Введение в теорию вероятностей - ответы

Количество вопросов - 542

Дана последовательность случайных величин \xi_1, \xi_2, \ldots со следующими распределениями: для любого n
P(\xi_n=1)=\frac 1n,\quad P(\xi_n=-1)=\frac 1n,\quad P\left(\xi_n=\frac 1n\right)=1-\frac 2n.
Найдите предел последовательности \xi_n в смысле сходимости по вероятности.

Случайные величины \xi и \eta имеют следующую таблицу совместного распределения:
ηξ-505
000, 20, 3
20, 10, 20, 2
Найдите ковариацию случайных величин \xi и \eta.

Выберите верные утверждения.

Дана последовательность случайных величин \xi_1, \xi_2, ... со следующими распределениями: \xi_n\sim U_{(n-1)/n,(n+1)/n}. Если последовательность \xi_n слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

Четыре раза подбрасывают шестигранную игральную кость и записывают количество выпадающих очков в порядке поступления. Сколько различных двузначных чисел можно таким образом записать?

Выберите распределения, для которых вероятность P(1 \le \xi \le 3) является наибольшей среди перечисленных.

Пусть случайный вектор (\xi, \eta) имеет абсолютно непрерывное распределение с постоянной плотностью во всех точках ромба |x|+|y| \le 1. Вне ромба плотность нулевая. Каково значение плотности внутри ромба?

Трижды бросают правильную монету. Выберите верные высказывания.

Выберите верные определения.

Пусть распределение случайной величины \xi задано таблицей распределения:
ai-2-101
P(ξ = ai)0, 10, 2p0, 1
Выберите верные утверждения.

Даны шесть независимых в совокупности случайных величин \xi_1, \ldots , \xi_6 с одним и тем же распределением Бернулли с параметром 1/2. Найдите P(\xi_1+\ldots+\xi_6 = 5).

Подбрасывают три игральных кости. Выберите набор событий, для которого вероятность объединения равняется сумме вероятностей событий из набора.

Пусть \Omega=[0, 1],\; F=\{\Omega, \varnothing, [0; 0,5], (0,5; 1]\}. Какие из следующих функций являются случайными величинами?

Пусть D\xi = 3. Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность P(|\xi - E\xi| > 3).

Пусть \xi\sim U_{0,1}. Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение Парето с плотностью f(x) = 1/x^2 при x > 1.

Укажите распределение суммы двух независимых случайных величин \xi\sim\Pi_2\;\text{и}\;\eta\sim\Pi_3.

Пусть \Omega=\{a,b,c\},\;F=2^\Omega. Выберите функцию, которая является вероятностной мерой.

Выберите верные утверждения.

Точка наудачу выбирается на отрезке [0, 5]. Какое распределение имеет координата этой точки?

Укажите, в какой последовательности распределений дисперсии упрядочены по возрастанию. Здесь (1) B_{1/3}; (2) I_5; (3) U_{-2, 1}; (4) N_{-2, 9}.

Укажите, чему равна характеристическая функция случайной величины 2\xi.

Пусть \Omega — произвольное непустое конечное множество, F — некоторое множество подмножеств Ω. Укажите верные высказывания.

В списке студенческой группы 5 юношей и 2 девушки. Из списка группы наугад выбирают троих студентов. Какова вероятность того, что будут выбраны один юноша и две девушки?

Случайные величины \xi и \eta независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найдите коэффициент корреляции случайных величин 2\xi - \eta\text{ и }\xi + \eta.

Подбрасывают правильную игральную кость. После n подбрасываний обозначим через \nu_n количество подбрасываний, при которых выпало 3 очка. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности \nu_n/n в смысле сходимости по вероятности.

В первой урне 40% шаров белые, во второй — 50%. Из наудачу выбранной урны достают шар. Определите вероятность того, что шар окажется белым.

Пусть F(x) — произвольная функция распределения. Выберите верные утверждения.

Найдите E2^{\xi}, если случайная величина \xi имеет распределение Пуассона с параметром \lambda = 2.

Пусть P(A) > 0, B — произвольное событие. Укажите верные высказывания.

Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, берут 2 шара наугад. Порядок появления шаров учитывается. Каково общее число равновозможных элементарных исходов?

На почте есть марки трёх видов, конверты четырёх видов и открытки пяти видов. Каким числом способов можно выбрать открытку, конверт и марку к нему?

В футбольном турнире участвуют четыре команды. Сколькими способами можно выбрать из них пару команд для первого матча?

На плоскости есть 6 точек. Каждые две из них можно соединить отрезком. Сколько таких отрезков можно образовать?

Пусть A и B — произвольные события. Выберите все верные высказывания.

Брошены три монеты. Рассматриваются события A — на первой монете выпал герб, B = {ГГР, ГРГ}. Выберите верное высказывание.

Каждая из n деталей может быть годной или дефектной. Событие A_i состоит в том, что i-я деталь дефектна. Какие из следующих событий означают, что хотя бы одна из деталей годная?

Пусть \Omega=\{1,\ldots,10\},\;A=\{1,\ldots,6\},\;B =\{\omega\in\Omega|\omega\le3\}. Выберите все верные высказывания.

Пусть \Omega\{1,2,3,\ldots\},\;A=\{1,2,3,4\},\;B=\{2,3\},\;C=\{2\}. Укажите верное отношение.

Пусть |\Omega|=3. Укажите, какими могут быть вероятности элементарных исходов.

Карточки с буквами А, Б, В, Г выкладывают в ряд в произвольном порядке. Каково общее число равновозможных элементарных исходов?

Один раз подбрасывают симметричную игральную кость. Какова вероятность того, что выпадет одно или два очка?

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают шесть карт. Какова вероятность того, что среди них окажется ровно один король?

Из коробки, в которой лежали 5 красных и 2 синих карандаша, потерялись 3 карандаша. Какова вероятность того, что потерялись только красные карандаши, если любой карандаш имел равные шансы быть потерянным?

Из букв слова БОЛТ, составленного с помощью разрезной азбуки, извлекают наудачу и выкладывают в порядке извлечения три буквы. Какова вероятность того, что при этом получится слово ЛОТ?

В точке C, положение которой на телефонной линии AB длиной 100 км равновозможно, произошел разрыв линии. Какова вероятность того, что точка C удалена от точки A более, чем на 75 км?

На отрезке [0, 1] наудачу выбираются две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними окажется больше, чем 0, 1?

Точка с координатами \xi и \eta наудачу бросается в квадрат \Omega=[0,1]\times[0,1]. Выберите верные высказывания.

Пусть \Omega=\{1,2,3\}. Какие из следующих множеств образуют алгебры подмножеств \Omega?

Пусть \Omega=\mathbb{R}, а множество F содержит все конечные множества вещественных чисел (в том числе пустое) и их дополнения до \;\mathbb{R}. Укажите верное высказывание.

Пусть \Omega — произвольное непустое множество, F — некоторое непустое множество его подмножеств, содержащее вместе с любым своим элементом A\in F\text{ его дополнение }\overline A. Выберите условия, при выполнении которых множество F будет σ-алгеброй.

Пусть \Omega = \{a,b,c\},\;F=2^\Omega. Выберите функции, которые являются мерами.

Укажите множества, принадлежащие борелевской сигма-алгебре \mathfrak{B}(\mathbb{R}).

Выберите свойства, верные для любых несовместных событий A и B.

Из колоды в 36 карт наугад берут одну. Какова вероятность получить любого короля или любую карту пиковой масти?

Укажите свойства, которыми обладает любая вероятностная мера.

Подбрасывают две игральных кости. Укажите такие события A и B, для которых P(A\setminus  B)=P(A)-P(B).

Пусть события A и B независимы, P(A) = 0, 4, P(B) = 0, 6. Выберите верное высказывание.

Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вынимают шары по одному до тех пор, пока не появится белый шар. Какова вероятность того, что из урны будет вынуто только 2 шара?

События A и B называются независимыми, если...

Выберите верные утверждения.

Пусть события A, B, C попарно независимы. Выберите верные утверждения.

На фабрике половина продукции производится первой машиной, половина — второй. Первая машина дает 10% брака, вторая — 20%. Определите вероятность наугад выбранной детали оказаться бракованной.

Первый стрелок попадает в цель всегда, второй — в половине случаев. Выбранный случайным образом стрелок произвел выстрел и попал в мишень. Какова вероятность, что стрелял второй стрелок?

Симметричную игральную кость бросали 29 раз, и ни разу не выпало шесть очков. С какой вероятностью при 30-м броске выпадет шесть очков?

Пять раз подбрасывают правильную монету. Выберите верные высказывания.

Какая формула вычисляет вероятность получить ровно три попадания при пяти выстрелах, если вероятность попадания в каждом равна 0,9 и результаты выстрелов независимы?

Стрелок попадает в цель при любом выстреле с вероятностью 0,3. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что первое попадание случится не ранее, чем при пятом выстреле?

Симметричную игральную кость подбрасывают 5 раз. Какова вероятность при этом трижды получить четное число очков и по разу — тройку и пятерку?

Каждая из 1000 деталей с вероятностью 0,001 может оказаться бракованной. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что ровно одна деталь будет бракованной.

Проводится n испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха p. Укажите, при каких значениях n и p можно использовать теорему Пуассона для приближенного вычисления вероятностей, если погрешность приближения не должна превышать 0,001.

Пусть \Omega=[0,1],\; F=\mathfrak{B}([0,1]) — множество борелевских подмножеств отрезка [0, 1]. Какие из следующих функций являются случайными величинами?

Выберите верные утверждения.

Пусть задано вероятностное пространство — отрезок [0, 1] с сигма алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега в качестве вероятности. Укажите тип распределения случайной величины \xi, заданной равенством:
\xi(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}2\omega, & \text{если}\;\omega<0,5\\ 3\omega, & \text{если}\;\omega\ge 0,5.\end{arrey}\right.

Пусть случайная величина \xi принимает только значения 1, 2, 3, 4, 5 с одинаковой вероятностью p. Найдите p.

Пусть распределение случайной величины \xi задано таблицей распределения:
ai-2-101
P(ξ = ai)pp0, 250, 5
Выберите верные утверждения.

Какие из следующих функций являются плотностями распределений?

Пусть распределение случайной величины \xi задано плотностью распределения:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}cx, & \text{если}\;0\le x\le1,\\ 0 & \text{иначе}.\end{array}\raght.
Выберите верные утверждения.

Пусть распределение случайной величины \xi задано функцией распределения:
F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text{если}\;x\le0,\\ 0,75, & \text{если}\;0<x\le1,\\ 1, & \text{если}\;x>1\end{array}\right.
Выберите верные утверждения.

Пусть F(x) — произвольная функция распределения. Выберите верные утверждения.

Случайная величина \xi имеет распределение Пуассона с параметром 1. Вычислите следующие вероятности и укажите верные равенства.

Случайная величина \xi имеет распределение Пуассона с параметром 2. Вычислите следующие вероятности и укажите верное неравенство.

Случайная величина \xi имеет нормальное распределение с плотностью распределения f(x)=\frac1{\sqrt 8\pi}}e^{-\frac1 8(x-1)^2}. Укажите, какая из следующих случайных величин имеет стандартное нормальное распределение.

Выберите абсолютно непрерывные распределения.

Выберите распределения, для которых вероятность P(\xi = 3) является наибольшей среди перечисленных.

Пусть случайная величина \xi имеет нормальное распределение с параметрами a = 2,\;\sigma^2 = 4. Выберите верные утверждения.

Выберите свойства, которыми обладает любая функция совместного распределения.

Случайные величины \xi и \eta имеют следующую таблицу совместного распределения:
ηξ-1012
00, 10, 2500
100, 2p0, 1
200, 100, 1
Выберите верные высказывания.

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина \xi равна сумме выпавших очков, случайная величина \eta равна числу выпавших единиц. Укажите вероятность события {\xi = 4; \eta = 0}.

Пусть случайный вектор (\xi, \eta) имеет абсолютно непрерывное распределение с постоянной плотностью во всех точках круга x^2 + y^2 \le 1. Вне круга плотность нулевая. Каково значение плотности внутри круга?

Пусть независимые случайные величины \xi и \eta имеют абсолютно непрерывные распределения. Выберите верные утверждения.

Пусть \xi и \eta имеют плотность совместного распределения
f_{\xi,\eta}(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}2e^{-x-2y}, & x>0,y>0,\\ 0 & \text{иначе.}\end{array}\right.
Укажите, чему равна вероятность события \{{\xi > 1; \eta > 1}\}.

Пусть \xi\sim B_{3,1/3},\;\eta=2\xi. Укажите значение вероятности P(\eta = 2).

Случайная величина \xi имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью f(x). Пусть \eta = -\xi. Какова плотность распределения случайной величины \eta?

Пусть \xi\sim U_{0,1}\;\eta=3\xi+2. Укажите значение плотности распределения случайной величины \eta в точке x = 3.

Пусть \xi\sim N_{0,1},\;\eta=2\xi+1. Укажите распределение случайной величины \eta.

Случайную величину, имеющую абсолютно непрерывное распределение, умножили на 2. Выберите верные высказывания.

Даны три независимые в совокупности случайные величины \xi_1, \xi_2, \xi_3 с одним и тем же распределением Пуассона с параметром 2. Найдите P(\xi_1 + \xi_2 + \xi_3 = 3).

Выберите распределения, у которых существует математическое ожидание.

Выберите распределения, у которых существует дисперсия.

Выберите верные утверждения.

Найдите E\xi^3, если случайная величина \xi имеет распределение с плотностью
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3x^2, & 0<x<1,\\ 0 & \text{иначе.}\end{array}\right.

Сделано пять выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом из первых трех выстрелов равна 0,5, при каждом из двух последних — 0,7. Найдите математическое ожидание числа попаданий.

Случайные величины \xi\sim E_2\text{ и }\eta\sim U_{0,2} независимы. Выберите верные высказывания.

Пусть E\xi^2 < \infty, E\eta^2 < \infty. Выберите верные утверждения.

Укажите, в какой последовательности распределений математические ожидания упрядочены по возрастанию. Здесь (1) B_{1/3}; (2) I_5; (3) U_{-2, 1}; (4) N_{-2, 9}.

Укажите, в какой последовательности распределений дисперсии упрядочены по возрастанию. Здесь (1) B_{3/4}; (2) I_0; (3) U_{-1, 5}; (4) N_{1, 8}.

Считая, что указанные математические ожидания существуют, выберите верные неравенства.

Случайные величины \xi и \eta имеют конечные и ненулевые дисперсии и связаны равенством \xi = \eta - 1. Укажите значение их коэффициента корреляции.

Случайные величины \xi и \eta имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Случайные величины \xi и \eta независимы и имеют одно и то же распределение Пуассона с параметром 2. Найдите коэффициент корреляции случайных величин 3\xi - \eta\text{ и }\xi + \eta.

Случайные величины \xi и \eta имеют следующую таблицу совместного распределения:
ηξ-505
00, 10, 20, 3
1000, 20, 2
Найдите ковариацию случайных величин \xi и \eta.

Случайные величины \xi_1, \ldots, \xi_n имеют конечные дисперсии. Укажите верные утверждения.

Точка с координатами \xi и \eta наудачу выбрана в круге {(x, y) | x^2+y^2 \le 1}. Найдите коэффициент корреляции координат точки и выберите верные утверждения.

Дана последовательность случайных величин \xi_1, \xi_2, \ldots со следующими распределениями: для любого n
P(\xi_n=\sqrt{n})=\frac 1n,\quad P(\xi_n=2)=\frac 1n,\quad P\left(\xi_n=1-\frac 1n\right)=1-\frac 2n.
Найдите предел последовательности \xi_n в смысле сходимости по вероятности.

Дана последовательность случайных величин \xi_n\stackrel{P}{\to}\xi. Выберите достаточные условия для сходимости E\xi_n\to E\xi.

Пусть E\xi^2 = 6, \;E\xi = 1. Оценивается сверху вероятность P(|\xi| > 10). Укажите значение оценки по обобщенному неравенству Чебышева с функцией g(x) = x^2\text{ при }x > 0.

Пусть D\xi = 1. Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность P(|\xi - E\xi| > 5).

Пусть \xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же биномиальным распределением с параметрами m = 3\text{ и }p = 1/4. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности
\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n
в смысле сходимости по вероятности.

Подбрасывают две правильные монеты. После n подбрасываний двух монет обозначим через \nu_n количество подбрасываний, при которых выпал один герб и одна решка. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности \nu_n/n в смысле сходимости по вероятности.

Пусть \xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же распределением Бернулли с параметром p = 1/4. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности
\frac{\xi_1^2+\ldots+\xi_n^2}n-\left(\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n\right)^2
в смысле сходимости почти наверное.

Выберите последовательности случайных величин, удовлетворяющие закону больших чисел.

Выберите верные определения.

Дана последовательность случайных величин \xi_1, \xi_2, ... со следующими распределениями:
F_{\xi_n}=\begin{cases} 0,&если\ x<0,\\ x^n,&если\ 0 \le x\le  1\\ 1,&если\ x>1 \end{cases}
Если последовательность \xi_n слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с биномиальным распределением с параметрами m = 4, p = 1/2. Пусть S_n - сумма первых n случайных величин в этой последовательности. Последовательность S_n/n слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с показательным распределением с параметром \alpha = 2, S_n - сумма первых n случайных величин в этой последовательности. Последовательность \frac{2S_n-n}{\sqrt{n}} слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 40.

Имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Укажите, при каких распределениях членов последовательности эта последовательность удовлетворяет центральной предельной теореме.

Что такое характеристическая функция случайной величины \xi?

Укажите, чему равна характеристическая функция случайной величины -2\xi.

Укажите распределение, которому отвечает характеристическая функция \varphi(t)=\frac{3}{3-it}.

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция \varphi(t)=\exp(-t^2).

Если последовательность характеристических функций \varphi_\xi_n(t) сходится при всех t к характеристической функции \varphi_\xi(t), что можно сказать про поведение случайных величин \xi_n?

Укажите верные высказывания.

Случайная величина \xi имеет показательное распределение с параметром 2. Вычислите следующие вероятности и укажите верное неравенство.

Какие из следующих функций являются плотностями распределений?

Найдите E2^{-\xi}, если случайная величина \xi имеет таблицу распределения P(\xi = k) = 2^{-k}, k = 1, 2, \ldots

Выберите верные определения.

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 60.

Выберите верные утверждения.

Укажите верные высказывания.

Выберите верные утверждения.

В турнире принимают участие 6 шахматистов. Сколькими способами можно их разбить на две группы по три шахматиста?

Дана последовательность случайных величин \xi_1, \xi_2, ... со следующими распределениями:
F_{\xi_n}=\begin{cases} 0,&если\ x<0,\\ 1-(1-x)^n,&если\ 0 \le x\le  1\\ 1,&если\ x>1 \end{cases}
Если последовательность \xi_n слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

Пусть \Omega=\{1,\ldots,10\},\;A=\{1,\ldots,6\},\;B =\{\omega\in\Omega|\omega\ge3\}. Выберите верное высказывание.

Вероятность получить "отлично" по математике равна 1/4, по физике — тоже 1/4, а сразу по двум предметам — 1/8. Какова вероятность получить "отлично" хотя бы по одному предмету?

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с распределением Пуассона с параметром \lambda = 2, S_n - сумма первых n случайных величин в этой последовательности. Последовательность \frac{S_n-2n}{\sqrt{n}} слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Пусть распределение случайной величины \xi задано плотностью распределения:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}c(1-x), & \text{если}\;0\le x\le1,\\ 0 & \text{иначе}.\end{array}\raght.
Выберите верные утверждения.

Случайные величины \xi и \eta независимы и имеют одно и то же равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Найдите коэффициент корреляции случайных величин \xi - 2\eta\text{ и }\xi + \eta.

Выберите свойства, которыми обладает любая функция совместного распределения.

На отрезок [0, 1] наудачу и независимо друг от друга бросают пять точек. Какова вероятность того, что две из них попадут на левую половину отрезка, еще две — на отрезок [0,5, 0,7] и одна окажется правее точки 0,7?

Случайная величина \xi имеет нормальное распределение с параметрами a = 2 и \sigma^2 = 9. Пусть \Phi_{0,1}(x) — функция распределения стандартного нормального распределения. Чему равно значение вероятности P(-1 < \xi < 5)?

Три стрелка каждый по разу стреляют по мишени. Событие A означает, что попал хотя бы один из них, событие B означает, что попал только второй стрелок, событие C — произошло только одно попадание. Укажите верное отношение.

Пусть \Omega=\mathbb{R}. Какие из следующих множеств образуют алгебры подмножеств \Omega?

Пусть |\Omega|=3. Укажите, какими могут быть вероятности элементарных исходов.

Укажите распределение суммы двух независимых случайных величин \xi,\;\eta\sim E_3.

Выберите верные утверждения.

Симметричную игральную кость бросают до тех пор, пока впервые не выпадет шесть очков. Какое распределение имеет число выполненных бросаний кости?

Случайные величины \xi и \eta независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Укажите значение их коэффициента корреляции.

Проводится n испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха p. Укажите, при каких значениях n и p можно использовать теорему Пуассона для приближенного вычисления вероятностей, если погрешность приближения не должна превышать 0,01.

Если момент пятого порядка случайной величины \xi существует, что можно сказать про ее характеристическую функцию?

Укажите распределение, которому отвечает характеристическая функция \varphi(t)=(0,5+0,5e^{it})^3.

Укажите, чему равна характеристическая функция случайной величины \xi+2.

Выберите функции, которые не могут быть характеристическими функциями никакой случайной величины.

Имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Укажите, при каких распределениях членов последовательности эта последовательность удовлетворяет центральной предельной теореме.

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с распределением Пуассона с параметром \lambda = 2, S_n - сумма первых n случайных величин в этой последовательности. Последовательность S_n/n слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Выберите последовательности случайных величин, удовлетворяющие закону больших чисел.

Пусть \xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же показательным распределением с параметром \alpha = 2. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности
\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n
в смысле сходимости по вероятности.

Пусть D\xi = 1. Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность P(|\xi - E\xi| > 10).

Дана последовательность случайных величин \xi_1, \xi_2, \ldots со следующими распределениями: для любого n
P(\xi_n=n)=\frac 1n,\quad P(\xi_n=-2)=\frac 1n,\quad P(\xi_n=2)=1-\frac 2n.
Найдите предел последовательности \xi_n в смысле сходимости по вероятности.

Выберите верные утверждения.

Случайные величины \xi и \eta имеют конечные дисперсии. Укажите верные утверждения.

Случайные величины \xi и \eta имеют следующую таблицу совместного распределения:
ηξ-10010
000, 20, 3
-10, 10, 20, 2
Найдите ковариацию случайных величин \xi и \eta.

Случайные величины \xi и \eta независимы и имеют одно и то же распределение Бернулли с параметром 1/2. Найдите коэффициент корреляции случайных величин 2\xi - 2\eta\text{ и }\xi + \eta.

Случайные величины \xi и \eta имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Считая, что указанные математические ожидания существуют, выберите верные неравенства.

Укажите, в какой последовательности распределений дисперсии упрядочены по возрастанию. Здесь (1) B_{4, 1/3}; (2) \Pi_2; (3) E_{1/10}; (4) G_{1/3}.

Укажите, в какой последовательности распределений математические ожидания упрядочены по возрастанию. Здесь (1) B_{4, 3/4}; (2) \Pi_2; (3) E_2; (4) G_{1/5}.

Пусть E\xi^2 < \infty. Выберите верные утверждения.

Случайные величины \xi\sim \Pi_3\text{ и }\eta\sim N_{1,9} независимы. Выберите верные высказывания.

В приборе имеются три ненадежных элемента, вероятности отказа которых равны соответственно 0,3, 0,6 и 0,5. Найдите математическое ожидание числа элементов, отказавших за время эксперимента.

Найдите Ee^{\xi}, если случайная величина \xi имеет распределение с плотностью
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3\cdot e^{-3x}, & x>0,\\ 0 & \text{иначе.}\end{array}\right.

Выберите верные утверждения.

Выберите распределения, у которых существует дисперсия.

Выберите распределения, у которых существует математическое ожидание.

Выберите верные утверждения.

Укажите распределение суммы двух независимых случайных величин \xi\sim B_{1,1/3}\;\text{и}\;\eta\sim B_{5,1/3}.

К случайной величине, имеющей абсолютно непрерывное распределение, прибавили 5. Выберите верные высказывания.

Пусть \xi\sim E_3. Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение U_{0, 1}.

Пусть \xi\sim N_{0,1}. Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение N_{-1, 4}.

Пусть \xi\sim E_2,\;\eta=2\xi+5. Укажите значение плотности распределения случайной величины \eta в точке x = 3.

Случайная величина \xi имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью f(x). Пусть \eta = \xi/2. Какова плотность распределения случайной величины \eta?

Пусть \xi\sim G_{1/2},\;\eta=2\xi. Укажите значение вероятности P(\eta = 6).

Пусть \xi и \eta — независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0, 1]. Укажите, чему равна вероятность события {0 < \xi < 0,5; 0,1 < \eta < 0,3}.

Пусть \xi и \eta — произвольные случайные величины. Выберите верные утверждения.

Пусть случайный вектор (\xi, \eta) имеет абсолютно непрерывное распределение. Если в некоторой области функция распределения этого вектора равна 2x(4y-2), то какова его плотность распределения в той же области?

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина \xi равна сумме выпавших очков, случайная величина \eta равна числу выпавших единиц. Укажите вероятность события {\xi = 6; \eta = 0}.

Пусть случайный вектор (\xi, \eta) имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью f_{\xi,\eta}(x, y). Выберите верные высказывания.

Выберите распределения, для которых вероятность P(0 \le \xi \le 4) является наибольшей среди перечисленных.

Выберите дискретные распределения.

Случайная величина \xi имеет равномерное распределение на отрезке [-2, 2]. Вычислите следующие вероятности и укажите верные неравенства.

Правильную монету бросают 10 раз. Какое распределение имеет число выпавших гербов?

Пусть распределение случайной величины \xi абсолютно непрерывно, F(x) — функция распределения случайной величины \xi. Выберите верные утверждения.

Пусть распределение случайной величины \xi задано функцией распределения:
F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text{если}\;x\le0,\\ x, & \text{если}\;0<x\le1,\\ 1, & \text{если}\;x>1\end{array}\right.
Выберите верные утверждения.

Пусть распределение случайной величины \xi задано плотностью распределения:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}c, & \text{если}\;0\le x\le10,\\ 0 & \text{иначе}.\end{array}\raght.
Выберите верные утверждения.

Какие из следующих функций являются плотностями распределений?

Пусть случайная величина \xi принимает только значения -2, -1, 0, 1, 2, 3 с одинаковой вероятностью p. Найдите P(\xi \le 0).

Пусть задано вероятностное пространство — отрезок [0, 1] с сигма алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега в качестве вероятности. Укажите тип распределения случайной величины \xi, заданной равенством:
\xi(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}7, & \text{если}\;\omega\;\text{иррационально}\\ \omega, & \text{если}\;\omega\;\text{рационально}\end{arrey}\right.

Пусть \Omega=\{a,b,c\},\;F=2^\Omega. Какие из следующих функций являются случайными величинами?

Проводится n испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха p. Укажите, при каких значениях n и p можно использовать теорему Пуассона для приближенного вычисления вероятностей, если погрешность приближения не должна превышать 0,005.

Прибор состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого из них при включении равна 0,01. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что не откажет ни один элемент.

Симметричную игральную кость подбрасывают 4 раза. Какова вероятность получить при этом одну тройку и две шестерки?

Стрелок, попадающий в цель при любом выстреле с вероятностью 0,1, ведет стрельбу до первого попадания. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что потребуется не менее трех патронов?

Какая формула вычисляет вероятность не получить ни одного попадания при пяти выстрелах, если вероятность попадания в каждом равна 0,9 и результаты выстрелов независимы?

Стрелок, попадающий в цель при одном выстреле с вероятностью 0,3, делает два выстрела. Результаты выстрелов независимы. Выберите верное высказывание.

Из урны, содержащей 10 одинаковых на ощупь шаров, среди которых один черный, наугад вынимали по одному шару 12 раз, всякий раз возвращая вынутый шар обратно и перемешивая шары в урне. Все 12 раз был вынут черный шар. С какой вероятностью следующий наудачу вынутый шар снова окажется черным?

В фирме половина работающих — мужчины. Вероятность опоздать на работу в произвольно взятый день для мужчины равна 0,1, для женщины — 0,3. Определите вероятность того, что наугад выбранный из списка сотрудник завтра опоздает на работу.

Пусть события A и B независимы, P(A) = 0,5 и P(B) = 0,5. Укажите верные высказывания.

Два раза подбрасывают монету. Укажите верные высказывания.

Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вынимают шары по одному до тех пор, пока не появится белый шар. Какова вероятность того, что из урны будет вынуто 4 шара?

Пусть события A и B независимы, P(A) = 0, 8, P(B) = 0, 2. Выберите верное высказывание.

Даны события A, B, C такие, что P(A)=P(B)=P(C)=1/2,P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4,P(ABC)=0. Укажите значение P(A\cup B\cup C).

Пусть \lambda(A) обозначает меру Лебега борелевского множества A. Укажите значение \lim\limits_{n\to\infty}\lambda(B_n),\text{ если }B_n=(-1/n,2+2/n).

Из колоды в 36 карт наугад берут одну. Какова вероятность получить любого короля или любую карту пиковой масти?

Чему равна вероятность P(A\cup B) для произвольных событий A и B?

Пусть \lambda(A) обозначает меру Лебега борелевского множества A. Укажите верные утверждения.

Пусть \Omega=\mathbb{R},\; F=2^\Omega. Выберите функции, которые являются вероятностными мерами.

Пусть \Omega\{1,2,3,4,5\},\;F-\text{ минимальная }\sigma-\text{алгебра,} содержащая множества {1, 2} и {5}. Укажите множества, принадлежащие F.

Пусть \Omega — произвольное непустое множество. Укажите верные высказывания.

Точка с координатами \xi и \eta наудачу бросается в квадрат \Omega=[0,1]\times[0,1]. Выберите верные высказывания.

Внутри круга с радиусом 2 см лежат, не перекрываясь, две одинаковые монеты с радиусом 1 см. Какова вероятность того, что наудачу брошенная в круг точка упадет на одну из монет?

После бури на участке между 40-м и 65-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?

Из букв слова МОЛОКО, составленного с помощью разрезной азбуки, извлекают наудачу и выкладывают в порядке извлечения три буквы. Какова вероятность того, что при этом получится слово ОКО?

В списке студенческой группы 5 юношей и 2 девушки. Из списка группы наугад выбирают троих студентов. Какова вероятность того, что будут выбраны только юноши?

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают шесть карт. Какова вероятность того, что среди них окажется король пик?

На полке 6 книг по математике и 2 по физике. Какова вероятность того, что выбранная наугад книга окажется книгой по физике?

Пусть \Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_4\},\;P(\omega_i)=C\cdot i,\;A=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3\}, C=0,1. Укажите верное высказывание.

Брошены n монет. При каждом i = 1, . . . , n рассматривается событие A_i — на i-й монете выпал герб. Какие из следующих событий состоят в том, что выпала хотя бы одна решка?

Брошены три монеты. Рассматриваются события A — на первой монете выпал герб, B — на второй монете выпал герб, C — выпал хотя бы один герб. Выберите все верные высказывания.

Сколькими способами можно выбрать спорторга, культорга и председателя редколлегии, если всего в классе 20 школьников?

Пусть \Omega=\mathbb{R}, а множество F содержит все конечные или счетные множества вещественных чисел (в том числе пустое) и их дополнения до \;\mathbb{R}. Укажите верные высказывания.

Пусть \xi\sim U_{-1,2}. Выберите верные высказывания.

Пусть E\xi^2 < \infty. Выберите верные утверждения.

Пусть A и B — произвольные события, причем A влечет B. Выберите верное высказывание:

Сколькими способами можно составить очередь к зубному врачу из 20 школьников одного класса?

Случайная величина \xi имеет нормальное распределение с плотностью распределения f(x)=\frac1{\sqrt{18\pi}}e^{-\frac1{18}(x+1)^2}. Пусть \Phi_{0,1}(x) — функция распределения стандартного нормального распределения. Чему равно значение вероятности P(-1 < \xi < 5)?

Случайные величины \xi и \eta имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Пусть \Omega=\{a,b,c\},\;F=\{\Omega,\varnothing, \{a\},\{b,c\} \}. Какие из следующих функций являются случайными величинами?

В приборе имеются четыре ненадежных элемента, вероятности отказа которых равны соответственно 0,2, 0,3, 0,6 и 0,5. Найдите математическое ожидание числа отказавших элементов.

Пусть задано вероятностное пространство — отрезок [0, 1] с сигмаалгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега в качестве вероятности. Укажите тип распределения случайной величины \xi, заданной равенством:
\xi(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}-7, & \text{если}\;\omega<0,5\\ 8, & \text{если}\;\omega\ge 0,5.\end{arrey}\right.

Подброшены три монеты. Событие A означает, что на первой монете выпал герб, а на остальных двух — решки, событие B означает, что выпал хотя бы один герб, событие C — выпал ровно один герб. Укажите верное отношение.

Случайные величины \xi и \eta имеют следующую таблицу совместного распределения:
ηξ-1012
00, 10, 2500
100, 2p0, 1
200, 100, 1
Выберите верные высказывания.

Выберите верные утверждения.

Пусть \Omega=\{1,\ldots,10\},\;A=\{1,\ldots,3\},\;B =\{\omega\in\Omega|\omega^2<16\}. Выберите все верные высказывания.

Первый стрелок попадает в цель в 70% случаев, второй — в половине случаев. Выбранный случайным образом стрелок произвел выстрел. Определите вероятность попадания в цель.

В соревнованиях участвуют три лыжника. Сколькими способами они могут расположиться на трёх призовых местах?

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с показательным распределением с параметром \alpha = 2, S_n - сумма первых n случайных величин в этой последовательности. Последовательность S_n/n слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Каждая из 1000 деталей с вероятностью 0,001 может оказаться бракованной. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что ровно две детали будут бракованными.

Первый стрелок попадает в цель в 90% случаев, второй — в 60% случаев. Выбранный случайным образом стрелок произвел выстрел и попал в мишень. Определите вероятность того, что это был второй стрелок.

Пусть \xi\sim B_{3,1/2},\;\eta=2\xi. Укажите значение вероятности P(\eta = 6).

Точка с координатой \xi наудачу бросается на отрезок [0, 1]. Выберите верные высказывания.

Случайные величины \xi и \eta имеют следующую таблицу совместного распределения:
ηξ-505
000, 20, 3
-10, 10, 20, 2
Найдите ковариацию случайных величин \xi и \eta.

На отрезок [0, 1] наудачу и независимо друг от друга бросают пять точек. Какое распределение имеет число точек, попавших на левую половину отрезка?

Один раз бросают симметричную игральную кость. Событие A — выпало 3 очка, событие B — выпало нечетное число очков. Найдите P(A|B).

Выберите верные утверждения.

Пусть \lambda(A) обозначает меру Лебега борелевского множества A. Укажите верные утверждения.

Случайная величина \xi имеет показательное распределение с параметром 2. Вычислите следующие вероятности и укажите верные равенства.

Пусть распределение случайной величины \xi задано функцией распределения:
F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text{если}\;x\le0,\\ 0,25, & \text{если}\;0<x\le1,\\ 1, & \text{если}\;x>1\end{array}\right.
Выберите верные утверждения.

От случайной величины, имеющей абсолютно непрерывное распределение, отняли 5. Выберите верные высказывания.

Если математическое ожидание случайной величины \xi равно нулю, а дисперсия равна единице, как выглядит разложение ее характеристической функции в ряд Тейлора в окрестности нуля?

В точке C, положение которой на телефонной линии AB длиной 100 км равновозможно, произошел разрыв линии. Какова вероятность того, что точка C удалена от точки A более, чем на 25 км?

Укажите, в какой последовательности распределений математические ожидания упрядочены по возрастанию. Здесь (1) B_{4, 1/3}; (2) \Pi_2; (3) E_{1/10}; (4) G_{1/3}.

Выберите верные утверждения.

Даны пять независимых в совокупности случайных величин \xi_1, \ldots , \xi_5 с одним и тем же распределением Пуассона с параметром 2. Найдите P(\xi_1+\ldots+\xi_5 = 10).

Нужно отправить пять писем. Сколькими способами это можно сделать, если есть два курьера, и каждое из писем можно вручить любому курьеру?

Выберите все верные высказывания.

Каждая из n деталей может быть годной или дефектной. Событие A_i состоит в том, что i-я деталь дефектна. Какие из следующих событий означают, что все детали годные?

Пусть \Omega\{1,2,3,\ldots\},\;A=\{1,2,3\},\;B=\{\omega\in\Omega|\omega\le100\},\;C=\{2\}. Укажите верное отношение.

Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, дважды берут шар наугад, возвращая его обратно. Каково общее число равновозможных элементарных исходов?

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают шесть карт. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы один король?

На отрезке [0, 1] наудачу выбираются две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними окажется больше, чем 0, 9?

Пусть \Omega=\mathbb Z — множество целых чисел. Какие из следующих множеств образуют алгебры подмножеств \Omega?

Пусть \Omega — произвольное непустое множество, F — алгебра его подмножеств, A,B\in F — некоторые события. Укажите множества, принадлежащие F.

Выберите свойства, верные для любых несовместных событий A и B.

Бросают две правильные игральные кости. Какова вероятность получить нечетное число очков хотя бы на одной кости?

Укажите равенство, верное для любой последовательности событий
B_1\supseteq B_2\supseteq\ldots

Даны события A, B, C такие, что P(A)=P(B)=P(C)=1/2,\;P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4,\;P(ABC)=1/8. Укажите значение P(A\cup B\cup C).

Пусть события A и B независимы, P(A) = 0, 4, P(B) = 0, 7. Выберите верное высказывание.

Пусть события A и B независимы, P(A) = 0, 5, P(B) = 0, 5. Укажите верные высказывания.

В первой урне 20% шаров белые, во второй — 60%. Из наудачу выбранной урны наугад достали шар, оказавшийся белым. Определите вероятность того, что шар был вынут из второй урны.

Дважды бросают симметричную игральную кость. Выберите верные высказывания.

Какая из формул вычисляет вероятность при семи подбрасываниях симметричной игральной кости ни разу не выбросить шесть очков?

Стрелок попадает в цель при любом выстреле с вероятностью 0,3. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что первое попадание случится только при пятом выстреле?

Выберите верное утверждение:

Пусть случайная величина \xi принимает только значения 1, 2, 3, 4, 5 с одинаковой вероятностью p. Найдите P(1 \le \xi \le 3).

Пусть распределение случайной величины \xi абсолютно непрерывно, F(x) — функция распределения, а f(x) — плотность распределения случайной величины \xi. Выберите верные утверждения.

Случайная величина \xi имеет стандартное нормальное распределение. Укажите верное неравенство.

Пусть случайная величина \xi имеет нормальное распределение с параметрами a = 2,\;\sigma^2 = 4. Выберите верные утверждения.

Выберите верные высказывания.

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина \xi равна сумме выпавших очков, случайная величина \eta равна числу выпавших двоек. Укажите вероятность события {\xi = 6; \eta = 0}.

Пусть \xi \sim U_{0,1} и \eta \sim U_{0,2} — независимые случайные величины. Укажите, чему равна вероятность события {0,5 < \xi < 1; 1,1 < \eta < 1,9}.

Пусть \xi\sim N_{0,1},\;\eta=-2\xi+1. Укажите распределение случайной величины \eta.

Пусть \xi\sim U_{0,1}. Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение E_2.

Пусть \xi\sim U_{-2,2}. Выберите верные высказывания.

Выберите распределения, у которых существует дисперсия.

Выберите верные утверждения.

Найдите E2^{\xi}, если случайная величина \xi принимает только значения -1, 0 и 1 с равными вероятностями.

Случайные величины \xi\sim U_{-2,2}\text{ и }\eta\sim N_{-1,4} независимы. Выберите верные высказывания.

Пусть E\xi^2 < \infty, E\eta^2 < \infty. Выберите верные утверждения.

Укажите, в какой последовательности распределений дисперсии упрядочены по возрастанию. Здесь (1) B_{4, 3/4}; (2) \Pi_2; (3) E_2; (4) G_{1/5}.

Считая, что \xi \ge 0 п. н. и указанные математические ожидания существуют, выберите верные неравенства.

Случайные величины \xi и \eta независимы и имеют одно и то же распределение Пуассона с параметром \lambda = 1. Укажите значение их коэффициента корреляции.

Точка с координатами \xi и \eta наудачу выбрана в ромбе {(x, y) | |x|+|y| ≤ 1}. Найдите коэффициент корреляции координат точки и выберите верные утверждения.

Дана последовательность случайных величин \xi_1, \xi_2, \ldots со следующими распределениями: для любого n
P(\xi_n=\sqrt{n})=\frac 1n,\quad P(\xi_n=2)=\frac 1n,\quad P\left(\xi_n=\frac 1{\sqrt{n}}\right)=1-\frac 2n.
Найдите предел последовательности \xi_n в смысле сходимости по вероятности.

Дана последовательность случайных величин \xi_n\stackrel{P}{\to}\xi. Выберите достаточные условия для сходимости E\xi_n\to E\xi.

Пусть случайная величина \xi имеет распределение Пуассона с параметром \lambda = 2. Вероятность P(\xi > 10) можно оценить сверху по обобщенному неравенству Чебышева с помощью функции g(x) = 2^x. Укажите значение этой оценки.

Пусть D\xi = 1. Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность P(|\xi - E\xi| > 3).

Пусть \xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же нормальным распределением с параметрами a = 1\text{ и }\sigma^2 = 4. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности
\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n
в смысле сходимости по вероятности.

Пусть \xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же нормальным распределением с параметрами a = 1\text{ и }\sigma^2 = 4. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности
\frac{\xi_1^2+\ldots+\xi_n^2}n
в смысле сходимости почти наверное.

Выберите последовательности случайных величин, удовлетворяющие закону больших чисел.

Выберите верные утверждения.

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с нормальным распределением с параметрами a = 2, \sigma^2 = 1. Пусть S_n - сумма первых n случайных величин в этой последовательности. Последовательность S_n/n слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с распределением Бернулли с параметром p = 1/2. Пусть S_n - сумма первых n случайных величин в этой последовательности. Последовательность \frac{S_n-n/2}{\sqrt{n}} слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 100.

Укажите распределение, которому отвечает характеристическая функция \varphi(t)=\exp(3e^{it}-3).

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция \varphi(t)=e^{2it-t^2/2}.

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина \xi равна сумме выпавших очков, случайная величина \eta равна числу выпавших единиц. Укажите вероятность события \{{\xi = 3; \eta = 1}\}.

Проводится n испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха p. Укажите, при каких значениях n и p можно использовать теорему Пуассона для приближенного вычисления вероятностей, если погрешность приближения не должна превышать 0,05.

Пусть \xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же распределением Пуассона с параметром 2. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности
\frac{\xi_1^2+\ldots+\xi_n^2}n
в смысле сходимости почти наверное.

Пусть \xi\sim\Pi_\lambda,\;\eta=2\xi. Укажите значение вероятности P(\eta = 6).

Считая, что \xi \ge 0 п. н. и указанные математические ожидания существуют, выберите верные неравенства.

Выберите распределения, у которых существует математическое ожидание.

Случайные величины \xi и \eta имеют следующую таблицу совместного распределения:
ηξ-505
00, 10, 20, 3
500, 20, 2
Найдите ковариацию случайных величин \xi и \eta.

Укажите, в какой последовательности распределений математические ожидания упрядочены по возрастанию. Здесь (1) B_{3/4}; (2) I_0; (3) U_{-1, 2}; (4) N_{1, 9}.

Имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Укажите, при каких распределениях членов последовательности эта последовательность удовлетворяет центральной предельной теореме.

Даны события A, B, C такие, что P(A)=P(B)=P(C)=1/2, P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4, P(ABC)=1/4. Укажите значение P(A\cup B\cup C).

Укажите значение характеристической функции в точке t = 0.

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция \varphi(t)=\exp(2e^{it}-2).

Случайные величины \xi и \eta имеют следующую таблицу совместного распределения:
ηξ-1012
00, 10, 2500
100, 2p0, 1
200, 100, 1
Выберите верные высказывания.

Случайные величины \xi\sim B_{4,1/2}\text{ и }\eta\sim\Pi_2 независимы. Выберите верные высказывания.

Случайная величина \xi принимает значения ±1 с вероятностями по 1/2. Найдите характеристическую функцию \phi_{\xi}(t).

Пусть \Omega=\mathbb{R}, и сигма-алгебра F содержит множество всех открытых интервалов на числовой прямой. Укажите множества, принадлежащие F.

Дана последовательность случайных величин \xi_n\stackrel{P}{\to}\xi. Выберите достаточные условия для сходимости E\xi_n\to E\xi.

Дана последовательность случайных величин \xi_1, \xi_2, ... со следующими распределениями: \xi_n\sim U_{0,1/n}. Если последовательность \xi_n слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

Укажите, в какой последовательности распределений дисперсии упрядочены по возрастанию. Здесь (1) U_{-5, 5}; (2) \Pi_4; (3) N_{-5, 16}; (4) G_{1/10}.

Имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Укажите, при каких распределениях членов последовательности эта последовательность удовлетворяет центральной предельной теореме.

Подбрасывают четыре неразличимых шестигранных игральных кости и записывают наборы выпадающих очков. Сколько различных наборов можно таким образом записать?

Брошены три монеты. Рассматриваются события A = {ГРР,РРГ, РГР} и B = {ГГР, ГРР,РРГ, РГР}. Выберите все верные высказывания.

Пусть \Omega=\{1,\ldots,10\},\;A=\{\omega\in\Omega|\omega\le4\},\;B=\{\omega\in\Omega||\omega-9|\le1\}. Выберите все верные высказывания.

Пусть пространство \Omega совпадает с множеством всех натуральных чисел. Укажите, какими могут быть вероятности элементарных исходов.

Три карточки с буквами К, Т, О выкладывают в ряд в произвольном порядке. Какова вероятность выложить слово КОТ?

Из коробки, в которой лежали 5 красных и 2 синих карандаша, потерялись 4 карандаша. Какова вероятность того, что потерялись только красные карандаши, если любой карандаш имел равные шансы быть потерянным?

Из букв слова МОЛОКО, составленного с помощью разрезной азбуки, извлекают наудачу и выкладывают в порядке извлечения три буквы. Какова вероятность того, что при этом получится слово МОЛ?

Пусть \Omega — произвольное непустое множество, F — некоторое непустое множество его подмножеств, содержащее вместе с любым своим элементом A\in F\text{ его дополнение }\overline A. Выберите условия, при выполнении которых множество F будет алгеброй.

Пусть P(B) > 0. Укажите, какая из следующих величин называется условной вероятностью события A при условии B.

Пять раз подбрасывают правильную монету. Выберите верные высказывания.

Симметричную игральную кость бросают до тех пор, пока на кости впервые не выпадет четное число очков. Какова вероятность того, что придется бросить кость пять раз?

Прибор состоит из 1000 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого из них при включении равна 0,001. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что откажут ровно 2 элемента.

Пусть задано вероятностное пространство — отрезок [0, 1] с сигма алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега в качестве вероятности. Укажите тип распределения случайной величины \xi, заданной равенством:
\xi(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}7, & \text{если}\;\omega=0,5\\ \omega, & \text{если}\;\omega\ne 0,5.\end{arrey}\right.

Пусть случайная величина \xi принимает только значения 2, 3, 4, 5 с одинаковой вероятностью p. Найдите p.

Пусть распределение случайной величины \xi задано таблицей распределения:
ai-1012
P(ξ = ai)1/3p1/3p
Выберите верные утверждения.

Бросают две симметричные игральные кости. Случайная величина \xi равна сумме выпавших очков, случайная величина \eta равна числу выпавших двоек. Укажите вероятность события {\xi = 5; \eta = 1}.

Пусть \xi\sim G_{1/2},\;\eta=4\xi. Укажите значение вероятности P(\eta = 8).

Укажите распределение разности двух независимых случайных величин с одним и тем же нормальным распределением с параметрами a = 1, \sigma^2 = 1.

Выберите распределения, у которых существует дисперсия.

Симметричную игральную кость подбрасывают дважды. Найдите математическое ожидание суммы выпавших очков.

Случайные величины \xi и \eta имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Выберите верные утверждения.

Дана последовательность случайных величин \xi_1, \xi_2, \ldots со следующими распределениями: для любого n
P(\xi_n=n^2)=\frac 1n,\quad P(\xi_n=1)=1-\frac 1n.
Найдите предел последовательности \xi_n в смысле сходимости по вероятности.

Пусть случайная величина \xi имеет распределение Пуассона с параметром \lambda = 3. Вероятность P(\xi > 10) можно оценить сверху по обобщенному неравенству Чебышева с помощью функции g(x) = 3^x. Укажите значение этой оценки.

Отметьте верное утверждение.

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с равномерным распределением на отрезке [-1, 1], S_n - сумма первых n случайных величин в этой последовательности. Последовательность \frac{S_n}{\sqrt{n}} слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Выберите функции, которые не могут быть характеристическими функциями никакой случайной величины.

Укажите, чему равна характеристическая функция случайной величины 2\xi+1.

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция \varphi(t)=\frac{2}{2-it}.

Бросают 10 симметричных игральных костей. Какое распределение имеет число костей, на которых выпало шесть очков?

В урне 1 белый шар и 2 черных. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше достанет белый шар. Какова вероятность того, что выиграет 2-й игрок?

Пусть E\xi^2 < \infty, E\eta^2 < \infty. Выберите верное утверждение.

Фирма A в течение года разоряется с вероятностью 0,3, фирма Б — с вероятностью 0,4, а обе фирмы — с вероятностью 0,25. Какова вероятность того, что в течение года разорится хотя бы одна фирма?

Пусть \xi\sim E_2,\;\eta=2\xi-5. Укажите значение плотности распределения случайной величины \eta в точке x = 3.

Пусть события A и B независимы, P(A) = 0,8, P(B) = 0,4. Выберите верное высказывание.

Симметричную игральную кость подбрасывают трижды. Найдите математическое ожидание суммы выпавших очков.

Пусть случайная величина \xi принимает только значения 0, 1, 2, 3, 4 с одинаковой вероятностью p. Найдите P(0<\xi<3).

Есть 5 монет по 50 копеек и 3 монеты по рублю. Какова вероятность того, что выбранная наугад монета окажется монетой в один рубль?

Случайные величины \xi и \eta имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Случайная величина \xi имеет нормальное распределение с плотностью распределения f(x)=\frac1{\sqrt{18\pi}}e^{-\frac1{18}(x+1)^2}. Укажите, какая из следующих случайных величин имеет стандартное нормальное распределение.

Какие из следующих функций являются плотностями распределений?

Какая формула вычисляет вероятность получить ровно семь попаданий при восьми выстрелах, если вероятность попадания в каждом равна 0,9 и результаты выстрелов независимы?

Пусть распределение случайной величины \xi задано плотностью распределения:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}c/x^2, & \text{если}\;x\ge 1,\\ 0 & \text{иначе}.\end{array}\raght.
Выберите верные утверждения.

Выберите верные утверждения.

Пусть P(A) = 0, 2, P(B) = 0, 5, P(A ∩ B) = 0, 1. Найдите P(A|B).

Пусть \xi\sim U_{0,1}. Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение E_3.

Событие A состоит в том, что первая деталь дефектна, событие B — вторая деталь дефектна. Какие из следующих событий означают, что ровно одна из этих двух деталей дефектна?

Пусть \xi\sim N_{0,1}. Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение N_{1, 9}.

Пусть \Omega=\mathbb{R},\; F=2^\Omega. Выберите функции, которые являются мерами.

Две точки наудачу брошены на отрезок. Какова вероятность того, что расстояние между ними окажется не больше половины длины отрезка?

Сколькими способами можно выбрать из полной колоды в 52 карты по одной карте каждой масти?

Выберите все верные высказывания.

Брошены n монет. При каждом i = 1, . . . , n рассматривается событие A_i — на i-й монете выпал герб. Какие из следующих событий состоят в том, что выпали все решки?

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают две карты. Какова вероятность того, что они обе окажутся картами масти пик?

Пусть \Omega=\{1,2,3\}. Какие из следующих множеств образуют алгебры подмножеств \Omega?

Пусть \Omega — произвольное непустое множество. Укажите верные высказывания.

Пусть P(A) = 0, 3, P(B) = 0, 5, P(A ∩ B) = 0, 2. Найдите P(A|B).

Выберите верные утверждения.

На фабрике половина продукции производится первой машиной, половина — второй. В продукции первой машины брак составляет 10%, в продукции второй — 30%. Наугад выбранная из всей продукции деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первой машиной?

Какая из формул вычисляет вероятность при шести подбрасываниях симметричной игральной кости ровно один раз выбросить шесть очков?

Проводится n испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха p. Укажите, при каких значениях n и p можно использовать теорему Пуассона для приближенного вычисления вероятностей, если погрешность приближения не должна превышать 0,001.

Пусть распределение случайной величины \xi задано таблицей распределения:
ai-3-213
P(ξ = ai)0, 20, 3p0, 1
Выберите верные утверждения.

Какие из следующих функций являются плотностями распределений?

Пусть распределение случайной величины \xi абсолютно непрерывно, F(x) — функция распределения случайной величины \xi. Выберите верные утверждения.

Случайная величина \xi имеет нормальное распределение с плотностью распределения f(x)=\frac1{\sqrt 8\pi}}e^{-\frac1 8(x-1)^2}. Пусть \Phi_{0,1}(x) — функция распределения стандартного нормального распределения. Чему равно значение вероятности P(-1 < \xi < 5)?

Выберите дискретные распределения.

Случайная величина \xi имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью f(x). Пусть \eta = 2\xi+1. Какова плотность распределения случайной величины \eta?

Даны пять независимых в совокупности случайных величин \xi_1, \ldots , \xi_5 с одним и тем же распределением Бернулли с параметром 1/2. Найдите P(\xi_1+\ldots+\xi_5 = 3).

Выберите распределения, у которых существует математическое ожидание.

Выберите верные утверждения.

Случайные величины \xi и \eta имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Пусть E\xi^2 = 6, \;E\xi = 1. Оценивается сверху вероятность P(|\xi-1| > 10). Укажите значение оценки по неравенству Чебышева.

Пусть \xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же показательным распределением с параметром \alpha = 2. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности
\frac{\xi_1^2+\ldots+\xi_n^2}n-\left(\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n\right)^2
в смысле сходимости почти наверное.

Случайные величины \xi и \eta независимы. Чему равна характеристическая функция их суммы?

Случайная величина \xi имеет распределение Парето с плотностью f(x) = 1/x^2 при x > 1, \eta = 2\xi - 1. Укажите значение плотности распределения случайной величины \eta в точке x = 3.

Случайная величина \xi принимает значения -1, 0 и 1 с равными вероятностями, \eta = \xi^2. Найдите коэффициент корреляции случайных величин \xi и \eta и выберите верные утверждения.

Выберите последовательности случайных величин, удовлетворяющие закону больших чисел.

Случайные величины \xi и \eta независимы и имеют одно и то же показательное распределение с параметром 2. Найдите коэффициент корреляции случайных величин 4\xi - 2\eta\text{ и }\xi + \eta.

Пусть распределение случайной величины \xi задано функцией распределения:
F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text{если}\;x\le0,\\ x/2, & \text{если}\;0<x\le1,\\ 1, & \text{если}\;x>1\end{array}\right.
Выберите верные утверждения.

Укажите, в какой последовательности распределений математические ожидания упорядочены по возрастанию: (1) U-5, 5; (2) П4; (3) N-5, 16; (4) G1/2.

Выберите все верные высказывания.

Выберите верные утверждения.

На некотором вероятностном пространстве задана последовательность случайных величин \xi_n. Известно, что последовательность их характеристических функций сходится при всех t к характеристической функции \varphi(t)=exp(it). Какой вывод можно сделать о поведении последовательности случайных величин \xi_n?

Симметричную игральную кость бросали 29 раз, и ни разу не выпало шесть очков. С какой вероятностью при 30-м броске снова не выпадет шесть очков?

Найдите E\left(\frac1\xi\right), если случайная величина \xi имеет распределение с плотностью
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3x^2, & 0<x<1,\\ 0 & \text{иначе.}\end{array}\right.

Города А и Б соединены пятью дорогами. Сколькими способами можно добраться из города А в город Б и затем вернуться обратно?

Пусть A и B — произвольные события. Выберите все верные высказывания.

Подбрасывают две одинаковые игральные кости. Каково общее число равновозможных элементарных исходов?

Пусть \Omega\{1,2,3,4,5\},\;F-\text{ минимальная }\sigma-\text{алгебра,} содержащая множества {1, 2} и {5}. Укажите множества, принадлежащие F.

Выберите свойства, верные для произвольных событий A и B.

Пусть события A и B независимы, P(A) = 0,5, P(B) = 0,5. Укажите верные высказывания.

Один раз бросают правильную монету. Выберите верные утверждения.

Правильную монету подбросили 14 раз, и выпали только гербы. С какой вероятностью при 15-м броске выпадет решка?

Пусть распределение случайной величины \xi задано таблицей распределения:
ai-1012
P(\xi = ai)1/3p1/3p
Выберите верное утверждение.

Случайная величина \xi имеет биномиальное распределение с параметрами 3 и 1/3. Вычислите следующие вероятности и укажите верные равенства.

Случайная величина \xi имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью f(x). Пусть \eta = \xi-2. Какова плотность распределения случайной величины \eta?

Укажите значение в точке x = 3 плотности распределения суммы трех независимых в совокупности случайных величин с одним и тем же нормальным распределением с параметрами a = 1, \sigma^2 = 1.

Считая, что \xi \ge 0 п. н. и указанные математические ожидания существуют, выберите верные неравенства.

Случайные величины \xi и \eta имеют конечные и ненулевые дисперсии и связаны равенством \eta = 3\xi + 2. Укажите значение их коэффициента корреляции.

Пусть \xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же распределением Бернулли с параметром p = 1/4. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности
\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n
в смысле сходимости по вероятности.

Подбрасывают правильную игральную кость. Величина S_n равна сумме выпавших очков. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности S_n/n в смысле сходимости по вероятности.

Выберите верные утверждения.

Укажите верные высказывания.

Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вынимают шары по одному до тех пор, пока не появится белый шар. Какова вероятность того, что из урны будет вынуто 3 черных шара?

Сколькими способами можно выбрать одну гласную и одну согласную буквы из слова "скрипач"?

Найдите E\xi^3, если случайная величина \xi принимает только целые значения от 0 до 4 с равными вероятностями.

Брошены пять монет. Рассматриваются события A — выпали пять гербов, B — выпали пять решек, C — выпала ровно одна решка. Выберите верное высказывание.

Пусть \Omega=[0, 1],\; F=\{\Omega,\varnothing,[0; 0,5],(0,5; 1]\}. Какие из следующих функций являются случайными величинами?

Дана последовательность случайных величин \xi_n\stackrel{P}{\to}\xi. Выберите достаточные условия для сходимости E\xi_n\to E\xi.

Половина стрелков попадает в цель в 60% случаев, половина — в 80% случаев. Выбранный случайным образом стрелок произвел выстрел. Определите вероятность попадания в цель.

Сколькими способами можно выбрать из полной колоды в 52 карты четыре карты, если их порядок безразличен (карты не возвращаются в колоду)?

Брошены n монет. При каждом i = 1, . . . , n рассматривается событие A_i — на i-й монете выпал герб. Выберите верное высказывание.

В точке C, положение которой на телефонной линии AB длиной 100 км равновозможно, произошел разрыв линии. Какова вероятность того, что точка C удалена от точки A не более, чем на 25 км?

Внутри круга с радиусом 5 см лежат, не перекрываясь, пять одинаковых монет с радиусом 1 см. Какова вероятность того, что наудачу брошенная в круг точка упадет на одну из монет?

В урне 1 белый шар и 2 черных. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше достанет белый шар. Какова вероятность того, что выиграет 1-й игрок?

Из колоды, состоящей из 36 карт, наугад выбрали одну карту. Укажите верные высказывания.

В первой урне 60% шаров белые, во второй — 20%. Из наудачу выбранной урны наугад достали шар, оказавшийся белым. Определите вероятность того, что шар был вынут из второй урны.

Выберите верные утверждения:

Выберите распределения, для которых вероятность P(0 \le \xi \le 3) является наибольшей среди перечисленных.

Пусть случайный вектор (\xi, \eta) имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью f_{\xi, \eta}(x, y). Выберите верные высказывания.

Пусть случайный вектор (\xi, \eta) имеет абсолютно непрерывное распределение. Если в некоторой области функция распределения этого вектора равна 3y(x+1), то какова его плотность распределения в той же области?

Пусть \xi\sim U_{0,1}\;,\eta=2\xi-1. Укажите значение плотности распределения случайной величины \eta в точке x = 0.

Укажите распределение суммы двух независимых случайных величин \xi\sim N_{1,2}\;\text{и}\;\eta\sim N_{1,1}.

Выберите верные утверждения.

Выберите распределения, у которых существует математическое ожидание.

Выберите верные утверждения.

Найдите Ee^{\xi}, если случайная величина \xi имеет распределение с плотностью
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3\cdot e^{3x}, & x<0,\\ 0 & \text{иначе.}\end{array}\right.

Случайные величины \xi\sim B_{1/2}\text{ и }\eta\sim E_{1/2} независимы. Выберите верные высказывания.

Дана последовательность случайных величин \xi_n\stackrel{P}{\to}\xi. Выберите достаточные условия для сходимости E\xi_n\to E\xi.

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 80.

Укажите распределение, которому отвечает характеристическая функция \varphi(t)=\exp(-3t^2/2).

Пусть \xi и \eta имеют плотность совместного распределения
f_{\xi,\eta}(x,y)=\frac 1{4\pi}e^{-\frac{x^2}2-\frac{y^2}8}
Укажите, чему равна вероятность события {\xi < 0; \eta > 0}.

Прибор состоит из 1000 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого из них при включении равна 0,001. По теореме Пуассона найдите приближенно вероятность того, что откажет ровно 1 элемент.

Выберите последовательности случайных величин, удовлетворяющие закону больших чисел.

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с равномерным распределением на отрезке [-1, 1], S_n - сумма первых n случайных величин в этой последовательности. Последовательность S_n/n слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Выберите верные утверждения.

Укажите распределение, которому отвечает характеристическая функция \varphi(t)=\frac{1}{(1-it)^3}.

Случайная величина \xi имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью f(x). Пусть \eta = 2\xi. Какова плотность распределения случайной величины \eta?

Дана последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с биномиальным распределением с параметрами m = 8, p = 1/2. Пусть S_n - сумма первых n случайных величин в этой последовательности. Последовательность \frac{S_n-4n}{\sqrt{n}} слабо сходится к некоторому распределению. Найдите это распределение.

Выберите распределения, для которых вероятность P(-3 \le \xi \le 3) является наибольшей среди перечисленных.

В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется черным?

Пусть события A и B независимы, P(A) = 0, 5, P(B) = 0, 5. Укажите верные высказывания.

Подбрасывают три правильные монеты. После n подбрасываний этих трех монет обозначим через \nu_n количество подбрасываний, при которых выпало не более одного герба. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности \nu_n/n в смысле сходимости по вероятности.

Пусть \Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_4\},\;P(\omega_i)=C\cdot i^2,\;A=\{\omega_1,\omega_3\}. Укажите все верные высказывания.

Пусть события A и B независимы, P(A) = 0, 2, P(B) = 0, 4. Выберите верное высказывание.

Монета умеет с равными вероятностями выпадать гербом, решкой и вставать на ребро. Какова вероятность того, что при семи подбрасываниях этой монеты она трижды встанет на ребро и два раза выпадет решкой?

Пусть распределение случайной величины \xi задано плотностью распределения:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}c, & \text{если}\;1\le x\le5,\\ 0 & \text{иначе}.\end{array}\raght.
Выберите верные утверждения.

Из урны, содержащей два белых и три черных шара, наугад вынимают сразу три шара. Случайная величина \xi равна числу черных шаров среди выбранных. Вычислите следующие вероятности и укажите верное неравенство.

Пусть \xi\sim E_2. Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение U_{0, 1}.

Выберите распределения, у которых существует дисперсия.

Случайные величины \xi и \eta имеют конечные и ненулевые дисперсии и связаны равенством \xi = 1 - 2\eta. Укажите значение их коэффициента корреляции.

Пусть \xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же биномиальным распределением с параметрами m = 3\text{ и }p = 1/4. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности
\frac{\xi_1^2+\ldots+\xi_n^2}n-\left(\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n\right)^2
в смысле сходимости почти наверное.

Правильная монета подбрасывается 6400 раз. Используя ЦПТ, найдите приближенно вероятность того, что число гербов будет отличаться от 3200 не менее, чем на 120.

Укажите математическое ожидание и дисперсию распределения, которому отвечает характеристическая функция \varphi(t)=(0,5+0,5e^{it})^3.

Если математическое ожидание и дисперсия случайной величины \xi равны единице, как выглядит разложение ее характеристической функции в ряд Тейлора в окрестности нуля?

Брошены пять монет. Рассматриваются события A — выпали пять гербов, B — выпали пять решек, C — выпала ровно одна решка. Выберите все верные высказывания.

Пусть случайный вектор (\xi, \eta) имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью
f_{\xi,\eta}(x,y)=\left\{\begin{array}{ll}C\cdot e^{-2x-2y}, & x>0,y>0,\\ 0 & \text{иначе}\end{array}\right.
Выберите верные высказывания.

В списке студенческой группы 5 юношей и 2 девушки. Из списка группы наугад выбирают троих студентов. Какова вероятность того, что будут выбраны два юноши и одна девушка?

Пусть \xi\sim N_{0,1}. Укажите, какая из следующих случайных величин имеет распределение N_{1, 4}.

Из букв слова ЛОТО, составленного с помощью разрезной азбуки, извлекают наудачу и выкладывают в порядке извлечения три буквы. Какова вероятность того, что при этом получится слово ЛОТ?

Пусть распределение случайной величины \xi задано функцией распределения:
F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & \text{если}\;x\le0,\\ (x+1)/2, & \text{если}\;0<x\le1,\\ 1, & \text{если}\;x>1\end{array}\right.
Выберите верные утверждения.

Дана последовательность случайных величин \xi_1, \xi_2, ... со следующими распределениями: \xi_n\sim U_{0,(n+1)/n}. Если последовательность \xi_n слабо сходится к некоторому распределению, найдите это распределение.

Из колоды в 36 карт наудачу выбирают две карты. Какова вероятность того, что ровно одна из них будет иметь пиковую масть?

Укажите свойства, которыми обладает любая вероятностная мера.

Пусть события A и B независимы, P(A) = 0, 5, P(B) = 0, 5. Укажите верные высказывания.

Стрелок попадает в цель при любом выстреле с вероятностью 0,1. Результаты выстрелов независимы. Какова вероятность того, что первое попадание случится при третьем выстреле?

Пусть задано вероятностное пространство — отрезок [0, 1] с сигмаалгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега в качестве вероятности. Укажите тип распределения случайной величины \xi, заданной равенством:
\xi(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}7, & \text{если}\;\omega<0,5\\ 8, & \text{если}\;\omega\ge 0,5.\end{arrey}\right.

Пусть \xi и \eta имеют плотность совместного распределения
f_{\xi,\eta}(x,y)=\frac 1{4\pi}e^{-\frac{(x-1)^2}2-\frac{y^2}8}
Укажите, чему равна вероятность события {\xi < 1; \eta < 0}.

Пусть D\xi = 2. Укажите, каким числом оценивется по неравенству Чебышева вероятность P(|\xi - E\xi| > 10).

Подбрасывают две правильные монеты. После n подбрасываний пары монет обозначим через \nu_n количество подбрасываний, при которых выпало два герба. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности \nu_n/n в смысле сходимости по вероятности.

Имеется последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Укажите, при каких распределениях членов последовательности эта последовательность удовлетворяет центральной предельной теореме.

Найдите E\left(\frac1\xi\right), если случайная величина \xi имеет распределение с плотностью
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x, & 0<x<1,\\ 0 & \text{иначе.}\end{array}\right.

Выберите верные утверждения.

Выберите верные утверждения.

Укажите верные утверждения.

Выберите функции, которые не могут быть характеристическими функциями никакой случайной величины.

Пусть \xi_1, \xi_2, \ldots — последовательность независимых случайных величин с одним и тем же стандартным распределением Коши. Укажите, чему равен предел при n \to \infty последовательности
\frac{\xi_1+\ldots+\xi_n}n
в смысле сходимости по вероятности.

Сколькими способами можно составить список дежурных на пять дней следующей недели, если каждый день должен дежурить один человек, в классе всего 20 школьников, и ни один человек не должен дежурить более одного раза в неделю?

В точке C, положение которой на телефонной линии AB длиной 100 км равновозможно, произошел разрыв линии. Какова вероятность того, что точка C удалена и от точки A, и от точки B более, чем на 40 км?

Пусть
\Omega\{a,b\},\;F=2^\Omega
Выберите функции, которые являются мерами.

Правильную монету подбросили 14 раз, и выпали только гербы. С какой вероятностью при 15-м броске выпадет герб?

Укажите высказывания, которые справедливы для любых случайных величин \xi и \eta с дискретными распределениями.

Случайные величины \xi и \eta имеют конечные и ненулевые дисперсии. Укажите верные утверждения.

Укажите верные высказывания.

Пусть \Omega=\mathbb{N} — множество натуральных чисел. Какие из следующих множеств образуют алгебры подмножеств \Omega?

Симметричную игральную кость подбрасывают 6 раз. Какова вероятность при этом выбросить каждую грань по разу?

Выберите верные утверждения.

Точка с координатами \xi и \eta наудачу выбрана в квадрате \{{(x, y) | 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1}\}. Найдите коэффициент корреляции координат точки и выберите верные утверждения.

Укажите множества, принадлежащие борелевской сигма-алгебре \mathfrak{B}(\mathbb{R}).

Пусть \lambda(A) обозначает меру Лебега борелевского множества A. Укажите значение \lim\limits_{n\to\infty}\lambda(B_n),\text{ если }B_n=(1-1/n,1+2/n).

Из урны, содержащей два белых и три черных шара, наугад вынимают сразу три шара. Случайная величина \xi равна числу белых шаров среди выбранных. Вычислите следующие вероятности и укажите верное неравенство.

Найдите E\left(\frac1\xi\right), если случайная величина \xi принимает только значения 1, 2 и 4 с равными вероятностями.

Выберите абсолютно непрерывные распределения.

Случайная величина \xi имеет равномерное распределение на отрезке [0, 5]. Вычислите следующие вероятности и укажите верные равенства.

Укажите характеристическую функцию среднего арифметического n независимых в совокупности и одинаково распределјнных случайных величин с характеристической функцией \varphi(t).

Распределение случайной величины \xi ограничено, если найдется число C такое, что P(|\xi| < C) = 1. Выберите ограниченные распределения.

Пусть \xi > 0\text{ п. н., }E\xi^2 = 6, \;E\xi = 1. Оценивается сверху вероятность P(\xi > 10). Укажите значение оценки по неравенству Маркова.