Дискретный анализ и теория вероятностей - ответы

Количество вопросов - 395

Выберите абсолютно непрерывные распределения из перечисленных.

Чему равна характеристическая функция для случайной величины, равной константе \eta=a?

Пусть h\geqslant 2;\ P_h=\{r_1\cap...\cap r_h,r_i \in {\cal R}\}.Пусть h\geqslant 2;\ d\geqslant 2. Что тогда верно относительно VC({\cal X}, {\cal R}_h)?

На каком интервале значений k последовательность биномиальных коэффициентов C_n^0,C_n^1,...,C_n^k,...,C_n^n убывает?

Выберите функцию равную C_{2n}^n.

Выберите какими свойствами cоотношение на элементы бесконечной последовательности \{y_n\}^\infty_{n=0}удовлетворяющее условию a_k y_{n+k}+a_{k-1} y_{n+k-1}+...+a_1 y_{n+1}+a_0 y_{n}=0, где постоянные величины a_0,...,a_k \in C.

Имеется множество натуральных чисел от 1 до n. И определены следуюшие подмножества A_1=\{1,2,...,k\}, A_2=\{2,3,...,k+1\},...,A_{n-k-1}=\{n-k-1,...,n\},..., A_{n}=\{n,1,...,k-1\}. Обозначим {\cal A }=\{ A_1,...,A_n \}. Рассмотрим {\cal F }=\{ F_1,...,F_s \} - совокупность независимых множеств вершин Кнезеровского графа KG(n,k). Что верно относительно мощности {\cal F}\cap{\cal A}?

Рассмотрим случайный граф на n фиксированных вершинах, где с вероятностью равной p проводим ребро, соответственно, с вероятностью 1-p не проводим. Пусть \xi(G) - число изолированных ребер в графе G Чему равен второй факториальный момент M_f^2\xi?

Чему равно значение выражения C_n^0-C_n^1+...+(-1)^n \cdot C_n^n при n>0?

Для событий A_1,...,A_n составлено равенство \left(\bigcap\limits_{i=1}^n \overline{A_i}\right )=P(\overline{A_1)}\cdot P(\overline{A_2}|\overline{A_1})\cdot P(\overline{A_3}|\overline{A_1}\cap \overline{A_2})... Каким должен быть последний сомножитель, чтобы это выражение было правильным?

Орграф зависимостей для A_1,...,A_n - это произвольный орграф (V,E) удовлетворяющий условиям... Выберите все условия.

Выберите наименьшее выражение из перечисленных.

Что означает запись \xi\sim Exp(\lambda)?

Пусть имеется простой граф G=(V;E),у которого V – множество вершин и E – множество ребер. Подмножество W называется … если для любых x,y принадлежащих W пара \lbrace x,y \rbrace принадлежит E.

С использованием T_n - чисел Каталана составлена производящая функция f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}T_n x^n.Что верно относительно функции f(x)?

ПустьA=A_1\cup...\cup A_n. Введем на подмножествах множества индексов N=\{1,...,n\} функцию f(I), где I \subseteq N. Пусть f\left( \{i_1,...i_s\}\right)обозначает число элементов множества A, которые могут не принадлежать каким-то из подмножеств A_{i_1},...,A_{i_s}, но обязаны принадлежать каждому из остальных подмножеств. Чему равноf(I) при I \ne N?

Найдите формальный степенной ряд F(x), удовлетворяющий равенству (2-x)\cdot F(x)=1.

При каком n выполняется неравенство C_n^s 2^{1-C_s^2}<1?

Рассмотрим все возможные способы покрасить полный граф K_n в два цвета - красный и синий. Пусть событие A_i состоит в том, что в случайной раскраске i-ая по счету клика K_s в графе K_n целиком красная. Событие B_i состоит в том, что в случайной раскраске i-ая по счету клика K_t в графе K_n целиком синяя.Что является описанием дополнения к событию \bigcup \limits_{i=1}^{C_n^s} A_i \bigcup\bigcup \limits _{i=1}^{C_n^t} B_i?

Как называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества?

Имеются два множества непересекающихся объектов: множество A=\left \{a_1,a_2,...,a_n\right\} и множество B=\left \{b_1,b_2,...,a_m\right\}.Количество способов выбрать один объект из множества A и один объект из множества B определяется ..

Какая формула определяет количество сочетаний из n элементов по k с повторениями?

Выберите все выражения равные C_n^k.

Пусть V – последовательность из 0 и 1 длины n.Из данного множества выбрали множество V_k, которое содержит последовательности с ровно k единицами. Найдите мощность V_k.

Чему равно значение выражения C_{n+2}^2+C_{n+1}^2+...+C_2^2?

Имеется множество объектов A=\left \{a_1,a_2,...,a_n,...,a_{2n}\right\}, из которого выбираются сочетания по n элементов. Из множества всех возможных сочетаний выбрали подмножество V_k, в котором ровно k элементов принадлежат A=\left \{a_1,a_2,...,a_n\right\}.Найдите мощность V_k.

Чему равно значение знакопеременного выражения C_n^0 \cdot n^m-C_n^1 \cdot (n-1)^m+C_n^2 \cdot (n-2)^m-...+(-1)^n \cdot C_n^n \cdot (n-n)^m, если m<n?

Согласно формуле обращения Мебиуса для арифметических функций f и g верно g(n)=$\sum\limits_{d|n} {f(d)}$ тогда и только тогда, когда...

Какое отношение позволяет задать на множестве \{x,y,z\} частично упорядоченное множество?

Согласно обобщенной формуле обращения Мебиуса f(y)=$\sum\limits_{x\preceq y} {g(x)}$ тогда, когда...

На каком интервале значений k последовательность биномиальных коэффициентов C_n^0,C_n^1,...,C_n^k,...,C_n^n возрастает?

Чему равна асимптотическая оценка C_{2n}^n согласно формуле Стирлинга?

Выберите наименьшее выражение из перечисленных.

Какая запись равносильна записи f(n)=\left (c+o(1)\right )^n, где постоянная c>1?

Чему равна энтропия H(a) для C_n^{\left[ an \right]}, где a \in (0,1)?

Функция f(n) эквивалента функции g(n) асимптотически означает, что ...

Что допускается в псевдографе?

Как у дерева соотносятся число вершин и число ребер?

Чему равно t_n - количество различных (как графы с занумерованными вершинами) деревьев на n вершинах?

Какой граф соответствует коду Прюфера 441666?

Какова точная оценка количества унициклических графов U_n?

В формуле оценки количества различных (как графы с занумерованными вершинами) унициклических графов с n вершинами и циклом, построенным на r вершинах U_n=\sum\limits_{r=3}^{n}C_n^k\cdot\frac{(r-1)!} {2} \cdot F(n,r) выражение \frac{(r-1)!} {2} показывает...

В формуле оценки количества различных (как графы с занумерованными вершинами) унициклических графов с n вершинами и циклом, построенным на r вершинах U_n=\sum\limits_{r=3}^{n}C_n^k\cdot\frac{(r-1)!} {2} \cdot F(n,r) выражение F(n,r) показывает...

При построении асимптотической оценки количества различных (как графы с занумерованными вершинами) унициклических графов с n вершинами и циклом, построенным на r вершинах, величина \sum\limits_{r=3}^{n}\prod\limits_{j=1}^{r-1} \left (1-\frac{j} {n} \right)заменяется на сумму двух слагаемых S_1+S_2=\sum\limits_{r=3}^{\left[n^{0,6}\right]}\prod\limits_{j=1}^{r-1} \left (1-\frac{j} {n} \right)+\sum\limits^{n}_{r= \left [n^{0,6} \right]+1}}\prod\limits_{j=1}^{r-1} \left (1-\frac{j} {n} \right).Выберите операции и свойства, которые использовались для нахождения асимптотической оценки S_2

При построении асимптотической оценки количества различных (как графы с занумерованными вершинами) унициклических графов с n вершинами и циклом, построенным на r вершинах, величина \sum\limits_{r=3}^{n}\prod\limits_{j=1}^{r-1} \left (1-\frac{j} {n} \right)заменяется на сумму двух слагаемых S_1+S_2=\sum\limits_{r=3}^{\left[n^{0,6}\right]}\prod\limits_{j=1}^{r-1} \left (1-\frac{j} {n} \right)+\sum\limits^{n}_{r= \left [n^{0,6} \right]+1}}\prod\limits_{j=1}^{r-1} \left (1-\frac{j} {n} \right)Чему равна асимптотическая оценка S_1?

Какой знак можно поставить между числом упорядоченных разбиений числа n на k слагаемых и числом упорядоченных разбиений числа n?

Выберите базу рекуррентной формулы количества разбиений числа n на слагаемые, не превышающие k.

Выберите все начальные условия соответствующие рекуррентной формуле количества разбиений числа n на k слагаемых.

Пусть F(x)=1+x+x^2+x^3+... и G(x)=1+x+x^2+x^3+.... Чему равно F(x)+G(x)?

Найдите формальный степенной ряд F(x), удовлетворяющий равенству (1-x)\cdot F(x)=1.

Найдите формальный степенной ряд F(x), удовлетворяющий равенству (1-x^2)^2 \cdot F(x)=1.

Говорят, что степенной ряд \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k x^k сходится в точке x_0, если радиус ряда \rho=\frac{1}{\varlimsup\limits_{k\to\infty}{\sqrt[k]{|a_k|}}}>|x_0|Это утверждение является...

Найдите радиус сходимости ряда \sum\limits_{k=0}^{\infty}\left( \frac 1 2 \right) ^k x^k, и выберите какие из перечисленных утверждений являются верными?

Чему равно значение выражения g(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}C_n^k \cdot x^k \cdot k^2?

С использованием F_n - чисел Фибоначчи составлена производящая функция g(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}F_n x^n.Что верно относительно функции g(x)?

С использованием T_n - чисел Каталана составлена производящая функция f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}T_n x^n.Что верно относительно функции f(x)?

Используя операции с формальными степенными рядами, определите чему равен коэффициент при x^k при разложении (1-4 \cdot x)^{\frac 1 2} в формальный степенной ряд.

Сколько решений имеет cоотношение на элементы бесконечной последовательности \{y_n\}^\infty_{n=0}удовлетворяющее условию a_k y_{n+k}+a_{k-1} y_{n+k-1}+...+a_1 y_{n+1}+a_0 y_{n}=0, где постоянные величины a_0,...,a_k \in C?

Как выглядит характеристическое уравнение для cоотношения на элементы бесконечной последовательности \{y_n\}^\infty_{n=0}удовлетворяющее условию a_k y_{n+k}+a_{k-1} y_{n+k-1}+...+a_1 y_{n+1}+a_0 y_{n}=0, где постоянные величины a_0,...,a_k \in C, если k=2?

Чего НЕ содержит простой граф?

Пусть имеется простой граф G=(V;E),у которого V – множество вершин и E – множество ребер.Кликовое число графа -

Пусть имеется простой граф G=(V;E),у которого V – множество вершин и E – множество ребер.\chi хроматическое число и \omega - кликовое число. Какое утверждение является верным?

Что является Кнезеровским графом KG_{n,n/2}(V,E)

Чему равняется хроматическое число KG_{n,1}(V,E)?

Чему равно число независимости Кнезеровского графа KG_{n,k}(V,E), если k>\frac n 2?

Имеется множество натуральных чисел от 1 до n. И определены следуюшие подмножества A_1=\{1,2,...,k\}, A_2=\{2,3,...,k+1\},...,A_{n-k-1}=\{n-k-1,...,n\},..., A_{n}=\{n,1,...,k-1\}. Обозначим {\cal A }=\{ A_1,...,A_n \}. Рассмотрим {\cal F }=\{ F_1,...,F_s \} - совокупность независимых множеств вершин Кнезеровского графа KG(n,k). Допустим, A_1 \in {\cal F}. Выберите все множества, которые в таком случае также попадают в {\cal F} кроме A_1?

Рассмотрим Кнезеровский граф KG_{n,k}(V,E). Покрасим в цвет 1 все вершины, которые содержат 1; в цвет 2 все вершины, которые содержат 2, ..., в цвет n-2k+1 все вершины, которые содержат n-2k+1. Элементы какого из перечисленным множества остатись не покрашенными?

Выберите все утверждения верные согласно классическому определению вероятности относительно конечного множества элементарных исходов.

Определите все элементарные исходы,котороые при бросании монеты образуют событие, что выпало простое число очков.

Сколько существует способов, покрасить полный граф K_n в два цвета - красный и синий?

Рассмотрим все возможные способы покрасить полный граф K_n в два цвета - красный и синий. Пусть событие A_i состоит в том, что в случайной раскраске i-ая по счету клика K_s в графе K_n целиком красная. Чему равна вероятность события A_i?

Рассмотрим все возможные способы покрасить полный граф K_n в два цвета - красный и синий. Пусть событие B_i состоит в том, что в случайной раскраске i-ая по счету клика K_t в графе K_n целиком синяя. Чему равно \sum\limits_{i=1}^{C_n^t}P(B_i)?

Если s \sim 2\log_2 n, то выражение C_n^s 2^{1-C_s^2}-1 будет ...

Что верно относительно {\cal R}(s,s)?

Определим случайную раскраску так: с вероятностью p красим очередное ребро в красный цвет, с вероятностью (1-p) красим очередное ребро в синий цвет.Пусть событие B_i состоит в том, что в случайной раскраске i-ая по счету клика K_s в графе K_n целиком синяя.Cобытие A_i состоит в том, что в случайной раскраске i-ая по счету клика K_s в графе K_n целиком красная.Чему равняется вероятность события \bigcup \limits_{i=1}^{C_n^s} A_i \bigcup\bigcup \limits _{i=1}^{C_n^t} B_i?

Чему равна вероятность события A при условии наступления события B?

Что согласно локальной леммы Ловаса является верным для событий, определенныx следующим образом? Пусть A_1,...,A_n события, для каждого из которых выполнено P(A_i)\leqslant p и любое событие A_i независит от остальных событий кроме не более чем dштук, причем и e(d+1)p \leqslant 1.Тогда ...

Пусть событие A_i состоит в том, что в случайной раскраске i-ая по счету клика K_s в графе K_n целиком красная. При каком условии событие A_i независит от совокупности всех A_j?

Рассмотрим 30 шестиэлементных множеств \{M_1,...,M_{30}\}, зафиксированных в 50 элементном множестве. Рассмотрим случайную раскраску в два цвета на 50 элементном множестве. Пусть событие A_i означает, что M_i множество одноцветно. Чему равна P(A_i)?

Рассмотрим случайную раскраску полного графа K_n на nвершинах в красный и синий цвета. Пусть p-вероятность покрасить ребро в красный цвет и 1-p - вероятность покрасить ребро в синий цвет. Определим события A_1,...,A_{C_n^3};B_1,...,B_{C_n^t}, где A_i-состоит в том, что i-ый треугольник целиком красный и B_i-состоит в том, что i-ая клика размера t целиком синяя. Чему равна P(A_i)?

Рассмотрим случайную раскраску полного графа K_n на nвершинах в красный и синий цвета. Пусть p-вероятность покрасить ребро в красный цвет и 1-p - вероятность покрасить ребро в синий цвет. Определим события A_1,...,A_{C_n^3};B_1,...,B_{C_n^t}, где A_i-состоит в том, что i-ый треугольник целиком красный и B_i-состоит в том, что i-ая клика размера t целиком синяя. Если для некоторого события A_i построен орграф зависимостей, то какое выражение позволит сверху оценить количество ребер, которые выйдут из вершины A_i орграфа зависимостей в вершины A_j?

Для событий A_1,...,A_n составлено равенство P\left(\bigcap\limits_{i=1}^n A_i\right )=P(A_1)\cdot P(A_2|A_1)\cdot P(A_3|A_1\cap A_2).... Каким должен быть последний сомножитель, чтобы это выражение было правильным?

Чему равна P(\mu_n=k) вероятность ровно k успехов в n испытаниях по схеме Бернулли, если вероятность успеха в одном испытании p зависит от количества испытаний n, зависимость p\sim\frac \lambda n, где постоянная \lambda >0?

Для событий A_1,...,A_n для любого i и любого J \in\{1,...,n\} при выполнении некоторого ограничения на множество J выполняется равенство P(A_i | \bigcap\limits_{j\in J}\overline {A_j})\leqslant x_i. Какое условие накладывается на множество J?

Выберите дискретные распределения из перечисленных.

Что означает запись \xi\sim Binom (n,p)?

Что означает запись \xi\sim R[a,b]?

Рассмотрим случайный граф на n фиксированных вершинах, где с вероятностью равной p проводим ребро, соответственно, с вероятностью 1-p не проводим. Чему равно максимальное число треугольников, которые можно построить на графе на n вершинах?

Пусть дана последовательность случайных величин \xi_n :\Omega \to \{0,1,...\}. Пусть {M_f^r \xi_n}_{n\to\infty}\sim\lambda^k, \lambda>0. Чему равно P(\xi_n=k) при n\to\infty?

Рассмотрим случайный граф на n фиксированных вершинах, где с вероятностью равной p проводим ребро, соответственно, с вероятностью 1-p не проводим. Пусть \xi(G) - число изолированных ребер в графе G Чему равно математическое ожидание M(\xi)?

Пусть случайная величина \xi\to R, математическое ожидание квадрата данной случайной величины конечно M\xi^2<\infty и имеется a>0. Какое утверждение, согласно неравенству Чебышева, является верным?

Требуется оценить вероятность P\left(e^{\lambda(\xi_1+...+\xi_n)}>e^{\lambda a}\right). Что получиться в результате применения неравенства Маркова?

Какой тип сходимости фигурирует в законе больших чисел в классической формулировке?

Если для последовательности случайных величин \xi_1,...,\xi_n при n\to \infty выполняется условие F_{\xi_n}(x)\to F_{\xi}(x) в любой x- точки непрерывности F_{\xi}(x), то говорят, что \xi_n сходится к \xi...

Какое условие выполняется для последовательности случайных величин \xi_1,...,\xi_n при n\to \infty сходящихся по распределению к \xi?

Пусть \xi_1,...,\xi_n - последовательность независимых в совокупности случайных величин, для которых дисперсия конечна D(\xi_i)<\infty и сходится ряд \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{D\xi_n}{n^2}\infty. С каким типом сходимости \frac {\xi_1+...+\xi_n-M(\xi_1+...+\xi_n)}{n} сходится к 0 при n\to \infty?

Пусть \eta\sim N(0;1). Чему равно M\eta^{2k}?

Имеется бесконечная последовательность одинаковораспределенных и независимых случайных величин \xi_1,...,\xi_n. Обозначим a:=M\xi_1;\ \sigma^2=D\xi_1>0. Чему равна характеристическая функция для \xi_1-a?

Имеется бесконечная последовательность одинаково распределенных и независимых случайных величин \xi_1,...,\xi_n,..., у которых математическое ожидание конечноM|\xi_1|<\infty. C каким самым сильным типом сходимости при n\to\infty последоваетельность случайных величин \frac{\xi_1+...+\xi_n} n сходится к M(\xi_1)?

Пусть x_1,...,x_n - выборка. Предполжим, что выборка является реализацией некоторых одинаково распределенных, независимых случайных величин \xi_1,...,\xi_n. Пусть \hat{F}_n(x,\xi_1,...,\xi_n)=\frac 1 n \sum\limits_{i=1}^n I_{\{x_i\in x\}} - эмпирическая функция распределения. Какое утверждение относительно ее является верным?

Рассмотрим пару ({\cal X}, {\cal R}), где {\cal X} - любое множество, {\cal R} - совокупность подмножеств в {\cal X}. Пусть {\cal X} конечное множество, а любое r\in {\cal R} имеет мощность равную 2, что в таком случае представляет собой пара ({\cal X}, {\cal R})?

Имеется ранжированное пространство ({\cal X}, {\cal R}), есть некоторое конечное подмножество A из {\cal X} A\subset{\cal X}. и есть число \epsilon \in (0;1). Назовем N\subset{\cal X} \epsilon-сетью для A, если N\cap (r\cap A)\ne \varnothing для любого r \in R...

Пусть VC({\cal X}, {\cal R})=d, тогда для любого A\subset {\cal X}, причем |A|=n и для любого \epsilon \in (0;1) существует N, которое является \epsilon-сетью. Что верно относительно мощности N?

Пусть VC({\cal X}, {\cal R})=d,\ A\subset{\cal X}, |A|=n.Чем ограничена |Pr_A {\cal R}|

Пусть A\subset {\cal X},\ |A|=n,\ \epsilon\in (0;1). Из множества A выбираем случайные подмножества N и Tиз m, где m=\left[\frac{8d}{\epsilon} log_2 \frac{8d}{\epsilon} \right] по схеме выбора с возращением N=\{x_1,...,x_m\}. Пусть определены события E_1=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\} и E_2=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\,\ |r\cap T|\geqslant \frac{\epsilon m}{2}}. Что является верным относительно P(E_1) и P(E_2)?

Пусть A\subset {\cal X},\ |A|=n,\ \epsilon\in (0;1). Из множества A выбираем случайные подмножества N и Tиз m, где m=\left[\frac{8d}{\epsilon} log_2 \frac{8d}{\epsilon} \right] по схеме выбора с возращением N=\{x_1,...,x_m\}. Пусть определены события E_1=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\} и E_2=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\,\ |r\cap T|\geqslant \frac{\epsilon m}{2}}. Что является верным относительно P(E_1) и P(E_2)?

Пусть A\subset {\cal X},\ |A|=n,\ \epsilon\in (0;1). Из множества A выбираем случайные подмножества N и Tиз m, где m=\left[\frac{8d}{\epsilon} log_2 \frac{8d}{\epsilon} \right] по схеме выбора с возращением N=\{x_1,...,x_m\}. Пусть определены события E_1=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\} и E_2=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\,\ |r\cap T|\geqslant \frac{\epsilon m}{2}}. Какое утверждения является верным относительно вероятности P(E_2|E_1)?

Пусть A\subset {\cal X},\ |A|=n,\ \epsilon\in (0;1). Из множества A выбираем случайные подмножества N и Tиз m, по схеме выбора с возращением N=\{x_1,...,x_m\}. Пусть определены события E_1=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\} и E_2=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\,\ |r\cap T|\geqslant \frac{\epsilon m}{2}}. Какое m требуется взять, чтобы P(E_1)<1?

С использованием T_n - чисел Каталана составлена производящая функция f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}T_n x^n.Что верно относительно функции f(x)?

Какой знак правильно поставить между {\cal R}(s,s) и (1+o(1))\cdot \frac 1 {e\sqrt{2}}\cdot s \cdot 2^{\frac{s}{2}?

Чему равно число независимости Кнезеровского графа KG_{n,k}(V,E), если k\leqslant\frac n 2?

Чему равняется кликовое число KG_{n,1}(V,E)?

Что означает запись \xi\sim Poisson(2)?

Имеется множество натуральных чисел от 1 до n. И определены следуюшие подмножества A_1=\{1,2,...,k\}, A_2=\{2,3,...,k+1\},...,A_{n-k-1}=\{n-k-1,...,n\},..., A_{n}=\{n,1,...,k-1\}. Обозначим {\cal A }=\{ A_1,...,A_n \}.Среди множеств A_2,...,A_k и A_{n-k+2},...,A_{n} выберите множество, с котором не пересекается A_2.

Для событий A_1,...,A_n для любого i и любого J \in\{1,...,n\}, и если i\notin J выполняется равенство P(A_i | \bigcap\limits_{j\in J} A_j)\leqslant x_i.Чему равна P(A_i | \bigcap\limits_{j\in J} A_j) если J=\varnothing?

Чему равна вероятность пересечения события A и события B?

В формуле оценки количества различных (как графы с занумерованными вершинами) унициклических графов с n вершинами и циклом, построенным на r вершинах U_n=\sum\limits_{r=3}^{n}C_n^k\cdot\frac{(r-1)!} {2} \cdot r \cdot n^{n-1-r} выражение r \cdot n^{n-1-r} показывает...

Рассмотрим все возможные способы покрасить полный граф K_n в два цвета - красный и синий. Пусть событие A_i состоит в том, что в случайной раскраске i-ая по счету клика K_s в графе K_n целиком красная. Событие B_i состоит в том, что в случайной раскраске i-ая по счету клика K_t в графе K_n целиком синяя.Что является формальным описанием следующего события: существует клика размера s целиком красная или существует клика размера t целиком синяя?

Что допускается в унициклическом графе?

Что означает запись \xi\sim N(a,{\sigma}^2)?

Определим случайную раскраску так: с вероятностью p красим очередное ребро в красный цвет, с вероятностью (1-p) красим очередное ребро в синий цвет.Пусть событие B_i состоит в том, что в случайной раскраске i-ая по счету клика K_s в графе K_n целиком синяя. Чему равна P(B_i)?

Чему равна асимптотическая оценка n! согласно формуле Стирлинга?

Пусть A\subset {\cal X},\ |A|=n,\ \epsilon\in (0;1). Из множества A выбираем случайные подмножества N и Tиз m, где m=\left[\frac{8d}{\epsilon} log_2 \frac{8d}{\epsilon} \right] по схеме выбора с возращением N=\{x_1,...,x_m\}. Пусть определены события E_1=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\} и E_2=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\,\ |r\cap T|\geqslant \frac{\epsilon m}{2}}. Какое утверждения является верным относительно вероятности P(E_1)?

Пусть A\subset {\cal X},\ |A|=n,\ \epsilon\in (0;1). Из множества A выбираем случайные подмножества N и Tиз m, где m=\left[\frac{8d}{\epsilon} log_2 \frac{8d}{\epsilon} \right] по схеме выбора с возращением N=\{x_1,...,x_m\}. Пусть определены события E_1=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\} и E_2=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\,\ |r\cap T|\geqslant \frac{\epsilon m}{2}}. Какое утверждения является верным относительно вероятности P(E_2|E_1)?

Пусть \A_1,...,\A_n,... бесконечная последовательность независимых событий: P(A_i)=p. Положим \xi_i=I_{A_i}. Тогда с каким самым сильным из предложенных типом сходимости при n \to \infty случайная величина \frac 1 n \sum\limits_{i=1}^n I_{A_i}-P(A_1) сходится к 0?

Пусть \xi_1,...,\xi_n, каждая из которых принимает значение 1 с вероятностью p и значение 0 с вероятностью 1-p. Согласно усиленному закону больших чисел для схемы Бернулли c каким самым сильным типом сходимости случайная величина \frac{\xi_1+...+\xi_n} {n} сходится при n \to \infty к p?

Известно, что последовательность случайных величн сходится по распределению к некоторой константе, то с каким еще типом сходимости эта же случайная величина сходится к константе

Какой тип сходимости фигурирует в центральной предельной теореме?

Пусть \xi_1,...,\xi_n - последовательность независимых в совокупности и одинакового распределенных случайных величин, для которых математическое ожидание конечно M(\xi_1)<\infty. С каким типом сходимости \frac {\xi_1+...+\xi_n}{n} сходится к M(\xi_1) при n\to \infty?

Запишите окончание формулировки неравенства Маркова. Пусть \xi:\Omega \to R_+ и пусть a>0. Тогда...

Рассмотрим случайный граф на n фиксированных вершинах, где с вероятностью равной p проводим ребро, соответственно, с вероятностью 1-p не проводим. Какое максимальное число изолированных ребер имеет данный граф?

Пусть дана последовательность случайных величин \xi_n :\Omega \to \{0,1,...\}. Какое условие на M_f^r \xi - r-ые факториальные моменты должно выполняться, чтобы P(\xi_n=k)_{n\to\infty}\sim\frac {\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}?

Рассмотрим случайный граф на n фиксированных вершинах, где с вероятностью равной p проводим ребро, соответственно, с вероятностью 1-p не проводим. Пусть x - число треугольников в случайном графе. чему равно M(x)?

Рассмотрим случайную раскраску полного графа K_n на nвершинах в красный и синий цвета. Пусть p-вероятность покрасить ребро в красный цвет и 1-p - вероятность покрасить ребро в синий цвет. Определим события A_1,...,A_{C_n^3};B_1,...,B_{C_n^t}, где A_i состоит в том, что i-ый треугольник целиком красный и B_i состоит в том, что i-ая клика размера t целиком синяя. Если для некоторого события A_i построен орграф зависимостей, то какое выражение позволит сверху оценить количество ребер, которые выйдут из вершины A_i орграфа зависимостей в вершины B_i?

A_1,...,A_n- события. Пусть G(V,E) произвольный орграф зависимостей. И существуют x_1,...,x_n \in [0,1), что выполняется P\left(\bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}\right)\leqslant \prod\limits_{j=1}^n (1-x_j). Что верно относительно P(A_i)?

Пусть n \geqslant 9.Пусть M_1,... n-элементные подмножества какого-то множества, причем каждый элемент этого множества принадлежит не более чем n множествам M_i, тогда существует одноцветная раскраска данного n-элементного подмножества. Пусть событие A_i состоит в том, что M_i множество одноцветно. Чему равна вероятность A_i?

Рассмотрим 30 шестиэлементных множеств \{M_1,...,M_{30}\}, зафиксированных в 50 элементном множестве. Рассмотрим случайную раскраску в два цвета на 50 элементном множестве. Пусть событие A_i означает, что M_i множество одноцветно. Чему равна вероятность выбрать опреденную раскраску?

Что согласно локальной леммы Ловаса является верным для событий, определенныx следующим образом? Пусть A_1,...,A_n события, для каждого из которых выполнено P(A_1)\leqslant p и любое событие A_i независит от остальных событий кроме не более чем dштук, причем и e(d+1)p \leqslant 1.Тогда ...

Чему равна вероятность пересечения события A и события B, если эти события независимы?

При каком минимальном s выполняется неравенство C_n^s 2^{1-C_s^2}<1?

Рассмотрим все возможные способы покрасить полный граф K_n в два цвета - красный и синий. Пусть событие B_i состоит в том, что в случайной раскраске i-ая по счету клика K_t в графе K_n целиком синяя. Чему равна вероятность события B_i?

Рассмотрим все возможные способы покрасить полный граф K_n в два цвета - красный и синий. Событие B_i состоит в том, что в случайной раскраске i-ая по счету клика K_t в графе K_n целиком синяя.Чему равна вероятность события B_i?

Рассмотрим все возможные способы покрасить полный граф K_n в два цвета - красный и синий. Чему равна вероятность при случайном выборе выбрать одну определенную раскраску?

Числом Рамсея {\cal R}(s,t) называется минимальное число nтакое, что при любой раскраске полного графа K_n в два цвета - красный и синий, либо существует подграф K_s \subset K_n, у которого все ребра красные, либо существует подграф K_t \subset K_n, у которого все ребра синие. Чему равен порядок {\cal R}(3,t)?

Имеется множество натуральных чисел от 1 до n. И определены следуюшие подмножества A_1=\{1,2,...,k\}, A_2=\{2,3,...,k+1\},...,A_{n-k-1}=\{n-k-1,...,n\},..., A_{n}=\{n,1,...,k-1\}. Обозначим {\cal A }=\{ A_1,...,A_n \}.Среди множеств A_2,...,A_k и A_{n-k+2},...,A_{n} выберите множество, с котором не пересекается A_3.

Сколько вершин содержит Кнезеровский граф KG_{n,k}(V,E)?

Как называется граф KG_{n,k}(V,E) построенный следующим образом? Имеется R_n=\{1,....n \} - множество натуральных чисел от 1 до n. Множество вершин данного графа образуют все k-элементные подмножества из множества R_n. Говорят, что пара v_1 \sim v_2 образуют ребро графа, тогда и только тогда v_1 \cap v_2 =\varnothing.

Пусть имеется простой граф G=(V;E),у которого V – множество вершин и E – множество ребер.Хроматическое число графа -

Пусть имеется простой граф G=(V;E),у которого V – множество вершин и E – множество ребер. Подмножество W называется … если для любых x,y принадлежащих W пара \lbrace x,y \rbrace не принадлежит E.

Соотношение на элементы бесконечной последовательности \{y_n\}^\infty_{n=0}удовлетворяющее условию a_k y_{n+k}+a_{k-1} y_{n+k-1}+...+a_1 y_{n+1}+a_0 y_{n}=0, где постоянные величины a_0,...,a_k \in C называется...

Используя операции с формальными степенными рядами, определите чему равен коэффициент при x^k при разложении (1+x)^{\frac 1 2} в формальный степенной ряд.

Если говорить о \sum\limits_{k=0}^{\infty}\left( 3^k\right)^k x^k и \sum\limits_{k=0}^{\infty}\left( 2^k\right)^k x^k как о производящих функциях, какие из перечисленных утверждений являются верными?

Говорят, что степенной ряд \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k x^k сходится в точке x_0, если сходятся его частичные суммы S_m=\sum\limits_{k=0}^{m}a_k x_0^k.Это утверждение является...

Найдите формальный степенной ряд F(x), удовлетворяющий равенству (1-x)^2\cdot(1+x)^2 \cdot F(x)=1.

Какой знак можно поставить между числом неупорядоченных разбиений числа n на не более чем k слагаемых и числом неупорядоченных разбиений числа n+k на k слагаемых?

При построении асимптотической оценки количества различных (как графы с занумерованными вершинами) унициклических графов с n вершинами и циклом, построенным на r вершинах, величина \sum\limits_{r=3}^{n}\prod\limits_{j=1}^{r-1} \left (1-\frac{j} {n} \right)заменяется на сумму двух слагаемых S_1+S_2=\sum\limits_{r=3}^{\left[n^{0,6}\right]}\prod\limits_{j=1}^{r-1} \left (1-\frac{j} {n} \right)+\sum\limits^{n}_{r= \left [n^{0,6} \right]+1}}\prod\limits_{j=1}^{r-1} \left (1-\frac{j} {n} \right).Выберите операции и свойства, которые использовались для нахождения асимптотической оценки S_2

При построении асимптотической оценки количества различных (как графы с занумерованными вершинами) унициклических графов с n вершинами и циклом, построенным на r вершинах, величина \sum\limits_{r=3}^{n}\prod\limits_{j=1}^{r-1} \left (1-\frac{j} {n} \right)заменяется на сумму двух слагаемых S_1+S_2=\sum\limits_{r=3}^{\left[n^{0,6}\right]}\prod\limits_{j=1}^{r-1} \left (1-\frac{j} {n} \right)+\sum\limits^{n}_{r= \left [n^{0,6} \right]+1}}\prod\limits_{j=1}^{r-1} \left (1-\frac{j} {n} \right)Чему равна асимптотическая оценка S_2?

Чему равна асимптотическая оценка выражения U_n=\frac{1}{2}\cdot n^{n-1}\cdot\sum\limits_{r=3}^{n}\prod\limits_{j=1}^{r-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)?

Какой граф соответствует коду Прюфера 171716?

В теории графов дерево это - ...

Что допускается в мультиграфе?

Укажите все выражения равные C_n^{\left[ an \right]}, где a \in (0,1)?

Какие функции могут быть записаны в виде f(n)=\left (c+o(1)\right )^n, где постоянная c>1?

Выберите наибольшее выражение из перечисленных.

Выберите наибольшее выражение из перечисленных.

Знак \sim в выражении \ln C_{2n}^n \sim 2n\ln2 означает...

Пусть имеется некоторое множество \Omega. На 2^\Omega - множестве всех возможных подмножеств определено ЧУМ. Определите критерий для S_1 \preceq S_2.

Пусть V – последовательность из 0 и 1 длины n. Найдите |V|.

Какая формула определяет количество сочетаний из n элементов по k без повторений?

Имеются два множества непересекающихся объектов: множество A=\left \{a_1,a_2,...,a_n\right\} и множество B=\left \{b_1,b_2,...,a_m\right\}.Количество способов выбрать либо один объект из множества A либо один объект из множества B определяется ...

Выберите все верные утверждения.

Чему равно кликовое число Кнезеровского графа KG_{n,k}(V,E)?

Чему равно выражение C_n^0+C_n^1+...+C_n^n?

Имеются два множества объектов: множество объектов («кроликов») и множество контейнеров («ящиков»). Утверждение, позволяющее установить связь между объектами и контейнерами определяется ...

Чему равняется кликовое число KG_{n,1}(V,E)?

Как формулируется закон больших чисел (в форме Чебышева)? Пусть \xi_1,...,\xi_n последовательность одинаково распределенных независимых в совокупности, у которых математические ожидания случайных величин и их квадратов конечны M\xi_i,M\xi_i^2<\infty. Тогда \forall a>0 при n\to \infty...

Пусть VC({\cal X}, {\cal R})=d,\ A\subset{\cal X}, |A|=n.Что тогда верно относительно |Pr_A {\cal R}|?

Имеется множество объектов: множество A=\left \{a_1,a_2,...,a_n\right\}, из которого выбираются сочетания по k элементов. Сколько из этих сочетаний не содержит объект a_1?

Пусть h\geqslant 2;\ P_h=\{r_1\cap...\cap r_h,r_i \in {\cal R}\}.Пусть h\geqslant 2;\ d\geqslant 2. Тогда VC({\cal X}, {\cal R}_h) ограничена ...

Пусть отношение «… делитель…» определяет частичный порядок на множестве А=\{1,2,3,6,12,18\}.Сколько элементов является непосредственными предшественниками элемента, равного 6?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Рассмотрим Кнезеровский граф KG_{n,k}(V,E). Покрасим в цвет 1 все вершины, которые содержат 1; в цвет 2 все вершины, которые содержат 2, ..., в цвет n-2k+1 все вершины, которые содержат n-2k+1. Сколько еще потребуется цветов, чтобы раскрасить граф таким образом, как это требуется для определения хроматического числа графа?

Чему равно хроматическое число Кнезеровского графа KG_{5,2}(V,E)?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Рассмотрим случайный граф на n фиксированных вершинах, где с вероятностью равной 0,3 проводим ребро, соответственно, с вероятностью 0,7 не проводим. Чему равна вероятность, что конкретный треугольник принадлежит случайном графу?

Пусть случайное событие определено так A_i^x=\{\xi_i\leqslant x\},\ i=1,...;\ x\in R. Имеется A_1^x,...,A_n^x,... бесконечная последовательность событий. Тогда к чему \sup\limits_{x\in R}\left|\frac 1 n \sum\limits_{i=1}^{\infty}I_{A_i^x}-P(A_i^x)\right | сходится почти наверное?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Пусть F(x)=1+x+x^2+x^3+... и G(x)=1+x+x^2+x^3+.... Чему равен коэффициент перед x^{100} формального степенного ряда F(x)+G(x)?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Найдите наибольшее по модулю решение характеристическое уравнение для рекуррентного соотношения y_{n+2}-2y_{n+1}+3y_{n}=0

Журнал А читают 70% студентов, журнал В – 40% студентов, журнал С – 50% студентов; 30% студентов читают журналы А и В, 40% - журналы А и С, 20% - журналы В и С, 10% - журналы А, В и С. Сколько процентов студентов читают хотя бы один журнал?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Рассмотрим ранжированное пространство (R^n,{\cal H}^n), где {\cal H}^n - множество всех закрытых полупространств в R^n. Чему равна размерность Вапника-Червоненкиса для (R^1,{\cal H}^1)?

Случайная величина x принимает только 4 значения: x=\{1,2,3,4\}.Известно, что P(x=1)=0,2, P(x=2)=0,4, P(x=3)=0,2. Чему равна дисперсия D(x)?

Сколько существует разложений натурального числа 9 в виде упорядоченной суммы натуральных слагаемых?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Чему равен биномиальный коэффициент перед выражением x^3y^6 при разложении (x+y)^9?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Сколькими способами можно переставить буквы в слове «МОЛОКО» так, чтобы получилось новое слово (возможно бессмысленное)?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Чему равна функция Мебиуса \mu(n), если n свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение n на простые множители состоит из четного числа сомножителей?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Пусть задано частично упорядоченное множество (ЧУМ) (A,\preceq), и для каждого элемента a\in A найдется только конечное число элементов, предшествующих ему. Чему равна функция Мёбиуса \mu(x,y) на ЧУМ A, если x>y?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Пусть отношение «… делитель…» определяет частичный порядок на множестве А=\{1,2,3,6,12,18\}. Чему равно значение элемента, который является непосредственным предшественником элемента, равного 18?

Журнал А читают 70% студентов, журнал В – 40% студентов, журнал С – 50% студентов; 30% студентов читают журналы А и В, 40% - журналы А и С, 20% - журналы В и С, 10% - журналы А, В и С. Сколько процентов студентов не читают не одного из журналов А, В и С?

На рисунке представлено дерево. Сколько символов содержит код Прюфера, соответствующий данному дереву.
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Сколько циклов содержит связный унициклический граф с 5 вершинами?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Определите число различных (как графы с занумерованными вершинами) лесов с 4 деревьями с общим количеством вершин 6, такое, что первое дерево содержит вершину 1, второе – вершину 2, третье дерево содержит вершину 3, четвертое дерево содержит вершину 4.

Если раскрыть скобки в бесконечном произведении \prod\limits_{k=1}^{\infty}\left(1-x^k\right), чему равен коэффициент при x^{20}?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Сколько существует разложений натурального числа 11 в виде упорядоченной суммы натуральных слагаемых?

Сколько существует разложений натурального числа 10 в виде упорядоченной суммы натуральных слагаемых длины ровно 4?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Сколько существует диаграмм Юнга произвольного веса, но имеющих не более 5 строк и 3 столбцов?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Пусть n_{eve} - количество различных неупорядоченных разбиений числа n, в которых четное количество слагаемых, и n_{odd} - количество различных неупорядоченных разбиений числа n, в которых нечетное количество слагаемых. Чему равна разность n_{eve} и n_{odd}, если n=26?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Пусть F(x)=1+x+x^2+x^3+... и G(x)=1+x+x^2+x^3+.... Чему равен коэффициент перед x^{5} формального степенного ряда F(x)\cdot G(x)?

Чему равен седьмой член последовательности, еслиF_n=F_{n-1}+F_{n-2},\ F_0=0,\ F_1=1?

Чему равен четвертый член последовательности числе Фибоначчи?

Чему равен шестой член последовательности чисел Каталана?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Рассмотрим множество \Omega_n- множество всех графов на n вершинах. Чему равно отношение количества графов G\in \Omega_n, для которых кликовое число w(G) больше 2 \log_2 n к мощности множества \Omega_n если n\rightarrow\infty
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Чему равно число независимости Кнезеровского графа KG_{5,2}(V,E)?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Чему равно хроматическое число Кнезеровского графа KG_{n,n/2}(V,E)?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Числом Рамсея {\cal R}(s,t) называется минимальное число nтакое, что при любой раскраске полного графа K_n в два цвета - красный и синий, либо существует подграф K_s \subset K_n, у которого все ребра красные, либо существует подграф K_t \subset K_n, у которого все ребра синие. Чему равно {\cal R}(1,t)?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

В двух урнах находится соответственно 4 и 5 белых и 6 и 3 черных шаров. Из каждой урны наудачу извлекается один шар, а затем из этих двух наудачу берется один. Какова вероятность, что это будет белый шар? Ответ округлить до сотых.
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Не меньше какого числа должно быть n, чтобы выполнялось следующая теорема? Пусть M_1,... n-элементные подмножества какого-то множества, причем каждый элемент этого множества принадлежит не более чем n множествам M_i, тогда существует одноцветная раскраска данного n-элементного подмножества.
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Чему равна вероятность, что два человека встретятся, если они договорились, что каждый приходит в любое время в течении определенного часа, и если другого нет, ждет пятнадцать минут, потом уходит? В ответ ввести четыре знака после запятой.
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

К автобусной остановке через каждые четыре минуты подходит автобус линии А и через каждые шесть минут — автобус линии В. Интервал времени между моментами прихода автобуса линии А и ближайшего следующего автобуса линии В равновозможен в пределах от нуля до четырех минут. Определить вероятность того, что первый пришедший автобус окажется автобусом линии А. Ответ округлить до сотых.
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Случайная величина x принимает только 3 значения: x=\{1,2,4\}.Известно, что P(x=1)=0,2, P(x=2)=0,4. Чему равна P(x=4)?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Случайная величина x принимает только 4 значения: x=\{1,2,3,4\}.Известно, что P(x=1)=0,2, P(x=2)=0,4, P(x=3)=0,2. Чему равно математическое ожидание M(x)?

Чему равно математическое ожидание M(xy), если известно M(x)=3, M(y)=5, x и y - независимые случайные величины?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Чему равна дисперсия D(3)?

Чему равно математическое ожидание>x \sim Exp(0,2)?

Пусть \xi:\Omega \to R_+ и M(\xi)=10. Какое число будет стоять в правой части неравенства Маркова для этого случая P(\xi>20)\leqslant ...

Пусть G(n,p) -случайный граф, множество, состоящее из n вершин, а каждое ребро проводим с вероятностью p, которая независит от вероятности проведения других ребер и может зависеть от n. Пусть случайная величина T_n - число треугольников в случайном графе. Если p=o\left(\frac 1 n\right), то к чему ассимтотические стремится математическое ожидание MT_n?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Пусть \eta\sim N(0;1). Чему равно M\eta^3?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Рассмотрим ранжированное пространство (R^n,{\cal H}^n), где {\cal H}^n - множество всех закрытых полупространств в R^n. Чему равна размерность Вапника-Червоненкиса для (R^2,{\cal H}^2)?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Определите число различных (как графы с занумерованными вершинами) лесов с 2 деревьями с общим количеством вершин 6, такое, что первое дерево содержит вершину 1, второе – вершину 2.
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Сколькими способами можно переставить буквы в слове «КАВКАЗ» так, чтобы получилось новое слово (возможно бессмысленное)?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Чему равен десятый член последовательности, еслиF_n=F_{n-1}+F_{n-2},\ F_0=0,\ F_1=1?
(Ответ необходимо ввести в поле ввода.)

Пусть G(n,p) - случайный граф, множество, состоящее из n вершин, а каждое ребро проводим с вероятностью p, которая независит от вероятности проведения других ребер и может зависеть от n. Если pn\to \infty, то к чему ассимптотически стремиться вероятность того, что в случайном графе есть хотя бы один треугольник?

. Пусть n_{eve} - количество различных неупорядоченных разбиений числа n, в которых четное количество слагаемых, и n_{odd} - количество различных неупорядоченных разбиений числа n, в которых нечетное количество слагаемых. Чему равна разность n_{eve} и n_{odd}, если n=20?

Чему равен четвертый член последовательности чисел Каталана?

Сколько существует диаграмм Юнга произвольного веса, но имеющих не более 6 строк и 4 столбцов?

Пусть отношение «… делитель…» определяет частичный порядок на множестве А=\{1,2,3,6,12,18\}. Чему равно значение элемента, который является непосредственным предшественником элемента, равного 12?

Найдите наибольшее по модулю решение характеристическое уравнение для рекуррентного соотношения y_{n+2}+2y_{n+1}-3y_{n}=0.

Чему равен биномиальный коэффициент перед выражением x^5y^2 при разложении (x+y)^7?

Сколькими способами можно переставить буквы в слове «КАСКА» так, чтобы получилось новое слово (возможно бессмысленное)?

Чему равно t_n - количество различных (как графы с занумерованными вершинами) деревьев на n=5 вершинах?

На рисунке представлено дерево. Укажите вершину, которую согласно алгоритму в коде Прюфера, следует удалить в первую очередь.

Сколько ребер у связного унициклического графа с 5 вершинами?

Определите число различных (как графы с занумерованными вершинами) лесов с 3 деревьями с общим количеством вершин 6, такое, что первое дерево содержит вершину 1, второе – вершину 2, третье дерево содержит вершину 3.

Если раскрыть скобки в бесконечном произведении \prod\limits_{k=1}^{\infty}\left(1-x^k\right), чему равен коэффициент при x^{35}?

Сколько существует разложений натурального числа 9 в виде упорядоченной суммы натуральных слагаемых длины ровно 3?

Пусть n_{eve} - количество различных неупорядоченных разбиений числа n, в которых четное количество слагаемых, и n_{odd} - количество различных неупорядоченных разбиений числа n, в которых нечетное количество слагаемых. Чему равна разность n_{eve} и n_{odd}, если n=35?

Пусть F(x)=1+x+x^2+x^3+... и G(x)=1+x+x^2+x^3+.... Чему равен коэффициент перед x^{101} формального степенного ряда F(x)+G(x)?

Пусть F(x)=1+x+x^2+x^3+... и G(x)=1+x+x^2+x^3+.... Чему равен коэффициент перед x^{10} формального степенного ряда F(x)\cdot G(x)?

Чему равен одиннадцатый член последовательности, еслиF_n=F_{n-1}+F_{n-2},\ F_0=0,\ F_1=1?

Сколько решений имеет характеристическое уравнение для рекуррентного соотношения y_{n+2}+2y_{n+1}+y_{n}=0?

Найдите наименьшее по модулю решение характеристическое уравнение для рекуррентного соотношения y_{n+2}+2y_{n+1}-3y_{n}=0.

Числом Рамсея {\cal R}(s,t) называется минимальное число nтакое, что при любой раскраске полного графа K_n в два цвета - красный и синий, либо существует подграф K_s \subset K_n, у которого все ребра красные, либо существует подграф K_t \subset K_n, у которого все ребра синие. Чему равен {\cal R}(2,5)?

Во сколько раз оценка для диагональных чисел Рамсея, полученная с помощью локальной леммы Ловаса лучше, чем при использовании только схемы Бернулли?

Чему равна вероятность, что два человека встретятся, если они договорились, что каждый приходит в любое время в течении определенного часа, и если другого нет, ждет десять минут, потом уходит? В ответ ввести четыре знака после запятой.

К автобусной остановке через каждые четыре минуты подходит автобус линии А и через каждые шесть минут — автобус линии В. Интервал времени между моментами прихода автобуса линии А и ближайшего следующего автобуса линии В равновозможен в пределах от нуля до четырех минут. Определить вероятность того, что автобус какой-либо линии подойдет в течение двух минут. Ответ округлить до сотых.

Чему равно математическое ожидание для x\sim R[1,3]?

Чему равна дисперсия для x\sim R[1,7]?

Чему равно математическое ожидание M(2x+3y), если известно M(x)=3 M(y)=5?

Чему равно математическое ожидание x \sim Geom(0,2), которое равно номеру первого успеха?

Пусть G(n,p) -случайный граф, множество, состоящее из n вершин, а каждое ребро проводим с вероятностью p, которая независит от вероятности проведения других ребер и может зависеть от n. Пусть случайная величина T_n - число треугольников в случайном графе. Если pn\to \infty, то чему ассимптотически равна величина \frac {DT_n}{(MT_n)^2}?

На перекрестке установлен автоматический светофор, в котором одну минуту горит зеленый свет и полминуты красный, затем снова одну минуту — зеленый и полминуты красный и т. д. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток без остановки? Ответ округлить до сотых.

Пусть \A_1,...,\A_n последовательность независимых событий: P(A_i)=p. Положим \xi_i=I_{A_i}. Тогда к какой величине при n \to \infty сходится \frac 1 n \sum\limits_{i=1}^n I_{A_i}-P(A_1) почти наверное?

Пусть A\subset {\cal X},\ |A|=n,\ \epsilon\in (0;1). Из множества A выбираем случайные подмножества N и Tиз m, где m=\left[\frac{8d}{\epsilon} log_2 \frac{8d}{\epsilon} \right] по схеме выбора с возращением N=\{x_1,...,x_m\}. Пусть определены события E_1=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\} и E_2=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\,\ |r\cap T|\geqslant \frac{\epsilon m}{2}}. Какой знак можно поставить между P(E_1) и P(E_2)?

Для событий A_1,...,A_n составлено равенство P\left(\bigcap\limits_{i=1}^n \overline{A_i}\right )=(1-P(A_1))\cdot(1- P(A_2|\overline{A_1}))\cdot (1-P(A_3|\overline{A_1}\cap \overline{A_2})... Каким должен быть последний сомножитель, чтобы это выражение было правильным?

Какие функции удовлетворяют условию k(n)=o(\sqrt n)?

Сколько ребер имеет дерево с 10 вершинами?

Имеется множество A=\left \{a_1,a_2,...,a_n\right\} и множество V – все размещения с повторениями из элементов множества по A по m. Известно, что m<n. Рассмотрим свойство \alpha_i,i=1,...,nкоторым или обладает или не обладает каждый элемент из множества V. Размещение обладает свойством \alpha_i,i=1,...,n, если элемент a_i не принадлежит данному размещению. Сколько m размещений не обладает ни одним из свойств \alpha_i,i=1,...,n?

Что допускается в простом графе?

Выберите выражение равное C_n^k.

Рассмотрим пару ({\cal X}, {\cal R}), где {\cal X} - любое множество, {\cal R} - совокупность подмножеств в {\cal X}. Что представляет собой пара ({\cal X}, {\cal R})?

Рассмотрим множество \Omega_n- множество всех графов на n вершинах. Чему равна мощность множества \Omega_n

Чему равно значение выражения g(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}C_n^k \cdot x^k \cdot k?

Определите все элементарные исходы, которые при бросании монеты образуют событие, что выпало нечетное число очков.

Какая формула определяет количество размещений из n элементов по k без повторений?

Чему равен биномиальный коэффициент перед выражением x^2y^3 при разложении (x+y)^5?

Имеется множество объектов A=\left \{a_1,a_2,...,a_n,...,a_{2n}\right\}, из которого выбираются сочетания по n элементов. Из множества всех возможных сочетаний выбрали подмножество V_m, в котором ровно m элементов принадлежат A=\left \{a_{n+1},a_{n+2},...,a_{2n}\right\}.Найдите мощность V_m.

Чему равна функция Мебиуса \mu(n), если n свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение n на простые множители состоит из нечетного числа сомножителей?

Пусть задано частично упорядоченное множество (ЧУМ) (A,\preceq), и для каждого элемента a\in A найдется только конечное число элементов, предшествующих ему. Чему равна функция Мёбиуса \mu(x,y) на ЧУМ A, если x=y?

Чему равно C_n^{\left[ an \right]}, где a \in (0,1)?

Знак \sim в выражении f(n)\sim g(n) означает ...

Какой граф соответствует коду Прюфера 453376?

В формуле оценки количества различных (как графы с занумерованными вершинами) унициклических графов с n вершинами и циклом, построенным на r вершинах U_n=\sum\limits_{r=3}^{n}C_n^k\cdot\frac{(r-1)!} {2} \cdot F(n,r) выражение C_n^k показывает...

Если раскрыть скобки в бесконечном произведении \prod\limits_{k=1}^{\infty}\left(1-x^k\right), чему равен коэффициент при x^{26}?

Сколько существует разложений натурального числа 11 в виде упорядоченной суммы натуральных слагаемых длины ровно 5?

Какой знак можно поставить между числом упорядоченных разбиений числа n и числом неупорядоченных разбиений числа n?

Выберите вид рекуррентной формулы количества разбиений числа n на слагаемые, не превышающие k.

Выберите вид рекуррентной формулы количества разбиений числа n на k слагаемых.

Если говорить о \sum\limits_{k=0}^{\infty}\left( 3^k\right)^k x^k и \sum\limits_{k=0}^{\infty}\left( 2^k\right)^k x^k как о формальных степенных рядах, какие из перечисленных утверждений являются верными?

Чему равно значение выражения g(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}C_n^k \cdot x^k?

С использованием F_n - чисел Фибоначчи составлена производящая функция g(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}F_n x^n.Чему равно значение выражения x\cdot g(x)+x^2\cdot g(x)?

Используя операции с формальными степенными рядами, определите чему равен коэффициент при x^k при разложении (1+x)^{\frac 1 3} в формальный степенной ряд.

Чему равен пятый член последовательности чисел Каталана?

Пусть имеется простой граф G=(V;E),у которого V – множество вершин и E – множество ребер.Число независимости графа -

Пусть имеется простой граф G=(V;E),построенный на n вершинах. Какое утверждение относительно \omega(G) кликового числа графа является верным при больших n?

Что является Кнезеровским графом KG_{n,1}(V,E)?

Чему равно кликовое число Кнезеровского графа KG_{5,2}(V,E)?

Имеется множество натуральных чисел от 1 до n. И определены следуюшие подмножества A_1=\{1,2,...,k\}, A_2=\{2,3,...,k+1\},...,A_{n-k-1}=\{n-k-1,...,n\},..., A_{n}=\{n,1,...,k-1\}. Обозначим {\cal A }=\{ A_1,...,A_n \}. Рассмотрим {\cal F }=\{ F_1,...,F_s \} - совокупность независимых множеств вершин Кнезеровского графа KG(n,k). Что верно относительно | {\cal F}\cap{\cal A}|?

Чему равна вероятность элементарного исхода при бросании стандартной монеты согласно классическому определению вероятности? (Один знак после запятой).

Определите все элементарные исходы, которые при бросании монеты образуют событие, что выпало четное число очков.

Числом Рамсея {\cal R}(s,t) называется минимальное число nтакое, что при любой раскраске полного графа K_n в два цвета - красный и синий, либо существует подграф K_s \subset K_n, у которого все ребра красные, либо существует подграф K_t \subset K_n, у которого все ребра синие. Чему равно {\cal R}(2,t)?

Какая формула эквивалентна следующему высказыванию относительно чисел Рамсея: существует раскраска ребер полного графа K_n, при которой нет ни одной красной клики K_s и ни одной синей клики K_t?

Рассмотрим все возможные способы покрасить полный граф K_n в два цвета - красный и синий. Пусть событие A_i состоит в том, что в случайной раскраске i-ая по счету клика K_s в графе K_n целиком красная. Чему равно \sum\limits_{i=1}^{C_n^s}P(A_i)?

Чему равна вероятность события B при условии наступления события A?

В двух урнах находится соответственно 4 и 5 белых и 6 и 3 черных шаров. Из каждой урны наудачу извлекается один шар, а затем из этих двух наудачу берется один. Какова вероятность, что это будет черный шар? Ответ округлить до сотых.

Что согласно локальной леммы Ловаса является верным для событий, определенныx следующим образом? Пусть A_1,...,A_n события, для каждого из которых выполнено P(A_1)\leqslant p и любое событие A_i независит от остальных событий кроме не более чем dштук, причем и e(d+1)p \leqslant 1.Тогда ...

A_1,...,A_n - события. Пусть G(V,E) произвольный орграф зависимостей и существуют x_1,...,x_n \in [0,1) такие, что для любого i выполнено P(A_i)\leqslant x_j \cdot \prod\limits_{j:(A_i,A_j) \in E} (1-x_j). Тогда ...

Рассмотрим случайную раскраску полного графа K_n на nвершинах в красный и синий цвета. Пусть p-вероятность покрасить ребро в красный цвет и 1-p - вероятность покрасить ребро в синий цвет. Определим события A_1,...,A_{C_n^3};B_1,...,B_{C_n^t}, где A_i-состоит в том, что i-ый треугольник целиком красный и B_i-состоит в том, что i-ая клика размера t целиком синяя. Чему равна P(B_i)?

Чему согласно теореме Муавра-Лапласа равна P(a\leqslant \frac  {\mu_n-np} {\sqrt{npq}}\leqslant b), если n - число испытаний, p - вероятность успеха в одном испытании, q - вероятность неудачи в одном испытании, \mu_n-число успехов в n испытаниях?

Для событий A_1,...,A_n для любого i и любого J \in\{1,...,n\} при выполнении некоторого ограничения на множество J выполняется равенство P(A_i | \bigcap\limits_{j\in J}\overline {A_j})\leqslant x_i. Какое условие накладывается на множество J?

Случайная величина x принимает только 4 значения: x=\{1,2,3,4\}.Известно, что P(x=1)=0,2, P(x=2)=0,4, P(x=3)=0,2. Чему равна P(x=4)?

Выберите дискретные распределения из перечисленных.

Чему равно математическое ожидание M(3)?

Пусть \xi  :\Omega \to \{0,1,...,n\}. Чему равна P(\xi=k)?

Пусть G(n,p) - случайный граф, множество, состоящее из n вершин, а каждое ребро проводим с вероятностью p, которая независит от вероятности проведения других ребер и может зависеть от n. Если p=o\left(\frac 1 n\right), то к чему ассимптотически стремиться вероятность того, что в случайном графе нет треугольников?

Как можно оценить величину M\left(e^{\lambda(\xi_1+...+\xi_n)}\right), если известно, что xi_1,...,\xi_n независимы в совокупности?

Пусть случайные величины \xi_1,...,\xi_n, определенные на некотором \Omega. Если выполняется условие P(\lim\limits_{n\to \infty}\xi_n-\xi)=1, то говорят, что \xi_n сходится к \xi...

Имеется бесконечная последовательность одинаково распределенных и независимых случайных величин \xi_1,....,\xi_n,.... Обозначим a:=M\xi_1;\ \sigma^2:=D\xi_1>0. Тогда с каким типом сходимости при n\to\infty случайная величина \frac{\xi_1+....+\xi_n-na}{\sqrt{\sigma^2 n}} сходится к \eta\sim N(0;1)?

Пусть \eta\sim N(0;1). Чему равно M\eta^4?

Пусть \varphi_\xi(t) - характеристическая функция. Чему равно ее разложение в ряд Тейлора?

Имеется бесконечная последовательность одинаково распределенных и независимых случайных величин \xi_1,...,\xi_n,.... Обозначим a:=M\xi_1;\ \sigma^2=D\xi_1>0. Чему равна характеристическая функция для \xi_1+...+\xi_n-na?

Согласно теореме Радона какое условие из перечисленных выполняется, если A\in R^n и |A| \geqslant n+2?

Пусть VC({\cal X}, {\cal R})=d, тогда для любого A\subset {\cal X}, причем |A|=n и для любого \epsilon \in (0;1) существует N, которое является \epsilon-сетью. От чего зависит мощность N?

Пусть A\subset {\cal X},\ |A|=n,\ \epsilon\in (0;1). Из множества A выбираем случайные подмножества N и Tиз m, где m=\left[\frac{8d}{\epsilon} log_2 \frac{8d}{\epsilon} \right] по схеме выбора с возращением N=\{x_1,...,x_m\}. Пусть определены события E_1=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\} и E_2=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\,\ |r\cap T|\geqslant \frac{\epsilon m}{2}}. Если известно P(E_2|E_1)\geqslant \frac 1 2, что является верным относительно P(E_1) и P(E_2)?

Рассмотрим случайную раскраску полного графа K_n на nвершинах в красный и синий цвета. Пусть p-вероятность покрасить ребро в красный цвет и 1-p - вероятность покрасить ребро в синий цвет. Определим события A_1,...,A_{C_n^3};B_1,...,B_{C_n^t}, где A_i-состоит в том, что i-ый треугольник целиком красный и B_i-состоит в том, что i-ая клика размера t целиком синяя. Если для некоторого события A_i построен орграф зависимостей, то какое выражение позволит сверху оценить количество ребер, которые выйдут из вершины B_i орграфа зависимостей в вершины B_j?

На рисунке представлено дерево. Укажите код Прюфера, соответствующий данному дереву (записывать как число без запятых и пробелов).

Чему равно значение выражения O\left(\sum\limits_{j=1}^r \frac{j^2}{n^2}\right)?

Пусть G(n,p) -случайный граф, множество, состоящее из n вершин, а каждое ребро проводим с вероятностью p, которая независит от вероятности проведения других ребер и может зависеть от n. Если p=o\left(\frac 1 n\right), то к чему ассимптотически стремиться вероятность того, что в случайном графе есть хотя бы один треугольник?

Чему равен пятый член последовательности числе Фибоначчи?

Чему равно значение выражения C_{n+3}^3+C_{n+2}^3+...+C_3^3?

Чему равно математическое ожидание x \sim Binom(10;0,5)?

Сколько существует разложений натурального числа 10 в виде упорядоченной суммы натуральных слагаемых?

Как называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества, если элементы выбираются с повторениями?

Выберите все начальные условия соответствующие рекуррентной формулы количества разбиений числа n на слагаемые, не превышающие k.

Чему равно t_n - количество различных (как графы с занумерованными вершинами) деревьев на n=4 вершинах?

Согласно формуле обращения Мебиуса для арифметических функций f и g верно g(n)=$\sum\limits_{d|n} {f(d)}$ тогда и только тогда, когда...

Пусть задано частично упорядоченное множество (ЧУМ) (A,\preceq), и для каждого элемента a\in A найдется только конечное число элементов, предшествующих ему. Чему равна функция Мёбиуса \mu(x,y) на ЧУМ A, если x<y?

Журнал А читают 70% студентов, журнал В – 40% студентов, журнал С – 50% студентов; 30% студентов читают журналы А и В, 40% - журналы А и С, 20% - журналы В и С, 10% - журналы А, В и С. Чему равна |A \cup B \cup C|?

Какова точная оценка количества унициклических графов U_n?

При построении асимптотической оценки количества различных (как графы с занумерованными вершинами) унициклических графов с n вершинами и циклом, построенным на r вершинах, величина \sum\limits_{r=3}^{n}\prod\limits_{j=1}^{r-1} \left (1-\frac{j} {n} \right)заменяется на сумму двух слагаемых S_1+S_2=\sum\limits_{r=3}^{\left[n^{0,6}\right]}\prod\limits_{j=1}^{r-1} \left (1-\frac{j} {n} \right)+\sum\limits^{n}_{r= \left [n^{0,6} \right]+1}}\prod\limits_{j=1}^{r-1} \left (1-\frac{j} {n} \right).При указанном интервале суммирования для S_2, что является нижней оценкой величины \frac{r(r-1)}{2n}?

Чему равен третий член последовательности числе Фибоначчи?

Чему равно число независимости Кнезеровского графа KG_{n,n/2}(V,E)?

Чему равна вероятность элементарного исхода при бросании стандартной игральной кости согласно классическому определению вероятности? (Два знака после запятой).

Если s \sim 2\log_2 n, то какой знак можно поставить между C_n^s 2^{1-C_s^2} и 1?

Рассмотрим 30 шестиэлементных множеств \{M_1,...,M_{30}\}, зафиксированных в 50 элементном множестве. Рассмотрим случайную раскраску в два цвета на 50 элементном множестве. Пусть событие A_i состоит в том, что M_i множество одноцветно. Чему равна P(\cup A_i)?

Чему равна вероятность, что два человека встретятся, если они договорились, что каждый приходит в любое время в течении определенного часа, и если другого нет, ждет двадцать минут, потом уходит? В ответ ввести четыре знака после запятой, остальные знаки отбросить.

Чему равна дисперсия для x\sim N(0,4)?

Чему равна дисперсия D(3x+4), если известно D(x)=3?

Пусть \eta\sim N(0;1). Чему равно M\eta^2?

Пусть \eta\sim N(0;1). Чему равно M\eta^{2k-1}?

Чему равна характеристическая функция для \eta\sim N(0;1)?

Рассмотрим ранжированное пространство (R^n,{\cal H}^n), где {\cal H}^n - множество всех закрытых полупространств в R^n. Чему равна размерность Вапника-Червоненкиса для (R^n,{\cal H}^n)?

Пусть A\subset {\cal X},\ |A|=n,\ \epsilon\in (0;1). Из множества A выбираем случайные подмножества N и Tиз m, где m=\left[\frac{8d}{\epsilon} log_2 \frac{8d}{\epsilon} \right] по схеме выбора с возращением N=\{x_1,...,x_m\}. Пусть определены события E_1=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\} и E_2=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\,\ |r\cap T|\geqslant \frac{\epsilon m}{2}}. Какое утверждения является верным относительно вероятности P(E_2)?

Чему равно значение выражения {\left (C_n^0\right )}^2+{\left (C_n^1\right )}^2+...{\left (C_n^n\right )}^2?

Говорят, что степенной ряд \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k x^k сходится в точке x_0, если -\rho<x_0<\rho, где радиус ряда \rho=\frac{1}{\varlimsup\limits_{k\to\infty}{\sqrt[k]{|a_k|}}}>|x_0|Это утверждение является...

Пусть VC({\cal X}, {\cal R})=d,\ |{\cal X}|=n.Что тогда верно относительно |{\cal R}|?

Пусть VC({\cal X}, {\cal R})=\infty, имеется A\subset {\cal X}, причем |A|=n и \epsilon \in (0;1) существует N, которое является \epsilon-сетью. От чего зависит мощность N?

Пусть F(x)=1+x+x^2+x^3+... и G(x)=1+x+x^2+x^3+.... Чему равен коэффициент перед x^{6} формального степенного ряда F(x)\cdot G(x)?

Какой тип сходимости фигурирует в теореме Муавра-Лапласа?

Чему равна функция Мебиуса \mu(n), если n несвободно от квадратов (то есть делится на квадрат простого числа)?

ПустьA=A_1\cup...\cup A_n. Введем на подмножествах множества индексов N=\{1,...,n\} функцию f(I), где I \subseteq N. Пусть f\left( \{i_1,...i_s\}\right)обозначает число элементов множества A, которые могут не принадлежать каким-то из подмножеств A_{i_1},...,A_{i_s}, но обязаны принадлежать каждому из остальных подмножеств. Чему равноf(N)?

Какова асимптотическая оценка количества унициклических графов U_n?

Чему равно P(i,j)=0 \ \mathcal{8}i>0 в рекуррентной формуле количества разбиений числа n на k слагаемых.

Найдите формальный степенной ряд F(x), удовлетворяющий равенству ((1-x)\cdot(1+x))^2 \cdot F(x)=1.

Сколько требуется знать начальных условий, чтобы однозначно определить решение для cоотношения на элементы бесконечной последовательности \{y_n\}^\infty_{n=0}удовлетворяющее условию a_k y_{n+k}+a_{k-1} y_{n+k-1}+...+a_1 y_{n+1}+a_0 y_{n}=0, где постоянные величины a_0,...,a_k \in C?

Что является верным относительно хроматического числа Кнезеровского графа KG_{n,k}(V,E)?

Пусть A_1,...,A_n события. Формулировка "любое событие A_i независит от остальных событий кроме не более чем dштук" означает, что ...

Какая оценка для {\cal R} (3,t) получается с помощью локальной леммы Ловаса?

Что означает запись \xi\sim Geom (p)?

Пусть \xi:\Omega \to R_+ и M(\xi)=6. Какое число будет стоять в правой части неравенства Маркова для этого случая P(\xi>8)\leqslant ...

Пусть случайные величины \xi_1,...,\xi_n, определенные на некотором \Omega, если для любого a>0 при n\to \infty выполняется условие P(|\xi_n-\xi|>a)\to 0, то говорят, что \xi_n сходится к \xi...

Пусть \xi_1,...,\xi_n, каждая из которых принимает значение 1 с вероятностью p и значение 0 с вероятностью 1-p. Согласно усиленному закону больших чисел для схемы Бернулли к какой величине почти наверное сходится случайная величина \frac{\xi_1+...+\xi_n} {n} при n \to \infty?

Рассмотрим пару ({\cal X}, {\cal R}), где {\cal X} - любое множество, {\cal R} - совокупность подмножеств в {\cal X}. Пусть {\cal X} конечное множество, а любое r\in {\cal R} имеет мощность равную k, что в таком случае представляет собой пара ({\cal X}, {\cal R})?

Рассмотрим A\subset{\cal R}. Назовем проекцией {\cal R} на A \Pr_A{\cal R}=\{r\cap A:r\in {\cal R}\}. {\cal R} дробится (split up) с помощью {\cal R}, если Pr_A{\cal R}=2^A. Что из перечисленного является определением размерности Вапника-Червоненкиса?

Для эквивалентных асимптотически функций f(n) и g(n) выполняется равенство ...

пусть h\geqslant 2;\ P_h=\{r_1\cap...\cap r_h,r_i \in {\cal R}\}. Для (R^2,{\cal H}^2) что представляет собой {\cal H}^2_3)

Какой тип сходимости фигурирует в усиленом законе больших чисел в формулировке Колмогорова?

Согласно формуле обращения Мебиуса для арифметических функций f и g верно g(n)=$\sum\limits_{d|n} {f(d)}$ тогда и только тогда, когда f(n) равна … (укажите все возможные ответы).

Чему равна дисперсия D(3x-4y), если известно D(x)=3, D(y)=2, x и y - независимые случайные величины?

Пусть A\subset {\cal X},\ |A|=n,\ \epsilon\in (0;1). Из множества A выбираем случайное подмножество N из m, где m=\left[\frac{8d}{\epsilon} log_2 \frac{8d}{\epsilon} \right] по схеме выбора с возращением N=\{x_1,...,x_m\}. Пусть определено событие E_1=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\}. Какое события является отрицанием события E_1?

Пусть A\subset {\cal X},\ |A|=n,\ \epsilon\in (0;1). Из множества A выбираем случайные подмножества N и Tиз m, где m=\left[\frac{8d}{\epsilon} log_2 \frac{8d}{\epsilon} \right] по схеме выбора с возращением N=\{x_1,...,x_m\}. Пусть определены события E_1=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\} и E_2=\{\mathcal{9}\  r\in R:|r\cap A|\geqslant \epsilon n,r \cap N =\varnothing\,\ |r\cap T|\geqslant \frac{\epsilon m}{2}}. Чему равна вероятность P(E_2|E_1)?

Чему согласно теореме Муавра-Лапласа равна вероятность того, что число успехов по схеме Бернулли, центрированное np и нормированное \sqrt{npq} находится в пределах от a до b, если n - число испытаний, p - вероятность успеха в одном испытании, q - вероятность неудачи в одном испытании?

Чему равно значение выражения C_{n+1}^1+C_n^1+...+C_1^1?

При каком k достигается максимальное значение величин C_n^k, если k нечетное число из интервала [0,n]?

Выберите меньшее выражение из перечисленных.

В формуле оценки количества различных (как графы с занумерованными вершинами) унициклических графов с n вершинами и циклом, построенным на r вершинах U_n=\sum\limits_{r=3}^{n}C_n^k\cdot\frac{(r-1)!} {2} \cdot F(n,r) выражение C_n^k\cdot\frac{(r-1)!} {2} показывает...

Найдите формальный степенной ряд F(x), удовлетворяющий равенству (3-x)\cdot F(x)=1.

С использованием F_n - чисел Фибоначчи составлена производящая функция g(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}F_n x^n.Чему равно значение выражения x\cdot g(x)+x^2\cdot g(x)?

Пусть имеется простой граф G=(V;E),у которого V – множество вершин и E – множество ребер.\chi(G) хроматическое число графа и \alpha(G) число независимости графа. Какое утверждение является верным?

Пусть n \geqslant 9.Пусть M_1,... n-элементные подмножества какого-то множества, причем каждый элемент этого множества принадлежит не более чем n множествам M_i, тогда существует одноцветная раскраска данного n-элементного подмножества. При применении к данной ситуации локальной леммы Ловаса чему равно d?

Сколько существует диаграмм Юнга произвольного веса, но имеющих не более 7 строк и 3 столбцов?

Пусть имеется простой граф G=(V;E),у которого V – множество вершин и E – множество ребер.\alpha число независимости и \omegaкликовое число. Какое утверждение является верным?

Рассмотрим все возможные способы покрасить полный граф K_n в два цвета - красный и синий. Пусть событие A_i состоит в том, что в случайной раскраске i-ая по счету клика K_s в графе K_n целиком красная. Чему равна вероятность события A_i?

Определим случайную раскраску так: с вероятностью p красим очередное ребро в красный цвет, с вероятностью (1-p) красим очередное ребро в синий цвет.Пусть событие A_iсостоит в том, что в случайной раскраске i-ая по счету клика K_s в графе K_n целиком красная. Чему равна P(A_i)?

Выберите свойства функции распределения.

Случайная величина x принимает только 3 значения: x=\{2,3,4\}.Известно, что P(x=2)=0,3, P(x=3)=0,4. Чему равна P(x=4)?

Как называется набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества?

Какими свойствами должно бинарное отношение, которое определяет частично упорядоченное множество?

Имеется множество натуральных чисел от 1 до n. И определены следуюшие подмножества A_1=\{1,2,...,k\}, A_2=\{2,3,...,k+1\},...,A_{n-k-1}=\{n-k-1,...,n\},..., A_{n}=\{n,1,...,k-1\}. Обозначим {\cal A }=\{ A_1,...,A_n \}. Рассмотрим {\cal F }=\{ F_1,...,F_s \} - совокупность независимых множеств вершин Кнезеровского графа KG(n,k). Что является наиболее точной верхней оценкой мощности {\cal F}\cap{\cal A}?