x}\right]dx, \quad y(1)=y(4)=4.

Найдите решение уравнения y' \cos x+ (y+y^2) \sin x=0, удовлетворяющее начальному условию y(0)=-1. В ответе укажите его значение при x=\pi/2

Найдите абсциссу точки пересечения прямой y=0 и решения уравнения xydx+(x+1)dy=0, проходящего через точку (-1,-1)

Решите задачу Коши (e^x+1)^2y'+(e^{2x}-1)y=0, y(0)=1/4. В ответе укажите его предел при x \to -\infty

Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными вещественными коэффициентами
y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}y'+a_ny=0
наименьшего порядка n, которое имеет частное решение xe^x. В ответе укажите сумму n+a_1

Найдите решение системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&10x-6y \\ \dot{y} &=&18x-11y\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=y(0)=1. В ответе укажите значение x(1)

Найдите решение системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&2x-y-z \\ \dot{y} &=&2x-y-2z \\ \dot{z} &=&2z-x+y \\\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=y(0)=z(0)=1. В ответе укажите значение x(1).

С помощью матричной экспоненты решите линейную однородную систему
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x-2y \\ \dot{y} &=&x-y\end{array}\right..
В ответе укажите значение x при t=\pi/2 для решения, удовлетворяющего начальным условиям x(0)=0, y(0)=1.

При каком наименьшем n уравнение вида y^{(n)}=f(x,y), где f - непрерывно дифференцируемая функция на плоскости, может иметь среди своих решений функции x и x+x^2?

Методом введения параметра найдите решение уравнения
2xy^2y'^2-y^3y'+1=0
с начальными условиями y(-1)=1, y'(-1)>0. При каком x оно пересекает прямую y=3?

Найдите фундаментальную матрицу \Phi(t) системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&3x-y \\ \dot{y} &=&9x-3y\end{array}\right.,
если \Phi(0)=E (E - единичная матрица). В ответе укажите сумму всех элементов матрицы \Phi(1).

Вычислите определитель Вронского системы, состоящей из функций \cos x и \sin x. Являются эти функции линейно зависимыми?

С помощью формулы Лиувилля-Остроградского решите задачу Коши:
xy''+(2-2x)y'+(x-2)y=2e^{2x}, \quad y(1)=e^2, \quad y'(1)=e^2+e
В ответе укажите значение y(2).

Какое наименьшее число нулей может иметь нетривиальное решение уравнения \ddot{x}-4\dot{x}+x(\th{t}+9)=0 на отрезке длины 100?

Решите операционным методом задачу Коши
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x-2y+t \\ \dot{y} &=&x-y+2\end{array}\right., \quad x(0)= y(0)=0
при t \geqslant 0. В ответе укажите значение x(1).

Решите задачу Коши y^{IV}+8y''+16y=0, y(0)=1, y'(0)=0, y''(0)=0, y'''(0)=0. В ответе укажите значение y(1)

Найдите изображение \widetilde{f}(p) оригинала f(t)=(t^3-t^2)e^t. В ответе укажите его значение при p=3/2.

Решите задачу Коши y''+5y'+6y=0, y(0)=y'(0)=1. В ответе укажите значение y(1)

Найдите общее решение уравнения 2x(x^2+y)dx=dy

Решите задачу Коши y''+4y=16xe^{-2x}-4\sin{2x}, y(0)=2, y'(0)=3. В ответе укажите значение y(1)

Решите уравнение Эйлера x^2y''+3xy'+y=4/x при x>0. Найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям y(1)=2, y'(1)=0. В ответе укажите его значение y(2)

Найдите решение системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+2y+3z \\ \dot{y} &=&2x+4y+6z \\ \dot{z} &=&3x+6y+9z \\\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=y(0)=z(0)=7. В ответе укажите значение x(1).

Найдите решение системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-2x-y+37\sin{t} \\ \dot{y} &=&-4x-5y\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=y(0)=0. В ответе укажите значение x(1).

Исследовать функционал на экстремум:
\int\limits_0^1\left[(y_1')^2+(y_2')^2\right]dx, \quad y_1(0)=y_2(0)=0, \quad y_1(1)=y_2(1)=1.
В ответе введите значение 12\hat{y}_1(2/3).

Определить тип особой точки линейной невырожденной системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&x+y \\ \dot{y} &=&3y-x\end{array}\right..

Вычислите значение при t=\ln3 определителя Вронского трёх вектор-функций
\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} \sh{t} \\ \ch{t} \\ \sh{t}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c} \ch{t} \\ \sh{t} \\ \ch{t}\end{array}\right).
Являются ли эти вектор-функции линейно зависимыми?

Составьте линейное однородное дифференциальное уравнение вида
y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\ldots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0
наименьшего порядка n, которое имеет следующие частные решения:
3x, \quad x-2, \quad e^x+1.
В ответе укажите a_1(x).

Вещественная функция \alpha определена, непрерывна и положительна на всей числовой прямой. Какое наименьшее число нулей может иметь на всей числовой прямой нетривиальное решение уравнения \ddot{x}+\alpha(t)x=0?

Вещественная функция \alpha определена, непрерывна и положительна на всей числовой прямой. Какое наименьшее число нулей может иметь на всей числовой прямой нетривиальное решение уравнения \ddot{x}-\alpha(t)x=0?

У системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&e^{2x+2y}+x \\ \dot{y} &=&\arccos{(x-x^3)}-\pi/2\end{array}\right.
найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Найдите траекторию, проходящую через точку (0,0) и ортогональную семейству кривых y=C \sin{x}+2. Укажите значение y>0, при котором она пересекает прямую x=0

Найдите решение уравнения e^{-y} dx - (2y+x e^{-y}) dy =0, проходящее через точку (1,0). При каком x оно пересекает прямую y=1?

Найдите изображение \widetilde{f}(p) оригинала f(t)=120e^{-2t}. В ответе укажите его значение при p=3.

Решите операционным методом задачу Коши y''-2y'+y=2e^t, y(0)=y'(0)=1 при t \geqslant 0. В ответе укажите значение y(2)/e^2.

Отыскав первый интеграл, найдите решение системы дифференциальных уравнений
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&\displaystyle{\frac{x}{(x+y)^2}} \\ \dot{y} &=&\displaystyle{\frac{y}{(x+y)^2}}\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=4/3 и y(0)=2/3. В ответе укажите значение x(5/2).

Найдите решение уравнения 2xydx+(x^2-y^2)dy=0, проходящее через точку (-3,-6). При каком y оно пересекает прямую x=5?

Решите задачу Коши:
y''+(2+4y^2){y'}^3-2y{y'}^2=0, \quad y(0)=1, \quad y'(0)=\frac12
В ответе укажите значение y(8)

Найдите решение системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&-2x+y \\ \dot{y} &=&-4x+2y\end{array}\right.,
удовлетворяющее начальным условиям x(0)=y(0)=-1. В ответе укажите значение x(10).

У системы
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&5x-8y+3 \\ \dot{y} &=&\ln{\frac{x}{y}}\end{array}\right.
найдите положение равновесия и по первому приближению определите его тип (характер).

Найдите решение уравнения 4xyy''-4yy'+{y'}^2=0, удовлетворяющее начальным условиям: y(1)=9, y'(1)=6. В ответе укажите его значение y(2)

Решите неоднородную систему
\left\{\begin{array}{ccl} \dot{x} &=&4x-2y \\ \dot{y} &=&8x-4y+5\sqrt{t}\end{array}\right.
методом вариации постоянных и найдите решение, удовлетворяющее начальным условиям x(0)=y(0)=0. В ответе укажите значение x(1).

Найдите решение краевой задачи:
y''-y'=2e^{2x}, \quad y'(0)=2, \quad y(1)=e^2
В ответе введите его значение при x=\ln{2}

Методом введения параметра найдите решение уравнения 5y+{y'}^2=x(x+y') с начальными условиями y(7)=1, y'(7)<0. При каком y оно пересекает прямую x=10?

Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. Половина воды из полного бака вытекает за 5 минут. За сколько минут из полного бака вытечет вся вода? (Квадрат скорости вытекания воды из бака пропорционален высоте уровня оставшейся воды над отверстием.)